1、1 实数大小比较的方法知多少实数比较大小是一种常见题型，解题思路较多，灵活多变，下面结合例子介绍几种比较大小的方法供同学们学习时参考.1.利用作差法比较实数大小方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差变形判断差的符号得出结论.比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解法和配方法.例 1 已知 ab 1；abab 1；ab 1.ab ab作商比较法的基本步骤：作商；变形；与 1 比较大小；下结论.例 2 设 a0，b0 ，且 ab，试比较 aabb，a bba，( ab) 三者的大小.2b解 a b a b .aabbab 22(ab) 2当 ab0 时， 1
2、，ab0 ， 0，ab a b2 0 1，a abb(ab) .(ab) 2(ab) 2ab当 0 0 1，a abb(ab) .(ab) 2(ab) 2ab不论 ab0 还是 0(ab) .2ab同理：(ab) abba.综上所述，a abb(ab) abba.23.构造中间值比较实数大小方法链接：由传递性知 ab，bcac，所以当两个数直接比较不容易时，我们可以找一个适当的中间值为媒介来间接地比较.例 3 设 alog 3，blog 2 ，clog 3 ，则( )3 2A.abc B.acbC.bac D.bca解析 alog 3log331，a1 ，blog 2 log23b，ac.21
3、2 12又 blog 2 log23 ， bc，abc.312 12答案 A4.特殊值法比较实数大小方法链接：一些比较实数大小的客观性题目，先通过恰当地选取符合题目要求的一组特例，从而确定出问题的答案.这种取特殊值法往往能避重就轻，避繁从简，快速获得问题的解.一些解答题，也可以先通过特例为解答论证提供方向.例 4 若 0 ，最大的数应是 a1b1a 2b2.581238(注：本题还可以利用作差法比较大小，此答从略)答案 A5.利用函数单调性比较实数大小方法链接：有些代数式的大小比较很难直接利用不等式性质完成，可以考虑构建函数，借助函数的单调性加以判断.例 5 当 0(1a) bB.(1a) a
4、(1b) b1C.(1a) b(1a) D.(1a) a(1b) b2解析 对于 A，0b，(1a) ，(1a) b(1a) b，又函数 yx b为(0，)上的增函数，且 1a1b0，从而(1a)b(1b) b，所以(1a) a(1b) b，D 正确，故选 D.答案 D6.借助函数的图象比较实数大小方法链接：借助函数的图象比较实数大小，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何含义，善于构造函数图象，从图象上找出问题的结论.例 6 设 a，b，c 均为正数，且 2alog a， blog b， clog 2c，则( )1(12) 12(12)A.a0 的等价条件是Error!或Error!例 1
5、 已知不等式 2 对任意 xR 恒成立，求 的取值范围.kx2 kx 6x2 x 2解 x2x2 2 0.(x 12) 74原不等式等价于 x2 x62x 22x4，即( 2)x 2( 2)x20.当 2 时，20，结论显然成立；当 2 时， 满足不等式组Error!解得 20 对一切 x R 恒成立，求实数 a 的取值范围.解 设 f(x)sin 2x2asinxa 22a2，则 f(x)(sinxa) 222a.当 a0 显 然 成 立 ， a0，解得 a1 时，f( x)在 sinx1 处取到最小值，且 f(x)mina 24a3，由 a24a30，解得 a3，a1，a3.综上所述，a
6、的取值范围为 a3.3.利用直线型函数图象的保号性求解函数 f(x) xb，x ，的图象是一条线段，此线段恒在 x 轴上方的等价条件是Error!此线段恒在 x 轴下方的等价条件是Error!此线段与 x 轴有交点的等价条件是 f()f()0.例 3 已知当 x0,1时，不等式 2m10，x0,1恒成立Error!Error!ma 恒成立，求 a 的取值范围.解 不等式 f(x)ax 2ax3ax 23a(1 x)，x 1,1. 1x1， 01x 2.当 x1 时，1x 0，x 23 a(1x)对一切 aR 恒成立；当 x1 时，00，a1) 的图象过区域 M 的 a 的取值范围是 ( )A.
7、(1,3 B.2， 10C.2,9 D. ，910解析 作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得 A(1,9)，C (3,8).当 ya x过 A(1,9)时，a 取最大值，此时 a9；当 ya x过 C(3,8)时，a 取最小值，此时 a2，2 a9.答案 C点评 准确作出可行域，熟知指数函数 ya x的图象特征是解决本题的关键.2.线性规划与概率交汇例 2 两人约定下午 4 点到 5 点在某一公园见面，他们事先约定先到者等候另一个人 20 分钟，过时就离去.请问这两个人能见面的概率有多大？解 用 x，y 分别表示两人到公园的时间，若两人能见面，则有|xy|20，又0x60,0y60，即
8、有Error!作出点(x，y) 的可行域如图阴影部分所示，由图知，两人能见面的概率为阴影部分的面积比上大正方形的面积，故所求概率为 P .602 4040602 59点评 这是一道几何概型的题目，关键在于确定两人能见面的时间区域，利用线性规划的思想简洁、直观、明了.3.线性规划与一元二次方程交汇例 3 已知方程 x2(2 a)x 1ab0 的两根为 x1，x 2，且 00)，求实数 m 的取值范围.解 设 AError!，B(x，y)|x 2y 2m 2 (m0)，则集合 A 表示的区域为图中阴影部分，集合 B 表示以坐标原点为圆心，m 为半径的圆及其内部，由 AB 得，m | PO|，由Er
9、ror!解得Error!即 P(3,4)， |PO|5，即 m5.故实数 m 的取值范围是5，).点评 集合(x，y)|x 2y 2m 2 (m0)的几何含义是以(0,0)为圆心，m 为半径的圆及其内部区域.5.线性规划与平面向量交汇例 5 已知 O 为坐标原点，定点 A(3,4)，动点 P(x，y )满足约束条件 Error!则向量 在OP 上的投影的取值范围是( )OA A. B.35， 75 35， 95C. D.75， 95 35， 115解析 画出不等式组Error!所表示的平面区域，如图所示，向量 在向量 上的投影为OP OA | |cosAOPOP | |OP OP OA |OP
10、 |OA | ，OP OA |OA | 3x 4y5令 3x4y，易知直线 3x 4y 过点 G(1,0)时， min 3；直线 3x4y 过点 N(1,2)时， max11. min ， max .(3x 4y5 ) 35 (3x 4y5 ) 115故选 D.答案 D点评 向量 在 上的投影：| |cos ， | | ，清OP OA OP OP OA OP OP OA |OP |OA |OP OA |OA | 3x 4y5楚这一点对解答本题至关重要.5 运用基本不等式求最值的 7 种常见技巧在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正、二定、三相等”的条件，需要做一些适当的变形，用到一些
11、变换的技巧，下面举例说明.1.凑和为定值例 1 若 a，b，c0，且 2abc ，则 a(abc )bc 的最大值为( )6A. B. C. D.234 3 32分析 注意 a(abc)bc ( ab)(ac)，而 2abc(ab) (ac)，从而沟通了问题与已知的联系，然后利用基本不等式求最值.解析 a( ab c)bca 2abacbc(a 2ac) (abbc )a(ac) b(ac)(ab)(ac) 2a b a c2 2 2 .(2a b c2 ) ( 62) 32当且仅当 abac ，即 bc 时，取“” ，62a(ab c)bc 的最大值为 .故选 C.32答案 C2.凑积为定值
12、例 2 设 abc0，则 2a2 10ac 25c 2 的最小值是( )1ab 1aa bA.2B.4C.2 D.55分析 注意到 2a2 10ac25c 21ab 1aa ba 2ab ab a 210ac25c 21aa b 1ab (a5c) 2，然后分别利用基本不等式和平方数的性质求最aa b 1aa b (ab 1ab)值.由于代数式比较复杂，要注意等号取到的条件.解析 a bc0， 原式a 2 10ac25c 2a 2a 2ab ab (a5c) 21ab 1aa b 1aa b 1ab (a5c) 22204，当且仅当 a(ab)aa b 1aa b (ab 1ab)1，ab1，
13、a5c0 时取等号.即当 a ，b ，c 时，所求代数式的最小值为 4.222 25答案 B3.化负为正例 3 已知 x0，54y4x2 3231，14x 5 (5 4x 15 4x)当且仅当 54x ，即 x1 时，上式等号成立，15 4x故当 x1 时，y max1.4.和积互“化”例 4 若正实数 x，y 满足 2xy6xy，则 2xy 的最小值是 .分析 可以利用基本不等式的变形形式 ab 2进行和或积的代换，这种代换目的是消(a b2 )除等式两端的差异，属于不等量代换，带有放缩的性质.解析 方法一 x 0，y 0，xy (2x)y 2，12 12(2x y2 )2xy6(2x y
14、)6 (2xy) 2，18(2xy )28(2x y)480，令 2xyt，t0，则 t28t 480，(t 12)(t4)0，t12，即 2xy12.方法二 由 x0，y 0,2xy 6xy，得xy2 6(当且仅当 2xy 时，取“”)，2xy即( )22 60，xy 2xy( 3 )( )0.xy 2 xy 2又 0，xy 3 ，即 xy18.xy 2xy 的最小值为 18，2xyxy6，2xy 的最小值为 12.答案 125.消元法例 5 若正实数 a，b 满足 abab3，则 ab 的最小值为 .分析 从 abab3 中解出 b，即用 a 的代数式表示 b，则 ab 可以用 a 来表示
15、，再求关于 a 的代数式的最值即可.解析 abab3，(a1)ba3.a0，b0，a 10，即 a1，b ，a 3a 1aba (a 3a 1) a2 3aa 1a 12 5a 1 4a 1(a1) 5.4a 1a1，a 1 2 4，4a 1 a 1 4a 1当且仅当 a1 ，即 a3 时，取等号，4a 1此时 b3，ab9.ab 的最小值为 9.答案 96.平方法例 6 若 x0，y 0，且 2x2 8，求 x 的最大值.y23 6 2y2分析 仔细观察题目已知式中 x 与 y 都是二次的，而所求式中 x 是一次的，而且还带根号，初看让人感觉无处着手，但是如果把 x 平方，则豁然开朗，思路就
16、在眼前了 .6 2y2解 (x )2x 2(62y 2)6 2y232x 2(1 y23)3 23 2.(2x2 1 y232 ) (92)当 2x21 ，即 x ，y 时，等号成立.y23 32 422故 x 的最大值为 .6 2y29327.换元法例 7 某商品进货价每件 50 元，据市场调查，当销售价格(每件 x 元) 为 500 对 xR 恒成立.Error!即Error!a1.错解 2 函数 ylg(ax 22xa)的值域为 R.代数式 ax2 2xa 能取到一切正值.44a 2 0， 1a1.点拨 上述解法 1 把值域为 R误解为定义域为 R；解法 2 虽然理解题意，解题方向正确，
17、但是忽略了 a0 时，目标函数值与直线在 y 轴上的截距同步达到最大值和最小值；当 b0，y 0，且 x2y 1，求 的最小值.1x 1y错解 因为 x0，y 0，且 x2y1， (x2y )1x 1y (1x 1y)2 2 4 .1x1y 2xy 2所以 的最小值为 4 .1x 1y 2点拨 上述解答是错误的，错因是连续两次使用基本不等式，忽视了等号成立的一致性.正解 因为 x0，y 0，且 x2y1，所以 12 1x 1y x 2yx x 2yy 2yx xy32 32 .2yxxy 2当且仅当 且 x2y1，2yx xy即 x 1， y1 时，取得等号 .222所以 的最小值为 32 .1x 1y 2温 馨 点 评 在 多 次 使 用 基 本 不 等 式 时 ，一 定 要 注 意 等 号 成 立 的 条 件 是 否 相 同 .
