1、1多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱 圆锥 圆台侧面展开图侧面积公式 S 圆柱侧 2rl S 圆锥侧 rl S 圆台侧 (r 1 r2)l3.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体 表面积 体积柱体(棱柱和圆柱) S 表面积 S 侧 2S 底 VSh锥体(棱锥和圆锥) S 表面积 S 侧 S 底 V Sh13台体(棱台和圆台) S 表面积 S 侧 S 上 S 下 V (S上 S 下 )h13 S上 S下球 S4R 2 V R343【知识拓展】1与体积有关的几个结论
2、(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等2几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R，若球为正方体的外接球，则 2R a；3若球为正方体的内切球，则 2Ra；若球与正方体的各棱相切，则 2R a.2(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R.a2 b2 c2(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和( )(2)锥体的体积等于底面积与高之积( )(3)球的体积之比等于
3、半径比的平方( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差( )(5)长方体既有外接球又有内切球( )(6)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 2S.( )1(教材改编)已知圆锥的表面积等于 12cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A1cm B2cmC3cm D. cm32答案 B解析 S 表 r 2rl r2r2 r3r 212，r 24，r 2cm.2(2016全国甲卷)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( )A12 B. 323C8 D4答案 A解析 由题意可知正方体的棱长为 2，其体对角线
4、2 即为球的直径，所以球的表面积为34R2(2 R)2 12，故选 A.3(2016浙江)某几何体的三视图如图所示 (单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm 3.答案 80 40解析 由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的棱长为2cm，下面长方体的底面边长为 4cm，高为 2cm，其直观图如图所示，其表面积 S62 224 242422 280(cm 2)，体积V22244240(cm 3)4.如图，三棱柱 ABCA 1B1C1的体积为 1，P 为侧棱 B1B 上的一点，则四棱锥 PACC 1A1的体积为_答案 23解析 设点 P 到平面 ABC，
5、平面 A1B1C1的距离分别为 h1，h 2，则棱柱的高为 hh 1h 2，又记 SS ABC 1ABC，则三棱柱的体积为 VSh1.而从三棱柱中去掉四棱锥 PACC 1A1的剩余体积为 VV PABC 1 ABC Sh1 Sh2 S(h1h 2) ，从而13 13 13 131PACVV1 .13 23题型一 求空间几何体的表面积例 1 (1)(2016淮北模拟)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A21 B183 3C21 D18(2)一个六棱锥的体积为 2 ，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的3侧面积为_答案 (1)A (2)12解析 (1)由几
6、何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为6(4 )2 ( )221 .故选 A.12 34 2 3(2)设正六棱锥的高为 h，侧面的斜高为 h.由题意，得 6 2 h2 ，13 12 3 3h1，斜高 h 2，12 (r(3)2S 侧 6 2212.12思维升华 空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用(2016大 连 模 拟 )如 图 所 示 的 是 一 个 几 何 体 的
7、 三 视 图 ， 则 该 几 何 体 的 表 面 积 为 _答案 26解析 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为 4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为 1，高为 1，所以表面积为 SS 长方体表 2S 半圆柱底 S 圆柱轴截面 S 半圆柱侧 2412122421 221 2126.12题型二 求空间几何体的体积命题点 1 求以三视图为背景的几何体的体积例 2 (2016山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. 13 23 13 23C. D1 13 26 26答案 C解析 由三视图知，半球的半径 R ，四
8、棱锥为正四棱锥，它的底面边长为 1，高为221，V 111 3 ，故选 C.13 12 43 ( 22) 13 26命题点 2 求简单几何体的体积例 3 (2016江苏改编)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA 1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1(如图所示) ，并要求正四棱柱的高O1O 是正四棱锥的高 PO1的 4 倍若 AB6m ，PO 12m，则仓库的容积为_m 3.答案 312解析 由 PO12m，知 O1O4PO 18m 因为 A1B1AB6m，所以正四棱锥 PA 1B1C1D1的体积V 锥 A1B PO1 62224(m 3)
9、；13 21 13正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1的体积V 柱 AB 2O1O6 28288(m 3)所以仓库的容积 VV 锥 V 柱 24288312(m 3)思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.(1)(2016四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_(2)
10、如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且ADE，BCF 均为正三角形，EFAB ，EF2，则该多面体的体积为 ( )A. B. C. D.23 33 43 32答案 (1) (2)A33解析 (1)由题意可知，因为三棱锥每个面都是腰长为 2 的等腰三角形，由正视图可得俯视图(如图)，且三棱锥高为 h1，则体积 V Sh ( 2 1)1 .13 13 12 3 33(2)如图，分别过点 A，B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G，H，连接 DG，CH，容易求得 EGHF ，12AGGD BH HC ，32S AGD S BHC 1 ，12 22 24VV EAD
11、G VFBCH V AGDBHC 2V EADG V AGDBHC 2 1 .故选 A.13 24 12 24 23题型三 与球有关的切、接问题例 4 已知直三棱柱 ABCA 1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若AB3，AC4 ，AB AC，AA 112，则球 O 的半径为( )A. B23172 10C. D3132 10答案 C解析 如图所示，由球心作平面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 的中点 M.又 AM BC ，12 52OM AA16，所以球 O 的半径 ROA .12 (f(5,2)2 62 132引申探究1已知棱长为 4 的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是
12、多少？解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径设该正方体外接球的半径为 R，内切球的半径为 r.又正方体的棱长为 4，故其体对角线长为 4 ，3从而 V 外接球 R3 (2 )332 ，43 43 3 3V 内切球 r3 23 .43 43 3232已知棱长为 a 的正四面体，则此正四面体的表面积 S1与其内切球的表面积 S2的比值为多少？解 正四面体的表面积为 S14 a2 a2，其内切球半径 r 为正四面体高的 ，即34 3 14r a a，因此内切球表面积为 S24 r2 ，则 .14 63 612 a26 S1S2 3a2a26 633已知
13、侧棱和底面边长都是 3 的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？2解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为 3 6，高为2 23，(3r(2)2 (f(1,2)6)2因此底面中心到各顶点的距离均等于 3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为 3.思维升华 空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB， PC 两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“
14、补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a 2b 2c 2求解(1)(2016全国丙卷) 在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球若ABBC，AB 6，BC8，AA 13，则 V 的最大值是( )A4B. C6D.92 323(2)正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为( )A. B16C9D.814 274答案 (1)B (2)A解析 (1)由题意知，底面三角形的内切圆直径为 4.三棱柱的高为 3，所以球的最大直径为3，V 的最大值为 .92(2)如图，设球心为 O，半径为 r，则在 RtAOF 中，(4r) 2 ( )2r 2，2
15、解得 r ，94该球的表面积为 4r24( )2 .94 81417巧用补形法解决立体几何问题典例 (2016青岛模拟)如图，在 ABC 中，AB8，BC 10，AC6，DB平面 ABC，且AEFCBD ， BD3，FC4，AE 5，则此几何体的体积为_思想方法指导 解答本题时可用“补形法”完成 “补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥” ，将不规则的几何体补成规则的几何体等解析 用“补形法”把原几何
16、体补成一个直三棱柱，使 AABBCC8，所以 V 几何体 V 三棱柱 SABC AA 24896.12 12 12答案 961(2017合肥质检)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A124 B1882 2C28 D208 2答案 D解析 由三视图可得该几何体是平放的直三棱柱，该直三棱柱的底面是腰长为 2 的等腰直角三角形、侧棱长为 4，所以表面积为 22242242 208 ，故选 D.12 2 22(2016大同模拟)一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A. B.(4 )33 (8 )36C. D(4)(8 )33 3答案
17、B解析 由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组成的，其中半圆锥的底面半径为 1，四棱锥的底面是一个边长为 2 的正方形，它们的高均为 .则 V 313(12 4) 3.故选 B.(8 ) 363(2015山东)在梯形 ABCD 中，ABC ，AD BC ，BC2AD2AB 2.将梯形 ABCD2绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A. B. C. D223 43 53答案 C解析 过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E，梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径，线段 BC 为母线的圆柱挖去以线
18、段 CE 的长为底面圆半径， ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为 VV 圆柱 V 圆锥 AB2BC CE2DE1 22 121 ，故选 C.13 13 534(2015安微)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A1 B23 3C12 D22 2答案 B解析 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图所示，该四面体的表面积为 S 表 2 212 ( )22 ，故选 B.12 34 2 35(2016广东东莞一中、松山湖学校联考) 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是( )A. B6C. D. 203 103 16
19、3答案 C解析 该几何体是由半个圆柱和半个圆锥构成的组合体，所以V 41 42 .故选 C.12 12 13 1036(2016福建三明一中第二次月考) 如图，直三棱柱 ABCA 1B1C1的六个顶点都在半径为 1的半球面上，ABAC，侧面 BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面 ABB1A1的面积为( )A. B. C2D1222答案 A解析 由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为 1，则正方形的边长为 .ABC2A1B1C1为直三棱柱，平面 ABC平面 BCC1B1，BC 为截面圆的直径，BAC90.ABAC， AB1.侧面 ABB1A1的面积为 1 .故选 A.2 27(201
20、6北京)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_答案 32解析 由三视图知该四棱柱为直四棱柱，底面积 S ，高 h1，(1 2)12 32所以四棱柱体积 VSh 1 .32 328已知四面体 ABCD 满足 ABCD ，ACAD BCBD2，则四面体 ABCD 的外接球6的表面积是_答案 7解析 (图略) 在四面体 ABCD 中，取线段 CD 的中点为 E，连接AE，BE.AC ADBCBD2，AECD，BECD.在 RtAED 中，CD ，AE6.同理 BE .取 AB 的中点为 F，连接 EF.由 AEBE，得 EFAB.在 RtEFA 中，102 102AF AB ，AE ， EF
21、1.取 EF 的中点为 O，连接 OA，则 OF .在 RtOFA12 62 102 12中，OA . OAOB OCOD，该四面体的外接球的半径是 ，外接球的表面积是72 727.9(2016武汉模拟)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_答案 3解析 方法一 由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为 1，高为 4 的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的 ，所以14V 1243.34方法二 由三视图可知，此几何体是底面半径为 1，高为 4 的圆柱从母线的中点处截去了圆柱的 ，直观图如图(1)所示，我们可用两个大小与形状完全相同的该几何体补成一个半径为141，高为 6 的圆柱，如
22、图(2)所示，则所求几何体的体积为 V 1263.1210一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球 O 的球面上，则该圆锥的体积与球 O 的体积的比值为 _答案 932解析 设等边三角形的边长为 2a，球 O 的半径为 R，则 V 圆锥 a2 a a3.13 3 33又 R2a 2( aR )2，所以 R a，3233故 V 球 ( a)3 a3，43 233 32327则其体积比为 .93211已知一个几何体的三视图如图所示(1)求此几何体的表面积；(2)如果点 P，Q 在正视图中所示位置， P 为所在线段中点，Q 为顶点，求在几何体表面上，从 P 点到 Q 点的最短路径的长解
23、 (1)由三视图知该几何体是由一个圆锥加一个圆柱组成的，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和S 圆锥侧 (2a)( a) a2，12 2 2S 圆柱侧 (2a)(2a)4 a2，S 圆柱底 a 2，所以 S 表 a24 a2a 2( 5)a 2.2 2(2)沿 P 点与 Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图则 PQ a ，AP2 AQ2 a2 (a)2 1 2所以从 P 点到 Q 点在侧面上的最短路径长为 a .1 212(2016全国丙卷)如图，四棱锥 PABCD 中，PA 底面ABCD，AD BC，AB ADAC3，PA BC4，M 为线段 AD 上一点，AM2MD，N
24、为PC 的中点(1)证明：MN平面 PAB；(2)求四面体 NBCM 的体积(1)证明 由已知得 AM AD2.23如图，取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 中点知 TNBC，TN BC2.12又 ADBC，故 TN 綊 AM，所以四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MNAT.因为 AT平面 PAB，MN平面 PAB，所以 MN平面 PAB.(2)解 因为 PA平面 ABCD，N 为 PC 的中点，所以 N 到平面 ABCD 的距离为 PA.12取 BC 的中点 E，连接 AE.由 ABAC3 得 AEBC， AE .AB2 BE2 5由 AMBC 得 M 到 BC 的
25、距离为 ，5故 SBCM 4 2 .12 5 5所以四面体 NBCM 的体积 VN-BCM SBCM .13 PA2 453*13.(2017浙江七校联考)如图所示，在空间几何体 ADEBCF 中，四边形 ABCD 是梯形，四边形 CDEF 是矩形，且平面 ABCD平面 CDEF，ADDC，ABAD DE2，EF4，M是线段 AE 上的动点(1)试确定点 M 的位置，使 AC平面 MDF，并说明理由；(2)在(1)的条件下，平面 MDF 将几何体 ADEBCF 分成两部分，求空间几何体 MDEF 与空间几何体 ADMBCF 的体积之比解 (1)当 M 是线段 AE 的中点时，AC 平面 MDF.理由如下：连接 CE 交 DF 于点 N，连接 MN.因为 M，N 分别是 AE，CE 的中点，所以 MNAC .又因为MN平面 MDF，AC 平面 MDF，所以 AC平面 MDF.(2)将几何体 ADEBCF 补成三棱柱 ADEBCF，如图所示，三棱柱 ADEB CF 的体积为 VS ADE CD 2248，则几何体 ADEBCF 的体积12VADEBCF V ADEBCF V FBBC 8 2 .13 (1222) 203因为三棱锥 MDEF 的体积VM DEF 1 ，13 (1224) 43所以 VADMBCF ，203 43 163所以两几何体的体积之比为 14.43 163
