1、1.2.2 第 2 课时 分段函数及映射教学目的：（1）了解映射的概念及表示方法.（2）会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识.中 国教育出 版 教学重点：分段函数的概念教学难点：分段函数的表示及映射的概念导入新课思路 1复习初中常见的对应关系1对于任何一个实数 a，数轴上都有唯一的点 P 和它对应中国 教 育 出版 2对于坐标平面内任何一个点 A，都有唯一的有序实数对(x，y )和它对应3对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应4某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应5函数的概
2、念我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合” ，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射(板书课题) st ep.c om 思路 2前面学习了函数的概念是：一般地，设 A，B 是两个非空数集，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A 中的每个元素 x，在集合 B 中都有唯一的元素 y 和它对应(1)对于任意一个实数，在数轴上都有唯一的点与之对应(2)班级里的每一位同学在教室里都有唯一的座位与之对应(3)对于任意的三角形，都有唯一确定的面积与之对应那么这些对应又有什么特点呢？这种对应称为映射，引出课题推进新课
3、Error!Error!给出以下对应关系：这三个对应关系有什么共同特点？像问题中的对应我们称为映射，请给出映射的定义？“都有唯一”是什么意思？函数与映射有什么关系？讨论结果：集合 A，B 均为非空集合，并且集合 A 中的元素在集合 B 中都有唯一的元素与之对应一般地，设 A，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB为从集合 A 到集合 B 的一个映射，记作“f ：AB” 中国教 育 出版 如果集合 A 中的元素 x 对应集合 B 中的元素 y，那么集合 A 中的元素 x 叫
4、集合 B 中元素 y的原象，集合 B 中元素 y 叫集合 A 中的元素 x 的象 中 国教育出版 包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思，即是一对一或多对一函数是特殊的映射，映射是函数的推广Error!例题 下列哪些对应是从集合 A 到集合 B 的映射？(1)集合 A P|P 是数轴上的点 ，集合 BR，对应关系 f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合 A P|P 是平面直角坐标系中的点 ，集合 B( x，y)|xR ，yR，对应关系 f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合 A x|x 是三角形 ，集合 B x|x 是圆，对应关系 f：每一个三
5、角形都对应它的内切圆；(4)集合 A x|x 是新华中学的班级，集合 B x|x 是新华中学的学生，对应关系 f：每一个班级都对应班里的学生.活动：学生思考映射的定义判断一个对应是否是映射，要紧扣映射的定义中国教育 出 版 (1)中数轴上的点对应着唯一的实数；(2)中平面直角坐标系中的点对应着唯一的有序实数对； 来 源 : 中教 (3)中每一个三角形都有唯一的内切圆；(4)中新华中学的每个班级对应其班内的多个学生 中 国教育出版 解：(1)是映射；(2) 是映射；(3) 是映射；(4)不是映射新华中学的每个班级对应其班内的多个学生，是一对多，不符合映射的定义.变式训练1如图 (1)，(2) ，
6、(3) 用箭头所标明的 A 中元素与 B 中元素的对应法则，是不是映射？解：(1)不是；(2) 是；(3) 是2在下图中的映射中，A 中元素 60对应的元素是什么？在 A 中的什么元素与 B 中元素 中 22教 对应？www. st e p. c om 解：A 中元素 60对应的元素是 ，在 A 中的元素 45与 B 中元素 对应.32 22Error!1下列对应是从集合 S 到 T 的映射的是( )ASN，T1,1，对应法则是(1) n，nSBS0,1,4,9，T 3，2，1,0,1,2,3 ，对应法则是开平方CS0,1,2,5，T 1， ，对应法则是取倒数来 源 : 12 15DSx|
7、xR，T y|yR ，对应法则是 xy 1 x1 x【解析】判断映射的方法简单地说应考虑 A 中的元素是否都可以受对应法则 f 的作用，作用的结果是否一定在 B 中，作用的结果是否唯一这三个方面很明显 A 符合定义；B 是一对多的对应；C 中集合 S 中的元素 0 没有象；D 中集合 S 中的元素 1 也无象【答案】A2已知集合 Mx |0x6，Py|0y 3，则下列对应关系中不能看作从 M 到 P 的映射的是( )Af：xy x12Bf：xy x13Cf：xyxDf：xy x中国教 育 出版 16【解析】选项 C 中，集合 M 中部分元素没有象，其他均是映射【答案】C3已知集合 AN ，Ba
8、|a2n1，n ，映射 f：AB，使 A 中任一元素 a 与 B 中元素 2a1 对应，则与 B 中元素 17 对应的 A 中元素是( )A3 B5 C17 D9【解析】利用对应法则转化为解方程由题意得 2a117，解得 a9.【答案】D4若映射 f：AB 的象的集合是 Y，原象的集合是 X，则 X 与 A 的关系是_；Y 与 B 的关系是_【解析】根据映射的定义，可知集合 A 中的元素必有象且唯一；集合 B 中的元素在集合 A中不一定有原象故象的集合是 B 的子集所以 XA，YB.【答案】XA；YB5已知集合 Ma，b，c ， d，Px，y， ，则从 M 到 P 能建立不同映射的个数是_ww
9、w . step.co m 【解析】集合 M 中有 4 个元素，集合 P 中有 3 个元素，则从 M 到 P 能建立 3481 个不同的映射【答案】816下列对应哪个是集合 M 到集合 N 的映射？哪个不是映射？为什么？(1)设 M 矩形，N实数，对应法则 f 为矩形到它的面积的对应(2)设 M 实数，N正实数，对应法则 f 为 x .1|x|(3)设 M x|0x100，Nx|0x 100，对应法则 f 为开方再乘 10.解：(1)是 M 到 N 的映射，因为它是多对一的对应(2)不是映射，因为当 x0 时，集合 N 中没有元素与之对应(3)是映射，因为它是一对一的对应7已知集合 A1,2,
10、3， ，B4,7 ，a 4，a 23a，且 aN， N，xA，y B，映射f：AB，使 B 中元素 y3x1 和 A 中元素 x 对应，求 a 及 的值【解析】先从集合 A 和对应法则 f 入手，同时考虑集合中元素的互异性，可以分析出此映射必为一一映射，再由 310，求得 a 值，进而求得 值解：B 中元素 y3x 1 和 A 中元素 x 对应， 来 源 : step A 中元素 1 的象是 4；2 的象是 7；3 的象是 10，即 a410 或 a23a10.aN，由 a23a10，得 a2.中 国 教育出 版 的象是 a4，3 116，得 5.a2， 5.8已知集合 A( x，y )|xy
11、3，xN，y N ，B0,1,2 ，f：( x，y)xy，则这个对应是否为映射？是否为函数？请说明理由解：是映射，不是函数由题意得 A(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0) ，(1,1)，(2,0)，显然对于A 中的每一个有序实数对，它们的和是 0 或 1 或 2，则在 B 中都有唯一一个数与它对应，所以是映射，因为集合 A 不是数集而是点集，所以不是函数Error!问题：集合 M 中有 m 个元素，集合 N 中有 n 个元素，则从 M 到 N 能建立多少个不同的映射？探究：当 m1，n1 时，从 M 到 N 能建立 11 1 个不同的映射；当 m2，n1 时，从 M 到 N 能建立
12、11 2 个不同的映射；当 m3，n1 时，从 M 到 N 能建立 11 3 个不同的映射；当 m2，n2 时，从 M 到 N 能建立 42 2 个不同的映射；当 m2，n3 时，从 M 到 N 能建立 93 2 个不同的映射集合 M 中有 m 个元素，集合 N 中有 n 个元素，则从 M 到 N 能建立 nm 个不同的映射Error!中国教 育 出版 本节课学习了：(1)映射的对应是一种特殊的对应，元素之间的对应必须满足“一对一或多对一” (2)映射由三个部分组成：集合 A，集合 B 及对应法则 f，称为映射的三要素(3)映射中集合 A，B 中的元素可以为任意的补充作业：已知下列集合 A 到
13、 B 的对应，请判断哪些是 A 到 B 的映射，并说明理由(1)AN ，B ，对应法则 f 为“取相反数”；(2)A1,0,2，B ，对应法则：“取倒数”； 1，0，12(3)A1,2,3,4,5，BR，对应法则： “求平方根”；(4)A0,1,2,4，B0,1,4,9,64，对应法则 f：ab( a1) 2；(5)AN ，B 0,1，对应法则：除以 2 所得的余数【答案】(2)不是映射，(1)(3)(4)(5)是映射设 计 感 想本节教学设计的内容拓展较深，在实际教学中根据学生实际选取例题和练习本节重点为映射的概念，对于映射来说，只需要掌握概念即可，不要求拓展其内容，以免加重学生的负担，也偏
14、离了课标要求和高考的方向知识总结1函数与映射的知识记忆口诀：函数新概念，记准要素三；定义域值域，关系式相连；函数表示法，记住也不难；图象和列表，解析最常见；对应变映射，只是变唯一；映射变函数，集合变数集2映射到底是什么？怎样理解映射的概念？剖析：对于映射这个概念，可以从以下几点来理解：(1)映射中的两个集合 A 和 B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等；(2)映射是有方向的，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往是不一样的；(3)映射要求对集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一的，这样集合 A 中元素的任意性和在集合 B 中对应的元素的唯一性构成了映射的核心；(4)映射允许集合 B 中存在元素在 A 中没有元素与其对应；(5) 映射允许集合 A 中不同的元素在集合 B 中有相同的对应元素，即映射只能是“多对一”或“一对一” ，不能是“一对多” ；(6)映射是特殊的对应，函数是特殊的映射3函数与映射的关系函数是特殊的映射，对于映射 f：A B，当两个集合 A，B 均为非空数集时，则从 A 到 B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数来 源 :中教
