1、微课程 2：集合的运算【考点精讲】子 集 真 子 集定 义对于两个集合 A、B，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素，称集合 A 为集合 B 的子集若集合 A B，但存在元素 xB，且x A，称集合 A 是集合 B 的真子集符号语言 若任意 xA，有 xB，则 A B。 若集合 A B，但存在元素 xB，且x A，则 A B表示方法A 为集合 B 的子集，记作 A B 或 BA。A 不是 B 的子集时，记作 A B 或 BA。若集合 A 是集合 B 的真子集，记作 AB 或 B A。性 质 A A AA B，B C A CA B，且 B C A C子集个数 含 n 个元素的集合
2、 A 的子集个数为2含 n 个元素的集合 A 的真子集个数为12空 集 不含任何元素的集合，记为 。空集是任何集合的子集，用符号语言表示为A；若 A 非空（即 A ） ，则有 A。集合的运算：1. 并集的概念（1）自然语言表示：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集。（2）符号语言表示：AB=x|xA，或 xB。（3）图形语言（Venn 图）表示： 。2. 交集的概念（1）自然语言表示：由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的交集。（2）符号语言表示：AB=x|xA，且 xB。（3）图形语言表示（Venn 图
3、）： 。3. 补集的概念（1）自然语言表示：对于集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素所组成的集合，称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集。（2）符号语言表示： A=x|xU，且 x A。（3）图形语言表示（Venn 图）： ，阴影部分表示 A。【典例精析】 例题 1 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正。（1） 表示空集；（2）空集是任何集合的真子集；（3）1，2，3不是3，2，1 ；（4）0，1的所有子集是0，1，0，1 ；（5）如果 A B 且 AB，那么 B 必是 A 的真子集；（6）A B 与 B A 不能同时成立。思路导航：对每个说法按照相
4、关的定义进行分析，认真地与定义中的要素进行对比，即能判断正误。答案：（1）不正确。应该改为： ，表示这个集合的元素是 。（2）不正确。空集是任何非空集合的真子集，也就是说空集不能是它自身的真子集。这是因为空集与空集相等，而两个相等的集合不能说其中一个是另一个的真子集。由此也发现了，如果一个集合是另一个集合的真子集，那么这两个集合必不相等。（3）不正确。1，2，3与3，2，1 表示同一集合。（4）不正确。0，1的所有子集是0，1，0，1 ， 。（5）正确。（6）不正确。A=B 时，A B 与 B A 能同时成立点评：结合本题，要注意以下几点：（1） 不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以（1
5、）不正确。空集有专用的符号“ ”，不能写成 ，也不能写成 。（2）分析空集、子集、真子集的区别与联系。（3）不正确。两个集合是不是相同，要看其中一个集合的每个元素在另一个集合中是不是都有相同的元素与之对应，而不必考虑各元素的顺序。（4）不正确。注意到 是每个集合的子集。所以这个说法不正确。（5）正确。A B 包括两种情形：A B 和 A=B。（6）不正确。A=B 时，A B 与 B A 能同时成立。例题 2 已知集合 A=x|ax23x+2=0，aR ，若 A 中元素至多只有一个，求 a 的取值范围。思路导航：对于方程 ax23x+2=0，a R 的解，要看这个方程左边的二次项的系数，a=0
6、或 a0 时，方程的根的情况是不一样的。则集合 A 的元素也不相同，所以首先要分类讨论。答案：（1）a=0 时，原方程为3x+2=0 x= ，符合题意；32（2）a0 时，方程 ax23x+2=0 为一元二次方程，=9 8a0 a 。89当 a 时，方程 ax23x+2=0 无实根或有两个相等实数根，这都符合题意。89综合（1） （2） ，知 a=0 或 a 。89点评：分类讨论思想是数学中的重要思想，要注意对方程 ax23x+2=0，aR 中的 a分类讨论。例题 3 设集合 Ax |xa|1，xR ，Bx|1x5，xR 。若 AB，则实数a 的取值范围是（ ）A. a|0a6 B. a|a2
7、 或 a4C. a|a0 或 a6 D. a|2a4思路导航：本题主要考查绝对值不等式的基本解法与集合交集的运算，属于中等题。由|x a|1 得 1xa1 ，即 a1 xa1。AB可以分两种情况来讨论，一种是 A 集合在 B 集合的左边，一种是 A 集合在 B 集合的右边。如图，由图可知 a11 或 a15，所以 a0 或 a6。答案：C点评：利用数形结合的方法来解决几何问题，考虑多种情况。 随堂练习：满足1，3A=1 ，3，5 的所有集合 A 的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4思路导航：根据 AB 的定义可知，集合1 ，3，5应该是集合 1，3和 A 的元素并在一起构成的集
8、合，所以 A 中必有元素 5，且其他元素只能从 1，3 中选出一个或两个或不选，因此 A 有四种可能：5，1，5，3 ，5，1 ，3，5。答案：D点评：注意此处求两个集合的并集时，两个集合中的相同元素在并集中只能出现一次，所以本例的集合 A 中有可能含有元素 1 和 3 中的一个或两个。【总结提升】1. 分类讨论思想是很重要的思想方法，注意掌握分类的方法；2. 在解决集合的元素问题时，最后结论要注意检验元素是否具备互异性；3. 善于利用数形结合方法。4. 集合运算符号：交集，并集，补集。集合的运算1. 集合 A2，3，5，当 xA 时，若 x1A，x1A，则称 x 为 A 的一个“孤立元” ，
9、则 A 中孤立元的个数为_个。2. 设5x| x2ax 50，则集合x|x 24xa0 中所有元素之和为_。3. 用另一种方法表示下列集合。（1）绝对值小于 2 的整数；（2）能被 3 整除，且小于 10 的正数 ；（3）x| x| x|， x5 且 x ；（4）3，1，1，3，5。4. 下面三个集合x| yx 2 1；y|y x 21 ；（x，y）| yx 21。（1）它们是不是相同的集合？（2）它们各自的含义是什么？5. 已知 M1， 2，3，9，若 aM 且 10aM，则集合 M 的个数为（ ）A. 29 B.30 C.32 D.316. 设集合 SA 0，A 1，A 2， A3，在 S
10、 上定义运算 为 :Ai AjA ，其中 为 i+j 被 4除的余数，i，j0，1，2，3，则满足关系式（x x） A2A 0 的 x（x S）的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 47. 设全集 I1，2，3， ，9 ，A，B 是 I 的子集，若 AB1，2，3 ，就称集对（A，B ）为“好集” ，那么所有“ 好集”的个数为（ ）A. 6！ B. 62 C. 26 D. 36集合的运算1. 1解析：当 x2 时，x 11A，x13A，2 不是孤立元；当 x3 时，x12A，x14 A，3 不是孤立元；当 x5 时，x14A，x 16A，5 是孤立元。2. 2解析：5x| x2ax
11、 5 0，5 是方程 x2ax 50 的根。（5） 25a50，a4。x 24xa0 即 x24x40，x 1x 22。又集合中的元素是互异的，x|x 2 4xa02 。3. 解：（1）列举法表示为1，0，1 。（2）列举法表示为3，6，9。（3）列举法表示为0，1，2 ，3，4 。（4）描述法表示为x| x2n1，1n3，n 。4. 解：（1）是互不相同的集合。（2）集合x| yx 21的代表元素是 x，满足条件 yx 21 中的 xR，x|y x21R；集合y| yx 21的代表元素是 y，满足条件 yx 21 的 y 的取值范围是 y1。y|y x21y|y 1；集合（x，y）|y x
12、21的代表元素是（ x，y） ，是满足 yx 21 的数对（x，y）的集合；也可以认为是坐标平面内的点（x，y） ，由于这些点的坐标满足 yx 21，（x，y）|yx 21抛物线 yx 21 上的点。5. D解析：由题意，知 M且 1 与 9，2 与 8，3 与 7，4 与 6 这 4 组数都要满足：每组数的某一个数在集合 M 中，这组数的另一个也必定在集合 M 中，所以集合 M 的个数为。5453251 CC6. B解析：本题考查学生阅读理解能力与根据信息解决问题的能力。xA 0 时， （x x）A2A 2A0；xA 1 时， （x x） A2A 2 A2A 0；xA 2 时， （x x） A2A 0 A2A 2A0；xA 3 时， （x x） A2A 2 A2A 0；所以选 B。7. D 解析：要使 AB1，2，3 ，必须满足集合 A，B 中都含有元素 1，2，3，且对全集中的其他 6 个元素中的每一个，要么在集合 A 中，要么在集合 B 中，或既不在 A 中也不在 B 中，于是这 6 个元素所在集合的不同情况有 3333333 6 种。而这 6 个元素所在集合的不同情况种数即为“好集”的个数。故选 D。
