1、1抛物线的概念平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的 准线2抛物线的标准方程与几何性质y22px( p0)y22px(p0) x22py(p0) x22py (p0)标准方程p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离图形顶点 O(0,0)对称轴 y0 x0焦点 F(p2, 0)F( p2, 0)F(0, p2)F(0, p2)离心率 e1准线方程 xp2xp2yp2yp2范围 x0,yR x0,yR y0,xR y0,xR开口方向 向右 向左 向上 向下【知识拓展】1抛物线 y22px (p0)上
2、一点 P(x0,y 0)到焦点 F 的距离|PF| x 0 ,也称为抛物线的(p2, 0) p2焦半径2y 2ax 的焦点坐标为 ,准线方程为 x .(a4, 0) a43设 AB 是过抛物线 y22px( p0)焦点 F 的弦,若 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),则(1)x1x2 ,y 1y2p 2.p24(2)弦长|AB|x 1x 2p ( 为弦 AB 的倾斜角)2psin2(3)以弦 AB 为直径的圆与准线相切(4)通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于 2p,通径是过焦点最短的弦【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线
3、 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线( )(2)方程 yax 2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是 ( ,0),准线方程a4是 x .( )a4(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形( )(4)AB 为抛物线 y22px (p0)的过焦点 F( ,0) 的弦,若 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),则p2x1x2 ,y 1y2p 2,弦长|AB |x 1x 2p.( )p241(2016四川)抛物线 y24x 的焦点坐标是( )A(0,2) B(0,1)C(2,0) D(1,0)答案 D解析 对于抛物线 y2ax ,其焦点坐标为 ,(a4,0)对于 y2
4、4x,焦点坐标为(1,0)2(2016金华一诊)过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1,y 1),Q(x 2,y 2)两点,如果 x1x 26,则|PQ| 等于( )A9B8C 7D6答案 B解析 抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0),准线方程为 x1.根据题意可得,|PQ| PF|QF|x 11x 21x 1x 228.3设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l的斜率的取值范围是( )A. B2,2 12, 12C1,1 D4,4答案 C解析 Q(2,0),设直线 l 的方程为 yk (x2) ,代入抛物线方
5、程,消去 y 整理得k2x2(4k 28)x4k 20,由 (4k 28) 24k 24k264(1k 2)0,解得1k1.4(2016合肥模拟)已知抛物线 y22px( p0)的准线与圆 x2y 26x 70 相切,则 p 的值为_答案 2解析 抛物线 y22px (p0)的准线为 x ,p2圆 x2y 26x 70,即( x3) 2y 216,则圆心为(3,0),半径为 4.又因为抛物线 y22px (p0)的准线与圆 x2y 26x70 相切,所以 3 4,解得 p2.p2题型一 抛物线的定义及应用例 1 (1)已知 F 是抛物线 y2x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,| AF|B
6、F|3,则线段AB 的中点到 y 轴的距离为( )A. B1C. D.34 54 74(2)设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点,若 B(3,2),则| PB| PF|的最小值为_答案 (1)C (2)4解析 (1)|AF |BF|x Ax B 3,12x Ax B ,52线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 .xA xB2 54(2)如图,过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q,交抛物线于点 P1,则|P 1Q|P 1F|.则有|PB|PF |P 1B|P 1Q|BQ|4.即|PB| |PF|的最小值为 4.引申探究1若将本例(2)中的 B 点坐标改为(3,4),试求|PB| PF|的最小
7、值解 由题意可知点(3,4)在抛物线的外部|PB| |PF|的最小值即为 B,F 两点间的距离,|PB| |PF| |BF| 42 22 2 ,16 4 5即|PB| |PF|的最小值为 2 .52若将本例(2)中的条件改为:已知抛物线方程为 y24x,直线 l 的方程为 xy 50,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1,到直线 l 的距离为 d2,求 d1d 2 的最小值解 由题意知,抛物线的焦点为 F(1,0)点 P 到 y 轴的距离 d1| PF|1,所以 d1d 2d 2|PF|1.易知 d2|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离,故 d2| PF|的最小值为 3 ,
8、|1 5|12 ( 1)2 2所以 d1d 2 的最小值为 3 1.2思维升华 与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度 “看到准线想焦点,看到焦点想准线” ,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点,则点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到直线x1 的距离之和的最小值为_答案 5解析 如图,易知抛物线的焦点为 F(1,0),准线是 x 1,由抛物线的定义知:点 P 到直线 x1 的距离等于点 P 到 F 的距离于是,问题转化为在抛物线上求一点 P,使点 P 到点 A(1
9、,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小,显然,连接 AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点,此时最小值为 .1 ( 1)2 (0 1)2 5题型二 抛物线的标准方程和几何性质命题点 1 求抛物线的标准方程例 2 已知双曲线 C1: 1(a0,b0)的离心率为 2.若抛物线 C2:x 22py(p0)的焦点x2a2 y2b2到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为 ( )Ax 2 y Bx 2 y833 1633Cx 2 8y Dx 216y答案 D解析 1 的离心率为 2,x2a2 y2b2 2,即 4, 3, .ca c2a2 a2 b2a2 b2a2 b
10、a 3x22py(p0)的焦点坐标为 , 1 的渐近线方程为 y x,即 y x.由题意得(0,p2) x2a2 y2b2 ba 32 ,p8.故 C2 的方程为 x216y .p21 (r(3)2命题点 2 抛物线的几何性质例 3 已知抛物线 y22px (p0)的焦点为 F,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点,求证:(1)y1y2p 2,x 1x2 ;p24(2) 为定值;1|AF| 1|BF|(3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为( ,0)p2由题意可设直线方程为 xmy ,代入 y22px,p2得 y2
11、2p ,即 y22pmyp 20.(*)(my p2)则 y1,y 2 是方程(*)的两个实数根,所以 y1y2p 2.因为 y 2px 1,y 2px 2,所以 y y 4p 2x1x2,21 2 212所以 x1x2 .y21y24p2 p44p2 p24(2) 1|AF| 1|BF| 1x1 p2 1x2 p2 .x1 x2 px1x2 p2(x1 x2) p24因为 x1x2 ,x 1x 2|AB|p,代入上式,p24得 (定值)1|AF| 1|BF| |AB|p24 p2(|AB| p) p24 2p(3)设 AB 的中点为 M(x0,y 0),分别过 A,B 作准线的垂线,垂足为
12、C,D ,过 M 作准线的垂线,垂足为 N,则| MN| (|AC|BD|) (|AF|BF |) |AB|.12 12 12所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数 p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此(1)(2016全国乙卷) 以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 D,E 两点已知|A
13、B| 4 ,| DE|2 ,则 C 的焦点到准线的距离为( )2 5A2B4C 6D8(2)(2016昆明三中、玉溪一中统考) 抛物线 y22px (p0)的焦点为 F,已知点 A、B 为抛物线上的两个动点,且满足AFB120.过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则 的最大值为( )|MN|AB|A. B1C. D233 233答案 (1)B (2)A解析 (1)不妨设抛物线 C:y 22px (p0),则圆的方程可设为 x2y 2r 2(r0),如图,又可设 A(x0,2 ), ,2 ( p2,5)点 A(x0,2 )在抛物线 y22px 上,82px 0, 2点
14、A(x0,2 )在圆 x2y 2r 2 上,x 8r 2, 2 20点 D 在圆 x2y 2r 2 上,( p2,5)5 2r 2, (p2)联立,解得 p4,即 C 的焦点到准线的距离为 p4,故选 B.(2)设|AF|a,|BF|b,分别过 A、B 作准线的垂线,垂足分别为 Q、P,由抛物线的定义知,|AF| AQ|,|BF |BP| ,在梯形 ABPQ 中, 2|MN|AQ| BP|ab.|AB|2a 2b 22abcos120a 2b 2ab( ab) 2ab.又 ab( )2,a b2所以(ab) 2ab( ab) 2 (ab) 2 (ab) 2,14 34得到|AB| (ab),3
15、2所以 ,|MN|AB|12(a b)32(a b) 33即 的最大值为 .|MN|AB| 33题型三 直线与抛物线的综合问题命题点 1 直线与抛物线的交点问题例 4 已知抛物线 C:y 28x 与点 M(2,2),过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A、B两点若 0,则 k _.MA MB 答案 2解析 抛物线 C 的焦点为 F(2,0),则直线方程为 yk (x2),与抛物线方程联立,消去 y 化简得 k2x2(4k 28)x4k 20.设点 A(x1,y 1),B(x 2,y 2)则 x1x 24 ,x 1x24.8k2所以 y1y 2k (x1x 2)4k ,8ky1y2k
16、 2x1x22(x 1x 2)416.因为 (x 12,y 12)( x22,y 22)( x12)(x 22) (y 12)(y 22) x 1x22(x 1x 2)MA MB y 1y22(y 1 y2)80,将上面各个量代入,化简得 k24k40,所以 k2.命题点 2 与抛物线弦的中点有关的问题例 5 (2016全国丙卷)已知抛物线 C:y 22x 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直线 l1,l 2 分别交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点(1)若 F 在线段 AB 上,R 是 PQ 的中点,证明:ARFQ;(2)若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍,求 AB
17、中点的轨迹方程(1)证明 由题意知,F ,设 l1:ya,l 2:y b,则 ab0,(12,0)且 A ,B ,P ,Q ,(a22,a) (b22,b) ( 12,a) ( 12,b)R .( 12,a b2 )记过 A,B 两点的直线为 l,则 l 的方程为 2x(ab)yab0.由于 F 在线段 AB 上,故 1ab0.记 AR 的斜率为 k1,FQ 的斜率为 k2,则 k1 b k 2.a b1 a2 a ba2 ab 1a aba b 0 12 12所以 ARFQ .(2)解 设过 AB 的直线为 l,设 l 与 x 轴的交点为 D(x1,0),则 SABF |ba|FD | |b
18、 a| ,12 12 |x1 12|SPQF .|a b|2由题意可得|b a| ,所以 x11,x 10(舍去)|x1 12| |a b|2设满足条件的 AB 的中点为 E(x,y)当 AB 与 x 轴不垂直时,由 kABk DE可得 (x1)而 y,所以2a b yx 1 a b2y2x1(x1)当 AB 与 x 轴垂直时,E 与 D 重合,此时 E 点坐标为(1,0),所以,所求轨迹方程为 y2x1(x1)思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点,可直接
19、使用公式|AB|x 1x 2p ,若不过焦点,则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、 “整体代入”等解法提醒:涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解(2016天津模拟) 已知抛物线 y24x 的焦点为 F,直线 l 过点 M(4,0)(1)若点 F 到直线 l 的距离为 ,求直线 l 的斜率;3(2)设 A, B 为抛物线上两点,且 AB 不垂直于 x 轴,若线段 AB 的垂直平分线恰过点 M,求证:线段 AB 中点的横坐标为定值(1)解 由已知,得 x4 不合题意,设直线 l 的方程为 yk(x4) ,由已知,得抛物线
20、C 的焦点坐标为 (1,0),因为点 F 到直线 l 的距离为 ,3所以 ,解得 k ,|3k|1 k2 3 22所以直线 l 的斜率为 .22(2)证明 设线段 AB 中点的坐标为 N(x0,y 0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),因为 AB 不垂直于 x 轴,则直线 MN 的斜率为 ,y0x0 4直线 AB 的斜率为 ,4 x0y0直线 AB 的方程为 yy 0 (xx 0),4 x0y0联立方程Error!消去 x 得(1 )y2y 0yy x0(x04) 0,x04 20所以 y1y 2 ,因为 N 是 AB 中点,所以 y 0,4y04 x0 y1 y22即 y 0,所
21、以 x02,2y04 x0即线段 AB 中点的横坐标为定值 2.7直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (14 分) 已知抛物线 C: ymx 2(m0),焦点为 F,直线 2xy20 交抛物线 C 于A,B 两点,P 是线段 AB 的中点,过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q.(1)求抛物线 C 的焦点坐标;(2)若抛物线 C 上有一点 R(xR,2)到焦点 F 的距离为 3,求此时 m 的值;(3)是否存在实数 m,使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由思维点拨 (3)中证明 0.QA QB 规范解答解 (1)抛物线 C:x 2 y,
22、它的焦点 F(0, )3 分1m 14m(2)|RF|y R ,2 3,得 m .5 分14m 14m 14(3)存在,联立方程Error!消去 y 得 mx22x20,依题意,有 (2) 24m (2)0m .7 分12设 A(x1,mx ), B(x2,mx ),则 Error!(*)21 2P 是线段 AB 的中点,P ( , ),x1 x22 mx21 mx22即 P( ,y P),Q( , )9 分1m 1m 1m得 ( x1 ,mx ), (x 2 ,mx ),QA 1m 21 1m QB 1m 2 1m若存在实数 m,使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形,则 0,QA QB
23、 即(x 1 )(x2 )(mx )(mx )0,12 分1m 1m 21 1m 2 1m结合(*)化简得 40,4m2 6m即 2m23m20,m2 或 m ,12而 2( ,), ( ,) 12 12 12存在实数 m2,使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形14 分解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步:联立方程,得关于 x 或 y 的一元二次方程;第二步:写出根与系数的关系,并求出 0 时参数范围(或指出直线过曲线内一点);第三步:根据题目要求列出关于 x1x2,x 1x 2(或 y1y2,y 1y 2)的关系式,求得结果;第四步:反思回顾,查看有无忽略特殊情况.1(2016
24、太原模拟)若抛物线 yax 2 的焦点坐标是(0,1),则 a 等于( )A1B. C2D.12 14答案 D解析 因为抛物线的标准方程为 x2 y,1a所以其焦点坐标为(0, ),则有 1,a ,14a 14a 14故选 D.2(2016浙江统一检测)已知抛物线 C 的顶点是原点 O,焦点 F 在 x 轴的正半轴上,经过 F的直线与抛物线 C 交于 A、B 两点,如果 12,那么抛物线 C 的方程为( )OA OB Ax 28y Bx 24yCy 2 8x Dy 24x答案 C解析 由题意,设抛物线方程为 y22px(p0),直线方程为 xmy ,p2联立Error! 消去 x 得 y22p
25、myp 20,设 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),则 y1y 22pm ,y 1y2p 2,得 x 1x2y 1y2(my 1 )(my2 )y 1y2m 2y1y2 (y1y 2)OA OB p2 p2 pm2 y 1y2 p212p4,p24 34即抛物线 C 的方程为 y28x.3已知抛物线 y22px (p0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( )Ax1B x1Cx2D x2答案 B解析 y 22px (p0)的焦点坐标为( ,0) ,p2过焦点且斜率为 1 的直线方程为 yx ,p2即 xy ,
26、将其代入 y22px,得 y22pyp 2,p2即 y22pyp 20.设 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),则 y1y 22p, p 2,y1 y22抛物线的方程为 y24x ,其准线方程为 x1.4(2016绵阳模拟)已知直线 l1:4x3y60 和直线 l2: x1,抛物线 y24x 上一动点P 到直线 l1 和 l2 的距离之和的最小值为( )A. B. C3D23716 115答案 D解析 直线 l2:x 1 是抛物线 y24x 的准线,抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0),则点 P 到直线 l2:x1 的距离等于|PF| ,过点 F 作直线 l1:4x3y60 的垂线,
27、和抛物线的交点就是点 P,所以点 P 到直线 l1:4x3y60 的距离和直线 l2:x1 的距离之和的最小值就是点F(1,0)到直线 l1:4x 3y60 的距离,所以最小值为 2,故选 D.|4 0 6|32 425(2016九江一模)过抛物线 y28x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,交抛物线的准线于点 C,若| AF|6, ,则 的值为( )BC FB A. B. C. D334 32 3答案 D解析 设 A(x1,y 1)(y10),B(x 2,y 2),C(2,y 3),则 x126,解得 x14,则 y14 ,2则直线 AB 的方程为 y2 (x2),令 x2,2得
28、C(2,8 ),联立Error!2解得Error! 或Error!则 B(1,2 ),| BF|123,| BC|9,23,故选 D.*6.(2016济南模拟)已知直线 yk( x2)( k0)与抛物线 C: y28x 相交于 A,B 两点,F 为 C的焦点,若|FA|2| FB|,则 k 的值为( )A. B. C. D.13 23 223 23答案 C解析 抛物线 C 的准线为 l:x2,直线 yk(x2)恒过定点 P( 2,0) ,如图,过 A,B 分别作 AMl 于 M,BNl 于 N,由 |FA|2|FB|,得|AM |2|BN|,从而点 B 为 AP 的中点,连接 OB,则|OB
29、| |AF|,所以|OB| BF|,12从而点 B 的横坐标为 1,点 B 的坐标为(1,2 ),2所以 k ,故选 C.22 01 ( 2) 2237设 F 为抛物线 C:y 23x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A,B 两点,则|AB|_.答案 12解析 焦点 F 的坐标为 ,(34,0)方法一 直线 AB 的斜率为 ,33所以直线 AB 的方程为 y ,33(x 34)即 y x ,代入 y23x,得 x2 x 0.33 34 13 72 316设 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),则 x1x 2 ,212所以|AB|x 1x 2p 12.212 32方法二
30、由抛物线焦点弦的性质可得|AB| 12.2psin2 3sin2308已知抛物线 C:y 22px(p0)的准线为 l,过 M(1,0)且斜率为 的直线与 l 相交于点 A,与3C 的一个交点为 B,若 ,则 p_.AM MB 答案 2解析 如图,由 AB 的斜率为 ,3知60 ,又 ,AM MB M 为 AB 的中点过点 B 作 BP 垂直准线 l 于点 P,则ABP 60,BAP30,|BP| |AB| |BM|.12M 为焦点,即 1,p 2.p29已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线 C:y 28x 的焦点重合,12A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,
31、则|AB| _.答案 6解析 抛物线 y28x 的焦点为(2,0),准线方程为 x2.设椭圆方程为 1(ab0),x2a2 y2b2由题意,c2, ,ca 12可得 a4,b 216412.故椭圆方程为 1.x216 y212把 x2 代入椭圆方程,解得 y3.从而|AB|6.*10.设直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A,B 两点,与圆(x5) 2y 2r 2(r0)相切于点 M,且 M为线段 AB 的中点若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是_答案 (2,4)解析 如图,设 A(x1,y 1),B( x2,y 2),M (x0,y 0),则Error!两式相减得,(y 1
32、y 2)(y1y 2)4(x 1x 2)当 l 的斜率 k 不存在时,符合条件的直线 l 必有两条当 k 存在时,x 1x 2,则有 2,y1 y22 y1 y2x1 x2又 y1y 22y 0,所以 y0k2.由 CMAB,得 k 1,y0 0x0 5即 y0k5x 0,因此 25x 0,x 03,即 M 必在直线 x3 上将 x3 代入 y24x ,得 y212,则有2 4(为保证有 4 条,在 k 存在时,y 00) ,20所以 40)的焦点,斜率为 2 的直线交抛物线于2A(x1,y 1),B (x2,y 2)(x10) 的焦点为 F,以 A(x1,y 1)(x10) 为直角顶点的等腰
33、直角ABC 的三个顶点 A,B,C 均在抛物线 E 上(1)过 Q(0,3)作抛物线 E 的切线 l,切点为 R,点 F 到切线 l 的距离为 2,求抛物线 E 的方程;(2)求ABC 面积的最小值解 (1)设过点 Q(0,3)的抛物线 E 的切线 l:ykx3,联立抛物线 E:x 22py (p0)得 x22pkx6p0,4p 2k246p0,即 pk26.点 F(0, ),点 F 到切线 l 的距离 d 2,p2 |p2 3|k2 1化简得(p6) 216( k21),(p6) 216( 1) ,6p 16(p 6)pp0,p60,得 p26p16(p8)( p2)0,p2,因此抛物线 E
34、 的方程为 x24y .(2)已知直线 AB 不会与坐标轴平行,设直线 AB:yy 1k(xx 1)(k0),B(x B,y B),联立抛物线方程得 x22pkx2p(kx 1y 1)0,则 x1x B2pk,则 xB2pkx 1,同理可得 xC x 1.2pk|AB| |AC| |xBx 1| |xCx 1|1 k21 1k2k(x B x1)x 1x Cx 1 ,p(k2 f(1,k)k 1|AB| |xBx 1| (2pk2x 1)1 k2 1 k22p .1 k2(k2 1)k(k 1) 2, k2 1k k2 1k 1 k2 1k2 2k 1 (当且仅当 k1 时等号成立) ,k2
35、1k2 1 (k2 1) 22故|AB| 2 p,ABC 面积的最小值为 8p2.2*13.如图,由部分抛物线:y 2mx1(m0,x0)和半圆 x2y 2r 2(x0)所组成的曲线称为“黄金抛物线 C”,若“黄金抛物线 C”经过点(3,2)和( , )12 32(1)求“黄金抛物线 C”的方程;(2)设 P(0,1)和 Q(0,1) ,过点 P 作直线 l 与“黄金抛物线 C”相交于 A,P,B 三点,问是否存在这样的直线 l,使得 QP 平分AQB?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由解 (1)“黄金抛物线 C”过点(3,2)和( , ),12 32r 2( )2( )21,4
36、3m1,m 1.12 32“黄金抛物线 C”的方程为 y2x1( x0) 和 x2y 21(x0) (2)假设存在这样的直线 l,使得 QP 平分AQB,显然直线 l 的斜率存在且不为 0,设直线 l:ykx1,联立Error!消去 y,得 k2x2(2k1)x0,x B ,y B ,1 2kk2 1 kk即 B( , ),1 2kk2 1 kkk BQ ,k1 2k联立Error! 消去 y,得(k 21)x 22kx0,x A ,y A ,即 A( , ),2kk2 1 1 k2k2 1 2kk2 1 1 k2k2 1k AQ ,1kQP 平分AQB,k AQk BQ0, 0,解得 k1 ,k1 2k 1k 2由图形可得 k1 应舍去,k 1,2 2存在直线 l:y ( 1)x1,使得 QP 平分AQB.2