1、14.2.2 圆与圆的位置关系课后篇巩固探究A 组 基础巩固1.圆 x2+y2+4x-4y+7=0 与圆 x2+y2-4x+10y+13=0 的公切线的条数是 ( )A.1 B.2 C.3 D.4解析 两圆的圆心分别为(-2,2),(2,-5), 则两圆的圆心距 d= .又两圆半径分别(-2-2)2+(2+5)2=65为 1 和 4,则 d1+4=5,即两圆外离,因此它们有 4 条公切线.答案 D2.圆:x 2+y2-2x-2y=0 和圆:x 2+y2-6x+2y+6=0 交于 A,B 两点,则 AB 的垂直平分线的方程是( )A.x+y+3=0 B.x-y+2=0C.x+y-2=0 D.2x
2、-y-1=0解析 AB 的垂直平分线就是两圆的连心线,两圆的圆心分别为(1,1),(3,-1),过两圆圆心的直线方程为x+y-2=0.答案 C3.若圆 C1:(x+2)2+(y-m)2=9 与圆 C2:(x-m)2+(y+1)2=4 外切,则 m 的值为( )A.2 B.-5C.2 或-5 D.不确定解析 两圆的圆心坐标分别为(- 2,m),(m,-1),两圆的半径分别为 3,2,由题意得 =3+2,(+2)2+(-1-)2解得 m=2 或 m=-5.答案 C4.半径为 6 的圆与 x 轴相切,且与圆 x2+(y-3)2=1 内切,则此圆的方程为( )A.(x-4)2+(y-6)2=16B.(
3、x4)2+(y-6)2=16C.(x-4)2+(y-6)2=36D.(x4)2+(y-6)2=36解析 设所求圆心坐标为(a,b),则|b|=6.由题意,得 a2+(b-3)2=(6-1)2=25.若 b=6,则 a=4;若 b=-6,则 a 无解.故所求圆方程为(x 4)2+(y-6)2=36.答案 D5.若点 P 在圆 O:x2+y2=1 上运动,点 Q 在圆 C:(x-3)2+y2=1 上运动,则|PQ|的最小值为( )A.3 B.2 C.1 D.42解析 |PQ|的最小值应为圆心距减去两圆半径,即(|PQ|) min=|OC|-2=3-2=1.答案 C6.若圆 x2+y2-2ax+a2
4、=2 和圆 x2+y2-2by+b2=1 相离,则 a,b 满足的条件是 . 解析 两圆的连心线的长为 d= .2+2 两圆相离, d +1, a2+b23+2 .2 2答案 a2+b23+2 27.若点 A(a,b)在圆 x2+y2=4 上,则圆(x-a) 2+y2=1 与圆 x2+(y-b)2=1 的位置关系是 . 解析 点 A(a,b)在圆 x2+y2=4 上, a2+b2=4.又圆 x2+(y-b)2=1 的圆心 C1(0,b),半径 r1=1,圆(x-a) 2+y2=1 的圆心 C2(a,0),半径 r2=1,则|C 1C2|= =2,2+2=4 |C1C2|=r1+r2. 两圆外切
5、.答案 外切8.过原点 O 作圆 x2+y2-4x-8y+16=0 的两条切线,设切点分别为 P,Q,则直线 PQ 的方程为 . 解析 设圆 x2+y2-4x-8y+16=0 的圆心为 C,则 C(2,4), CPOP,CQOQ, 过四点 O,P,C,Q 的圆的方程为 (x-1)2+(y-2)2=5.两圆方程相减得直线 PQ 的方程为 x+2y-8=0.答案 x+2y-8=09.求过点 A(4,-1),且与圆 C:(x+1)2+(y-3)2=5 相切于点 B(1,2)的圆的方程.解 设所求圆的圆心 M(a,b),半径为 r,已知圆的圆心为 C(-1,3),因为切点 B 在连心线上,即 C,B,
6、M 三点共线,所以 ,即 a+2b-5=0. +1-3=1+12-3由于 AB 的垂直平分线为 x-y-2=0,圆心 M 在 AB 的垂直平分线上,所以 a-b-2=0. 联立 解得 =3,=1.故圆心坐标为 M(3,1),r=|MB|= ,5所以所求圆的方程为(x-3) 2+(y-1)2=5.10.已知两圆 C1:x2+y2+4x-6y+12=0,C2:x2+y2-2x-14y+k=0(k5,解得 kr 1+r2,即 1+ 34.50-B 组 能力提升1.已知半径为 1 的动圆与圆(x-5) 2+(y+7)2=16 相切,则动圆圆心的轨迹方程是( )A.(x-5)2+(y+7)2=25B.(
7、x-5)2+(y+7)2=17 或( x-5)2+(y+7)2=15C.(x-5)2+(y+7)2=9D.(x-5)2+(y+7)2=25 或(x-5) 2+(y+7)2=9解析 设动圆圆心(x,y),则若两圆内切,则有 =4-1=3,即( x-5)2+(y+7)2=9;若两圆外切,(-5)2+(+7)2则有 =4+1=5,即(x- 5)2+(y+7)2=25.(-5)2+(+7)2答案 D2.若圆 C1:x2+y2=4 和圆 C2:x2+y2+4x-4y+4=0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为( )A.x+y=0 B.x+y=2C.x-y=2 D.y=x+2解析 因为 =-1,C2
8、C1的中点为(- 1,1),所以 C2C1的垂直平分线即为所求直线 l,其方程为 y=x+2.12答案 D3. 导学号 57084098 若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 有公共点,则 b 的取值范围是( )4-2A.1-2 ,1+2 2 2B.1- ,32C.-1,1+2 2D.1-2 ,32解析 数形结合,利用图形进行分析.由 y=3- ,得(x-2) 2+(y-3)2=4(0x 4,1y3),它表示以(2,3)4-2为圆心,2 为半径的下半圆,如图所示,令 =2,得 b=1-2 (b=1+2 舍去),故选 D.|2-3+|12+12 2 24答案 D4.圆 x2+y2-x+y-2=0
9、 和圆 x2+y2=5 的公共弦长为 . 解析 由 2+2-+-2=0,2+2=5, - 得,两圆的公共弦所在直线方程为 x-y-3=0, 圆 x2+y2=5 的圆心到该直线的距离为d= .|-3|12+(-1)2=32设公共弦长为 l, l=2 .5-(32)2=2答案 25.已知圆 C1:x2+y2-6x-7=0 与圆 C2:x2+y2-6y-27=0 相交于 A,B 两点,则线段 AB 的中垂线方程为 .解析 AB 的中垂线即为圆 C1、圆 C2的连心线 C1C2,又 C1(3,0),C2(0,3),直线 C1C2的方程为 x+y-3=0,即线段 AB 的中垂线方程为 x+y-3=0.答
10、案 x+y-3=06.与圆 x2+y2-ax-2y+1=0 关于直线 x-y-1=0 对称的圆的方程是 x2+y2-4x+3=0,则 a= . 解析 利用两圆圆心连线与对称轴垂直,圆心连线中点在对称轴上,可得 a=2.答案 27.求与圆 C:x2+y2-2x=0 外切且与直线 l:x+ y=0 相切于点 M(3,- )的圆的方程.3 3解 圆 C 的方程可化为(x-1) 2+y2=1,圆心为 C(1,0),半径为 1.设所求圆的方程为(x-a) 2+(y-b)2=r2(r0),由题意可知 解得(-1)2+2=+1,+3-3(- 33)=-1,|+3|2 =, =4,=0,=2.故所求圆的方程为(x-4) 2+y2=4.8. 导学号 57084099 已知圆 M:x2+y2=10 和圆 N:x2+y2+2x+2y-14=0,求过两圆交点,且面积最小的圆的方程.解 设两圆交点为 A,B,则以 AB 为直径的圆就是所求的圆.直线 AB 的方程为 x+y-2=0.两圆圆心连线的方程为 x-y=0.解方程组 +-2=0,-=0, 得圆心坐标为(1,1).圆心 M(0,0)到直线 AB 的距离为 d= ,2弦 AB 的长为|AB|=2 =4 ,( 10)2-( 2)2 2所以所求圆的半径为 2 .2所以所求圆的方程为(x-1) 2+(y-1)2=8.5
