1、1曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)0 的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2求动点的轨迹方程的基本步骤【知识拓展】1 “曲线 C 是方程 f(x，y) 0 的曲线”是“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y) 0 的解”的充分不必要条件2曲线的交点与方程组的关系：(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)f(x
2、0，y 0)0 是点 P(x0，y 0)在曲线 f(x，y)0 上的充要条件 ( )(2)方程 x2xyx 的曲线是一个点和一条直线( )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2y 2.( )(4)方程 y 与 xy 2 表示同一曲线( )x(5)ykx 与 x y 表示同一直线( )1k1(教材改编)已知点 F( ，0)，直线 l：x ，点 B 是 l 上的动点，若过点 B 垂直于 y 轴的14 14直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是 ( )A双曲线 B椭圆C圆 D抛物线答案 D解析 由已知|MF | MB|，根据抛物线的定义知，点 M 的轨迹是以点
3、 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线2(2016广州模拟)方程(2x3y1)( 1)0 表示的曲线是( )x 3A两条直线 B两条射线C两条线段 D一条直线和一个射线答案 D解析 原方程可化为Error!或 10，x 3即 2x3y10(x 3)或 x4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线3(2016南昌模拟)已知 A(2,0)，B(1,0)两点，动点 P 不在 x 轴上，且满足APOBPO，其中 O 为原点，则 P 点的轨迹方程是( )A(x 2)2y 24( y0)B(x1) 2y 21(y0)C(x2) 2y 24(y0)D(x 1)2y 21( y0)答案 C解析 由角的平分线性
4、质定理得|PA |2|PB| ，设 P(x，y)，则 2 ，(x 2)2 y2 (x 1)2 y2整理得(x2) 2y 24( y0)，故选 C.4过椭圆 1(ab0)上任意一点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，则线段 MN 中点的轨迹x2a2 y2b2方程是_答案 1x2a2 4y2b2解析 设 MN 的中点为 P(x，y)，则点 M(x,2y)在椭圆上， 1，x2a2 (2y)2b2即 1(a b0).x2a2 4y2b2题型一 定义法求轨迹方程例 1 已知两个定圆 O1 和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且 |O1O2|4.动圆 M 与圆 O1 内切，又与圆 O2 外切，建立适当
5、的坐标系，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线解 如图所示，以 O1O2 的中点 O 为原点，O 1O2 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系由|O 1O2|4，得 O1(2,0)， O2(2,0)设动圆 M 的半径为 r，则由动圆 M 与圆 O1 内切，有|MO1|r1；由动圆 M 与圆 O2 外切，有|MO 2|r2.|MO 2| MO1|33) D. 1 ( x4)x29 y216 x216 y29答案 C解析 如图，|AD| AE|8，|BF| BE|2， |CD| CF|，所以|CA |CB|8263)x29 y216题型二 直接法求轨迹方程例 2 (2016广州模拟)已
6、知椭圆 C： 1( ab0)的一个焦点为 ( ，0)，离心率为 .x2a2 y2b2 5 53(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若动点 P(x0，y 0)为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程解 (1)依题意得，c ，e ，5ca 53因此 a3，b 2a 2c 24，故椭圆 C 的标准方程是 1.x29 y24(2)若两切线的斜率均存在，设过点 P(x0，y 0)的切线方程是 yk (xx 0)y 0，则由Error!得 1，x29 k(x x0) y024即(9k 2 4)x2 18k(y0kx 0)x 9(y0kx 0)240，18k(y 0
7、kx 0)236(9k 24)(y 0kx 0)240，整理得(x 9)k 22x 0y0ky 40.20 20又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为 k1，k 2，于是有 k1k21，即 1，y20 4x20 9即 x y 13(x 03)20 20若两切线中有一条斜率不存在，则易得Error! 或Error! 或Error!或Error!经检验知均满足 x y 13.20 20因此，动点 P(x0，y 0)的轨迹方程是 x2y 213.思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个
8、步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(a，b)为动点，F 1，F 2 分别为椭圆 1(a b0)的左，右焦点已知F 1PF2 为等腰三角形x2a2 y2b2(1)求椭圆的离心率 e；(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B 两点，M 是直线 PF2 上的点，满足 2，求点 MAM BM 的轨迹方程解 (1)设 F1(c, 0)，F 2(c,0)(c0)由题意，可得|PF 2| F1F2|，即 2c，(a c)2 b2整理得 2 2 10，(ca) ca得 1(舍去)或 .所以
9、e .ca ca 12 12(2)由(1)知 a2c ，b c，可得椭圆方程为 3x24y 212c 2，直线 PF2 的方程为3y (xc) 3A，B 两点的坐标满足方程组Error!消去 y 并整理，得 5x28cx 0.解得 x10，x 2 c，85得方程组的解Error!Error!不妨设 A ，B(0， c)(85c，335c) 3设点 M 的坐标为(x ，y )，则 ， (x，y c)AM (x 85c，y 335c) BM 3由 y (xc)，得 cx y.333于是 ， (x， x)，由 2，AM (8315y 35x，85y 335x) BM 3 AM BM 即 x x2.(
10、8315y 35x) (85y 335x) 3化简得 18x216 xy150.3将 y 代入 cx y，18x2 15163x 33得 c 0.10x2 516x所以 x0.因此，点 M 的轨迹方程是 18x216 xy150( x0)3题型三 相关点法求轨迹方程例 3 (2016大连模拟)如图所示，抛物线 C1：x 24y，C 2：x 22py (p0)点 M(x0，y 0)在抛物线 C2 上，过 M 作 C1 的切线，切点为 A，B (M 为原点 O 时，A，B 重合于 O)当 x01时，切线 MA 的斜率为 .212(1)求 p 的值；(2)当 M 在 C2 上运动时，求线段 AB 中
11、点 N 的轨迹方程(A，B 重合于 O 时，中点为 O)解 (1)因为抛物线 C1：x 24y 上任意一点( x，y )的切线斜率为 y ，x2且切线 MA 的斜率为 ，12所以点 A 的坐标为(1， )，14故切线 MA 的方程为 y (x1) .12 14因为点 M(1 ，y 0)在切线 MA 及抛物线 C2 上，2所以 y0 (2 )12 2 14 ， 3 224y0 . (1 r(2)22p 3 222p由得 p2.(2)设 N(x，y)，A(x 1， )，B( x2， )，x 1x 2.x214 x24由 N 为线段 AB 的中点，知x ， x1 x22y . x21 x28所以切线
12、 MA，MB 的方程分别为y (xx 1) ， x12 x214y (xx 2) . x22 x24由得 MA，MB 的交点 M(x0，y 0)的坐标为x0 ，y 0 .x1 x22 x1x24因为点 M(x0，y 0)在 C2 上，即 x 4y 0，20所以 x1x2 . x21 x26由得 x2 y，x 0.43当 x1x 2 时，A，B 重合于原点 O，AB 的中点 N 为点 O，坐标满足 x2 y.43因此 AB 的中点 N 的轨迹方程是 x2 y.43思维升华 “相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y) ，主动点坐标为(x 1，y 1)；(2)求关系式：求出两个动点
13、坐标之间的关系式Error!(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程设直线 xy 4a 与抛物线 y24ax 交于两点 A，B(a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求ABC 的重心的轨迹方程解 设ABC 的重心为 G(x，y)，点 C 的坐标为(x 0，y 0)，A( x1，y 1)，B(x 2，y 2)由方程组Error!消去 y 并整理得x212ax16a 20.x 1x 212a，y1y 2(x 14 a)(x 24a) (x1x 2)8a4a.G(x， y)为ABC 的重心，Error! Error!又点 C(x0，y 0)在抛物线上，将点 C 的坐标代入
14、抛物线的方程得(3y4a )24a(3x 12a)，即(y )2 (x4a)4a3 4a3又点 C 与 A，B 不重合，x 0(62 )a，5ABC 的重心的轨迹方程为(y )2 (x4a)(x (6 )a)4a3 4a3 25324分类讨论思想在曲线方程中的应用典例 (15 分) 已知抛物线 y2 2px 经过点 M(2，2 )，椭圆 1 的右焦点恰为抛物线2x2a2 y2b2的焦点，且椭圆的离心率为 .12(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若 P 为椭圆上一个动点，Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点， (0) ，试求|OP|OQ|Q 的轨迹思想方法指导 (1)由含参数的方程讨论
15、曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据 x2，y 2 的系数与 0 的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论(2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程(3)区分求轨迹方程与求轨迹问题规范解答解 (1)因为抛物线 y22px 经过点 M(2，2 )，2所以(2 )24p，解得 p2.2所以抛物线的方程为 y24x ， 2 分其焦点为 F(1,0)，即椭圆的右焦点为 F(1,0)，得 c1.又椭圆的离心率为 ，所以 a2，12可得 b2413，故椭圆的方程为 1. 5 分x24 y23(2)设 Q(x，y) ，其中 x2,2 ，设 P(x，y 0)，因为 P 为椭圆上一点，所
16、以 1，x24 y203解得 y 3 x2. 7 分2034由 可得 2，|OP|OQ| |OP|2|OQ|2故 2，x2 3 34x2x2 y2得( 2 )x2 2y23，x 2,2 9 分14当 2 ，即 时，得 y212，14 12点 Q 的轨迹方程为 y2 ，x2,2，3此轨迹是两条平行于 x 轴的线段；当 2 ，即 时，得到 1.14 12x232 14y232此轨迹表示实轴在 x 轴上的椭圆满足 x2,2 的部分 15 分1(2016绍兴质检)设定点 M1(0，3) ，M 2(0,3)，动点 P 满足条件|PM 1| PM2|a (其中 a9a是正常数)，则点 P 的轨迹是 ( )
17、A椭圆 B线段C椭圆或线段 D不存在答案 C解析 a 是正常数，a 2 6.9a 9当|PM 1|PM 2|6 时，点 P 的轨迹是线段 M1M2；当 a 6 时，点 P 的轨迹是椭圆，9a故选 C.2若曲线 C 上存在点 M，使 M 到平面内两点 A(5,0)，B(5，0) 距离之差的绝对值为 8，则称曲线 C 为“好曲线” 以下曲线不是 “好曲线”的是( )Axy5 Bx 2y 29C. 1 Dx 216yx225 y29答案 B解析 M 到平面内两点 A(5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为 8，M 的轨迹是以 A(5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线，方程为 1.x216 y29A
18、 项，直线 xy5 过点(5,0)，故直线与 M 的轨迹有交点，满足题意；B 项，x 2y 29 的圆心为(0,0)，半径为 3，与 M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项， 1 的右顶点为(5,0) ，故椭圆 1 与 M 的轨迹有交点，满足题意；x225 y29 x225 y29D 项，方程代入 1，可得 y 1，即 y29y 90，0，满足题意x216 y29 y293(2016银川模拟)已知点 P 是直线 2xy30 上的一个动点，定点 M(1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM|MQ|，则 Q 点的轨迹方程是( )A2xy10 B2xy50C2x y10 D2xy50答案
19、D解析 由题意知，M 为 PQ 中点，设 Q(x， y)，则 P 为(2x,4y)，代入 2xy30，得 2xy50.4(2016太原模拟)已知圆锥曲线 mx24y 24m 的离心率 e 为方程 2x25x20 的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( )A4B3C 2D1答案 B解析 e 是方程 2x25x 2 0 的根，e2 或 e .12mx24y 24m 可化为 1，x24 y2m当它表示焦点在 x 轴上的椭圆时，有 ，m3；4 m2 12当它表示焦点在 y 轴上的椭圆时，有 ，m ；m 4m 12 163当它表示焦点在 x 轴上的双曲线时，可化为 1，x24 y2 m有 2，m12.4
20、m2满足条件的圆锥曲线有 3 个5已知点 A(1,0)，直线 l：y2x4，点 R 是直线 l 上的一点，若 ，则点 P 的轨迹方RA AP 程为( )Ay2x By2xCy 2x8 Dy2x4答案 B解析 设 P(x，y) ，R(x 1，y 1)，由 知，点 A 是线段 RP 的中点，RA AP Error! 即Error!点 R(x1，y 1)在直线 y2x 4 上，y 12x 14，y 2(2 x)4，即 y2x .6平面直角坐标系中，已知两点 A(3,1)，B(1,3) ，若点 C 满足 1 2 (O 为原点)，OC OA OB 其中 1， 2R，且 1 21，则点 C 的轨迹是( )
21、A直线 B椭圆 C圆 D双曲线答案 A解析 设 C(x，y )，则 (x，y)， (3,1)， ( 1,3)，OC OA OB 1 2 ，Error!OC OA OB 又 1 21，x2y50，表示一条直线7曲线 C 是平面内与两个定点 F1(1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a2(a1)的点的轨迹给出下列三个结论：曲线 C 过坐标原点；曲线 C 关于坐标原点对称；若点 P 在曲线 C 上，则 F1PF2 的面积不大于 a2.12其中，所有正确结论的序号是_答案 解析 因为原点 O 到两个定点 F1(1,0)，F 2(1,0)的距离的积是 1，且 a1，所以曲线 C 不过原点，即错
22、误；因为 F1( 1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1|PF2|a 2 对应的轨迹关于原点对称，即正确；因为 12PSA |PF1|PF2|sinF 1PF2 |PF1|PF2| a2，即F 1PF2 的12 12 12面积不大于 a2，所以正确128(2016西安模拟)已知ABC 的顶点 A，B 坐标分别为(4,0)，(4,0) ，C 为动点，且满足sinBsinA sinC，则 C 点的轨迹方程为_ 54答案 1( x5)x225 y29解析 由 sinBsinA sinC 可知 ba c10，54 54则|AC | |BC| 108|AB|，满足椭圆定义令椭圆方程为 1
23、，x2a2 y2b2则 a5，c4，b3，则轨迹方程为 1( x5) x225 y299.如图，P 是椭圆 1 上的任意一点，F 1，F 2 是它的两个焦点，O 为坐标原点，且x2a2 y2b2 ，则动点 Q 的轨迹方程是_OQ PF1 PF2 答案 1x24a2 y24b2解析 由于 ，OQ PF1 PF2 又 2 2 ，PF1 PF2 PM PO OP 设 Q(x， y)，则 ( ， )，OP 12OQ x2 y2即 P 点坐标为( ， )，又 P 在椭圆上，x2 y2则有 1，即 1.( f(x,2)2a2 ( f(y,2)2b2 x24a2 y24b210已知圆的方程为 x2y 24，
24、若抛物线过点 A(1,0)，B(1，0) 且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_答案 1(y 0)x24 y23解析 设抛物线的焦点为 F，过 A，B，O 作准线的垂线 AA1，BB 1，OO 1，则|AA 1| |BB1| 2|OO1|4，由抛物线定义得|AA 1| BB1|FA| |FB|，|FA| |FB| 4，故 F 点的轨迹是以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端点 )11已知实数 m1，定点 A(m,0) ，B(m, 0)，S 为一动点，点 S 与 A，B 两点连线斜率之积为 .1m2(1)求动点 S 的轨迹 C 的方程，并指出它是哪一种曲线；(2)若 m
25、，问 t 取何值时，直线 l：2x yt0(t0)与曲线 C 有且只有一个交点？2解 (1)设 S(x，y)，则 kSA ，k SB .y 0x m y 0x m由题意，得 ，y2x2 m2 1m2即 y 21( xm) x2m2m1 ， 轨迹 C 是中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆(除去 x 轴上的两顶点) ，其中长轴长为 2m，短轴长为 2.(2)m ，则曲线 C 的方程为 y 21(x )2x22 2由Error!消去 y，得 9x28tx2t 220.令 64 t2362(t 21) 0，得 t3.t0，t3.此时直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点12已知椭圆 E： 1(ab
26、0) 的离心率为 ，过左焦点且倾斜角为 45的直线被椭圆截x2a2 y2b2 22得的弦长为 .423(1)求椭圆 E 的方程；(2)若动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点，过点 M(1，0)作 l 的垂线，垂足为 Q，求点 Q的轨迹方程解 (1)因为椭圆 E 的离心率为 ，22所以 .a2 b2a 22解得 a22b 2，故椭圆 E 的方程可设为 1，x22b2 y2b2则椭圆 E 的左焦点坐标为( b,0)，过左焦点且倾斜角为 45的直线方程为 l：yxb.设直线 l与椭圆 E 的交点为 A，B，由Error! 消去 y，得 3x24bx0，解得 x10， x2 .4b3因为|AB|
27、 |x1x 2|1 12 ，42b3 423解得 b1.故椭圆 E 的方程为 y 21.x22(2)当切线 l 的斜率存在且不为 0 时，设 l 的方程为 ykxm，联立直线 l 和椭圆 E 的方程，得Error! 消去 y 并整理，得(2k 2 1)x2 4kmx2m 220.因为直线 l 和椭圆 E 有且只有一个交点，所以 16k2m24(2k 21)(2m 22)0.化简并整理，得 m22k 21.因为直线 MQ 与 l 垂直，所以直线 MQ 的方程为 y (x1) 1k联立方程组Error!解得Error!所以 x2y 2(1 km)2 (k m)2(1 k2)2k2m2 k2 m2
28、1(1 k2)2(k2 1)(m2 1)(1 k2)2 ，m2 11 k2把 m22k 21 代入上式得 x2y 22.(*)当切线 l 的斜率为 0 时，此时 Q(1,1)或 Q(1，1)，符合(*)式当切线 l 的斜率不存在时，此时 Q( ，0) 或 Q( ，0) 符合(*)式2 2综上所述，点 Q 的轨迹方程为 x2y 22.*13.(2016河北衡水中学三调) 如图，已知圆 E：(x )2 y216，点 F( ，0)，P 是圆 E 上3 3任意一点，线段 PF 的垂直平分线和半径 PE 相交于点 Q.(1)求动点 Q 的轨迹 的方程；(2)设直线 l 与(1)中轨迹 相交于 A，B 两
29、点，直线 OA，l ，OB 的斜率分别为 k1，k，k 2(其中k0)，OAB 的面积为 S，以 OA，OB 为直径的圆的面积分别为 S1，S 2，若 k1，k，k 2 恰好构成等比数列，求 的取值范围S1 S2S解 (1)连接 QF，根据题意，|QP|QF|，则|QE |QF |QE| QP|4|EF| 2 ，3故动点 Q 的轨迹 是以 E，F 为焦点，长轴长为 4 的椭圆设其方程为 1(ab0)，x2a2 y2b2可知 a2，c ，则 b1，a2 b2 3点 Q 的轨迹 的方程为 y 21.x24(2)设直线 l 的方程为 ykx m，A(x1，y 1)，B (x2，y 2)联立方程Err
30、or!整理得，(14k 2)x28kmx4m 240，16(14k 2m 2)0，x1x 2 ，x 1x2 .8km1 4k2 4(m2 1)1 4k2k 1，k，k 2 构成等比数列，k 2k 1k2 ，(kx1 m)(kx2 m)x1x2整理得 km(x1x 2)m 20， m 20，解得 k2 . 8k2m21 4k2 14k0，k .12此时 16(2m 2)0，解得 m( ， )2 2又由 A，O，B 三点不共线得 m0，从而 m( ，0) (0， )2 2故 S |AB|d |x1x 2|12 121 k2 |m|1 k2 |m|12(x1 x2)2 4x1x2 |m|.2 m2又 y y 1，x214 21 x24 2则 S1S 2 (x y x y )4 21 21 2 2 ( x x 2)43421 342 (x1x 2)2 2x1x2 为定值316 2 54 ，S1 S2S 54 1(2 m2)m2 54当且仅当 m1 时等号成立综上， ，) S1 S2S 54
