1、柱体、锥体、台体的表面积教学设计一、 教材的理解与处理空间几何体的表面积问题是生产、生活中的实际问题，研究这类问题有助于培养学生的数学应用意识；立体几何中的核心思想“立体问题平面化 ”的思想在本节也得到体现，把空间几何体展开成平面图形。棱柱、棱锥可以看成棱台的两种特殊情况，我们还可以体会圆柱、圆锥、圆台与棱柱、棱锥、棱台侧面积公式之间的一致性，体现了数学的统一美。1、教学目标确定说明学生在初中虽然已经接触过平面几何体的概念，但学生尚缺乏空间想象能力，还缺乏知识的迁移与类比能力，这些都需要教师在课堂教学过程中有意识地、创造性地培养学生逐步形成.数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过
2、不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯。根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：1.知识与技能：使学生通过柱体、锥体、台体的表面积的探索，学会将空间问题转化为平面问题进行解决的数学思想方法.2.过程与方法：使学生在表面积公式的推导过程中充分感受数学的转化思想、类比思想，提高学生分析问题与解决问题的能力.3.情感态度与价值观：通过和谐对称规范的图形，给予学生以数学美的享受；同
3、时发展学生求知、求实、勇于探索的情感与态度.三、教学重点、难点确定说明本节课如果只把几组公式告诉学生，并让他们进行一些训练就能达到要求。这样做就失去渗透相关重要数学思想的机会，就失去让学生体会数学美的机会。数学教学中应强调对基本概念和基本思想方法的理解和掌握，并能灵活应用所学知识解决实际问题，根据本节课的教学内容和学生认知结构特征，重点确定为：理解和掌握柱体、锥体、台体的表面积的构成形式，以便从度量的角度认识空间几何体.难点为：用联系、类比、运动变化的思想推导柱体、锥体、台体的表面积四、教学策略的选择说明 丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是数学教学追求的。学生的数学学习不应只限于概念，结
4、论和方法的记忆，模仿和接受。本节课主要是多面体和旋转体的表面积，学习过程中，要使学生理解知识点，并会灵活应用，要鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与，既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探究与合作交流。因此，本设计主要采用的教学方法是引导发现法，结合本课的教学内容与学生实际，整体思路是：创设情境自主探究合作交流得出结论理解应用提高能力。在教具使用上做到以下三点：1、学生课前自己制作几何体模型，激发学生思维的兴趣。2、运用 ppt 制作课件，做到图文并茂。3、运用几何画板制作课件，创设探求空间，展现思维过程。五、教学环节设计说明 教学过程导入新课思路 1.在过去的学习中，我们
5、已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？（引导学生回忆，互相交流，教师归类）几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？思路 2.被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在 1889 年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长 230 米，塔高 146.5 米，你能计算建此金字塔用了多少
6、石块吗？推进新课新知探究提出问题在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图 1） ，你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？正方体及其展开图(1) 长方体及其展开图(2)图 1棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是 r,r，母线长为 l，你能计算出它的表面积吗？圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？活动：学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式.学生思考几何体的表
7、面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和.让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状.学生思考圆台的侧面展开图的形状.提示学生用动态的观点看待这个问题.讨论结果：正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开
8、图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图 2）.如果圆柱的底面半径为 r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为 r 2,侧面面积为 2rl.因此，圆柱的表面积S=2r 2+2rl=2r(r+l).图 2 图 3圆锥的侧面展开图是一个扇形（图 3）.如果圆锥的底面半径为 r,母线长为 l，那么它的表面积 S=r 2+rl=r(r+l).点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.圆台的侧面展开图是一个扇环（图 4） ，它的表面积等于上、下两个
9、底面的面积和加上侧面的面积，即 S=(r 2+r 2+rl+rl).图 4圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：S 圆柱表 =2r(r+l) S 圆台表 =(r 1l+r2l+r12+r22) S 圆锥表 =r(r+l). r21 r21,0从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来.提出问题回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？比较柱体、锥体、台体的体积公式：V 柱体 =
10、Sh(S 为底面积，h 为柱体的高)；V 锥体 = (S 为底面积，h 为锥体的高)；S31V 台体 = h(S,S 分别为上、下底面积，h 为台体的高).(你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？活动：让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式.让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？讨论结果：棱长为 a 的正方体的体积 V=a3=a2a=Sh；长方体的长、宽和高分别为 a,b,c，其体积为 V=abc=(ab)c=Sh；底面半径为 r 高为 h 的圆柱的体积是 V=r 2h=Sh，可以类比，一般的柱体的体积
11、也是 V=Sh，其中 S 是底面面积，h 为柱体的高.圆锥的体积公式是 V= (S 为底面面积，h 为高)，它是同底等高的圆柱的体积的 .S31 31棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的 ,即棱锥的体积 V= (S 为底面面积，h 为高).31S31由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的 .31由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式 V= (S+ +S)h,S其中 S，S 分别为上、下底面面积，h 为圆台（棱台）高.注意：不要求推导公式，也不要求记忆.柱体可以看作是上、下底面相同
12、的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当 S=0 时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S=S 时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图 5：图 5应用示例思路 1例 1 已知棱长为 a，各面均为等边三角形的四面体 SABC（图 6） ，求它的表面积.图 6活动：回顾几何体的表面积含义和求法.分析：由于四面体 SABC 的四个面是全等的等边
13、三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的 4 倍.解：先求SBC 的面积，过点 S 作 SDBC，交 BC 于点 D.因为 BC=a,SD= ,aaBD23)(22所以 SSBC = BCSD= .143因此，四面体 SABC 的表面积 S=4 .223a点评：本题主要考查多面体的表面积的求法.变式训练1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为 r，圆柱侧面积为 S，求圆锥的侧面积.解：设圆锥的母线长为 l，因为圆柱的侧面积为 S，圆柱的底面半径为 r，即 S 圆柱侧 =S，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为 ，由题意得圆锥的高为 ，又圆r2r2锥的底
14、面半径为 r，根据勾股定理，圆锥的母线长 l= ，根据圆锥的侧面积2)(S公式得S 圆锥侧 =rl=r .24)2(SrrS2.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ）A.123 B.1719 C.345 D.1927分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为123，于是自上而下三个圆锥的体积之比为( ) 2hhr232)(r 3h=1827，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为 1（81）2)3r（278）=1719.答案：B3.三棱锥 VABC 的中截面是A 1B1C1，则三棱锥 VA1B1C1与三棱锥 A
15、A1BC 的体积之比是（ ）A.12 B.14 C.16 D.18分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为 14，将三棱锥 AA1BC 转化为三棱锥 A1ABC，这样三棱锥 VA1B1C1与三棱锥 A1ABC 的高相等，底面积之比为 14，于是其体积之比为 14.答案：B例 2 如图 7，一个圆台形花盆盆口直径为 20 cm，盆底直径为15 cm， 底部渗水圆孔直径为 1.5 cm，盆壁长为 15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用 100毫升油漆，涂 100 个这样的花盆需要多少毫升油漆？（ 取 3.14，结果精确到 1 毫升，可用计算器）图
16、7活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积.解：如图 7，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积 S=-( )21 000(cm 2)=0.1(m2).152015)2(.涂 100 个这样的花盆需油漆：0.1100100=1 000（毫升）.答：涂 100 个这样的花盆需要 1 000 毫升油漆.点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用.变式训练1.有位油漆工用一把长度为 50 cm，横截面半径为 10 cm 的圆柱形刷子给一块面积为 10 m2的木板涂油漆，且圆柱形刷
17、子以每秒 5 周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少?（精确到 0.01 秒）解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，圆柱的侧面积为 S 侧 =2rl=20.10.5=0.1 m 2，又圆柱形刷子以每秒 5 周匀速滚动，圆柱形刷子每秒滚过的面积为 0.5 m 2，因此油漆工完成任务所需的时间 t= 6.37 秒.05.12点评：本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱的侧面积问题.解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积，即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积.从而使问题迎刃而解.2.（2007 山东滨州
18、一模，文 14）已知三棱锥 OABC 中，OA、OB、OC 两两垂直，OC=1,OA=x，OB=y，且 x+y=4，则三棱锥体积的最大值是_.分析：由题意得三棱锥的体积是 (x-2)2+ ，由于 x0，则当61)4(6123xxy3x=2 时，三棱锥的体积取最大值 .答案： 32例 3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8 g/cm3）六角螺帽（图 8）共重 5.8 kg,已知底面是正六边形，边长为 12 mm,内孔直径为 10 mm,高为 10 mm，问这堆螺帽大约有多少个?（ 取 3.14）图 8活动：让学生讨论和交流如何转化为数学问题.六角帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间
19、挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即 V= 122610-3.14( )432102102 956(mm 3)=2.956(cm3).所以螺帽的个数为 5.81 000(7.82.956)252(个).答：这堆螺帽大约有 252 个.点评：本题主要考查几何体的体积公式及其应用.变式训练如图 9，有个水平放置圆台形容器，上、下底面半径分别为 2 分米，4 分米，高为 5 分米，现以每秒 3 立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为 3 分米时，求所用的时间.（精确到 0.01 秒）图 9解：如图 10，设水面的半径为 r，
20、则 EH=r-2 分米，BG=2 分米，图 10在ABG 中，EHBG， .AH=2 分米,BGEHA .r= 分米.25r514当水面的高度为 3 分米时，容器中水的体积为V 水 = 3( )2+ 4+42= 立方分米,315876所用的时间为 36.69 秒.935876答：所用的时间为 36.69 秒.思路 2例 1 （2007 山东烟台高三期末统考，理 8）如图 11 所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为 1，那么这个几何体的体积为（ ）图 11A.1 B. C. D.213161活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几
21、何体的结构特征.分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图 12 所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PAAB，PAAC，ABAC.则该三棱锥的高是 PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为 V= .61231PASBC图 12答案：D点评：本题主要考查几何体的三视图和体积.给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得.此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视.变式训练1.（2007 山东泰安高三期末统考，理 8）若一个正三棱柱的三视图如图 13 所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）图 13A. B. C. D.3183153824
22、31624分析：该正三棱柱的直观图如图 14 所示，且底面等边三角形的高为 ，正三棱柱的高为 2，则底面等边三角形的边长为 4，所以该正三棱柱的表面积为342+2 4 =24+ .1328图 14答案：C2.（2007 山东潍坊高三期末统考，文 3）如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为 1 的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ）A. B. C. D.33233分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径 2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为 ，所以这个几何体的体积为 V=.3132答案：A3.（2007 广东高考，文 17
23、）已知某几何体的俯视图是如图 15 所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形.图 15（1）求该几何体的体积 V；（2）求该几何体的侧面积 S.解：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为 6、8 的矩形，高为 4 的四棱锥.设底面矩形为 ABCD.如图 16 所示，AB=8，BC=6，高 VO=4.图 16（1）V= (86)4=64.3(2)设四棱锥侧面 VAD、VBC 是全等的等腰三角形，侧面 VAB、VCD 也是全等的等腰三角形，在VBC 中，BC 边上的高为 h1= ,24)8()2(2
24、ABVO在VAB 中，AB 边上的高为 h2= =5.2)6()(C所以此几何体的侧面积 S= =40+ .5821461(4点评：高考试题中对面积和体积的考查有三种方式，一是给出三视图，求其面积或体积；二是与的组合体有关的面积和体积的计算；三是在解答题中，作为最后一问.例 2 图 17 所示的几何体是一棱长为 4 cm 的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为 2 cm、深为 1 cm 的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少?（ 取3.14）图 17活动：因为正方体的棱长为 4 cm，而孔深只有 1 cm，所以正方体没有被打透.这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体
25、的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为 1 cm，底面圆的半径为 1 cm.解：正方体的表面积为 166=96（cm 2） ，一个圆柱的侧面积为 211=6.28（cm 2） ，则打孔后几何体的表面积为 966.286=133.68（cm 2）.答：几何体的表面积为 133.68 cm2.点评：本题主要考查正方体、圆柱的表面积.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积.本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与六个圆柱侧面积的和是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，
26、思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的.变式训练图 18 所示是由 18 个边长为 1 cm 的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积.图 18分析：从图 18 中可以看出，18 个小正方体一共摆了三层，第一层 2 个，第二层 7 个，因为 18-7-2=9，所以第三层摆了 9 个.另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后,左、右两个面的表面积也是分别相同的.解：因为小正方体的棱长是 1 cm，所以上面的表面积为 129=9（ cm 2） ，前面的表面积为 128=8（ cm 2） ，左面的表面积为 127=7（ cm 2） ，则此几何体的表面积为 92+82+72=48( cm2).答：此几何体的表面积为 48 cm2.5、巩固深化、反馈矫正教师投影练习1、已知圆锥的表面积为 a ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为 。 （答案： ma32）2、棱台的两个底面面积分别是 245c和 80，截得这个棱台的棱锥的高为 35cm，求这个棱台的体积。 （答案：2325cm 3）6、课堂小结本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积和体积的结构和求解方法及公式。用联系的关点看待三者之间的关系，更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握。7、评价设计习题 1.3 A 组 1.3
