1、基本不等式教学 案一、 教学 目标知识与技能1）掌握基本不等式及其推导，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等;2）能用基本不等式证明一些简单的不等式. 过程与方法经历从实际情境中抽象出基本不等式的过程，提高数 建模的能力；情感、态度与价值观体会数 与 学生活实践，可以解决实际问题，感受数 公式的抽象美.二、 教学 重难点教学 重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同学 角度探索不等式的证明过程；2ab教学 难点：应用基本不等式的理解及掌握基本不等式 等号成立2ab条 + + 三、教学 方法 启发式、讲练结合四、教学 具准备 多媒体及课件五、
2、教学 思路1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；2.从不同学 角度探索基本不等式的证明过程；3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路；4通过三道例题让 学生熟悉掌握基本不等式。六、教学 过程1.课题导入 几何背景：如图是在北京召开的第 24 界国际数 家大会的会标，会标是根据中国古代数 家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。那请大家观察这个图从面积的角度去思考，我们找出哪些相等关系或不等关系呢？2.讲授新课（1）探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形 ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角
3、边长为 a,b 那么正方形的边长为 。2ab这样，4 个直角三角形的面积的和是 2ab，正方形的面积为 。2ab由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。2ab当直角三角形变为等腰直角三角形，即 a=b 时，正方形 EFGH 缩为一个点，这时有 。2（2）得到结论：一般的，如果 )“(2R,2 号时 取当 且 仅 当那 么 bababa（3）思考证明：你能给出它的严格证明吗？如果 号时 取当 且 仅 当那 么 2分析：回顾，比较两个整式的大小最常用做差法。证明：因为 22)(baba当2,()0,()0,时 当 时所以， ，即2 )号“时 取当 且 仅 当2 ba
4、a（4）类比推理：如果 a0,b0,我们用分别代替 a、b ，可得 ，2ab（5）类比证明：如果 a0,b0，则有 2证明：要证 a+b2 ，只要证： a+b-2 0，即 ,0)(2又因为 显然是成立的，当且仅当 a=b 时，等号成立，（6）解读基本不等式：若 .2,Rba则 有这里 称为 a,b 的算数平均数； 称为 a,b 的几何平均数；2ba由此又可称为均值不等式。均值不等式成立条件：取值范围， .,Rba取等条件，当且仅当 时取等。3.概念辨析，应用举例例1.下面推导过程：正确的有 （ ） 正实数，=2； 正实数， lg =-2.解析：正确，小题总结：基本不等式里的 a,b可用任意大于
5、 0的整式代替；错误，因为 正实数， lg 不一定大于零；错误，取值不一定大于零；小题总结：基本不等式运用一定注意取值必须大于零，正确，小题总结： 基本不等式里要 会巧妙变换，关注取值问题。 例 2.已知 a、 b、 c 都是正数，求证（ a b） （ b c） （ c a） abc分析：对于此类题目，选择定理： （ a0， b0）灵活变形，可求得结果.2解： a， b， c 都是正数 a b2 0； b c2 0； c a2 0c（ a b） （ b c） （ c a）2 2 2 abc b即（ a b） （ b c） （ c a） abc（当且仅当 a=b=c 时等号成立）小题总结：巧用基本不等式时，碰见三个或多个时两两结合，多次运用基本不等式。4、课堂小结1. 两个基本不等式的推导及意义1） a2 b22 ab；2） （均值不等式）2. 利用基本不等式证明一些简单的不等式.5.课后作业及思考思考：用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形菜园，问怎样规划这个矩形的长、2宽，使得所用篱笆最短. 最短篱笆是多少？作业：三维设计相应章节练 学习。七课后总结
