1、专题六 导数与函数必考点 利用导数研究函数性质、证明不等式类型一 学会踩点例 1 (2016高考全国乙卷)( 本题满分 12 分)已知函数 f(x)(x 2)e xa(x1) 2.(1)讨论 f(x)的单调性(2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围解：(1)f(x)(x1)e x 2a(x1)(x1)(e x2a)(1 分)()设 a0，则当 x(，1)时，f(x)0；当 x(1，)时，f( x)0，所以 f(x)在( ，1) 单调递减，在(1，)单调递增(2 分)()设 a0，由 f(x )0，得 x1 或 xln(2a)若 a ，则 f(x ) (x1)(e xe) 0，所以 f(
2、x)在(，)单调递增(3e2分)若 a ，则 ln(2a)1，故当 x(，ln(2a)(1，)时，f (x )e20；当 x(ln(2a)，1)时，f(x)0，所以 f(x)在(，ln(2a)，(1，)单调递增，在(ln( 2a)， 1)单调递减(4 分)若 a ，则 ln(2a)1，故当 x(，1) (ln(2a)，)时，f (x )e20；当 x(1，ln(2a)时，f(x)0，所以 f(x)在(，1)，(ln(2a)，)上单调递增，在(1，ln( 2a)上单调递减(6 分)(2)()设 a0，则由(1)知，f(x)在( ，1)单调递减，在(1，)单调递增又 f(1)e，f(2)a，取 b
3、 满足 b0 且 bln ，则 f(b) (b2)a(b1) 2aa2 a20，所以 f(x)有两个零点(8 分)(b2 32b)()设 a0，则 f(x)(x2)e x，f(x )只有一个零点(9 分)()设 a0，若 a ，则由(1) 知 f(x)在(1， )上单调递增，又当 x1 时，e2f(x)0，故 f(x)不存在两个零点(10 分)若 a ，则由(1)知，f(x )在(1，ln(2a)单调递减，e2在(ln(2a)，)上单调递增又当 x1 时， f(x)0，故 f(x)不存在两个零点(11 分)综上，a 的取值范围为(0，)(12 分)评分细则：得分点及踩点说明(1)第(1)问，f
4、(x)的单调性，讨论 a 的四种情况：a0，a ； a0；a ，每缺一种情况或每错一种情况，则扣 1 分，e2 e2 e2两个单调区间用“”联结者扣 1 分(2)单调区间错误者，则扣该情况的 1 分(3)第(2)问，讨论 a 的四种情况：a0，a0， a0，a ，缺一种情况或者错一种情况，则扣 1 分e2 e2(4)缺少综上 a 的范围，扣 1 分1已知函数 f(x)xln x，g(x) x 2ax2(e 为自然对数的底数，aR)(1)判断曲线 yf(x)在点(1，f(1) 处的切线与曲线 yg( x)的公共点个数；(2)当 x 时，若函数 yf(x) g(x)有两个零点，求 a 的取值范围1
5、e，e解：(1)f(x)ln x1，所以切线斜率 kf(1) 1又 f(1)0， 曲线在点(1,0)处切线方程为 yx1由Error!x 2(1a) x10由 (1a) 24a 22a3(a1)( a3)可知：当 0 时，即 a3 时，有两个公共点；当 0 时，即 a1 或 a3 时，有一个公共点；当 h(e)，(1e) 1e 2e (1e)所以，结合函数图象可得，当 30；f(x)在(1,2)上是单调减函数，在(2,3)上是单调增函数，f(x)在 x2 处取得极小值 f(2) ln 2；12又 f(1) ，f(3) ln 3，18 98ln 31 ， ln 310，18 (98 ln 3)f
6、(1)f(3) ，x1 时 f(x)的最大值为 ，x2 时函数取得最小值为 ln 2.18 12(2)由(1)知当 x1,3时，f(x) ，故对任意 x1,3，18f(x) 对任意 t0,2 恒成立，即 at 恒成立，记 g(t)at ，t0,2 18 318Error!解得 a .3116即实数 a 的取值范围是 .( ，3116)3已知函数 f(x)ax 2ln x1(aR)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)求证：当 a1 时，f(x) x2 在(1，)上恒成立12 32解：(1)由于 f(x)ax 2ln x1(aR) ，故 f( x)2ax (x0) 1x 2ax2 1x当 a0
7、 时，f(x )0 在 (0，)上恒成立， f(x)在(0，)上是单调递减函数当 a0 时，令 f(x ) 0，得 x .12a当 x 变化时， f( x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：x (0，12a) 12a ( 12a， )f (x) 0 f(x) 极小值 由表可知，f(x )在 上是单调递减函数，在 上是单调递增函数(0，12a) ( 12a， )综上所述，当 a0 时，f(x) 的单调递减区间为(0，)，无单调递增区间；当 a0 时，f(x )的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .(0，12a) ( 12a， )(2)当 a1 时， f(x)x 2ln x1，设 F(x)x 2
8、ln x1 x2 x2ln x ，12 32 12 12则 F(x)x 0 在(1， ) 上恒成立，1x x2 1x x 1x 1xF(x)在(1 ，)上为增函数，且 F(1)0，即 F(x)0 在 (1，)上恒成立，当 a1 时，f(x ) x2 在(1，)上恒成立12 324已知函数 f(x)ln x 2kx ，其中常数 kR .x22(1)求 f(x)的单调增区间；(2)若 yf(x) 有两个极值点 x1，x 2，且 x1x 2，证明 f(x2) .32解：(1)f(x) x2k (x0)1x当 k1 时， f( x) x2k2 2k22k0，函数 f(x)为增函数，1x 1xx当 k1
9、 时， f( x) x2k (x0)，1x x2 2kx 1x由 f( x)0，得 x22kx10，解得两根 x1，x 2，其中 0x 1 k x 2k .k2 1 k2 1x，f(x) ，f(x) 的取值变化情况如下表：x (0，x 1) x1 (x1，x 2) x2 (x2，)f (x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 综合知，当 k1 时， f(x)的增区间为(0，)；当 k1 时， f(x)的增区间为(0，k )，k ，) k2 1 k2 1(2)证明：当 k1 时，yf(x)在(0，) 上是增函数，至多有一极值点，不合题意当 k1 时， f( x) x2k (x0)1x x2 2k
10、x 1xx22kx10 在 x0 时有两个零点，且 x1x 22k ，x 1x21，则 f(x2)ln x 2 2kx 2 ln x2 x2ln x 2 1，x22 x22 (1x2 x2) x22f(x 2) x 2 ，1x2 1 x21 x2x2当 x2(0,1)时，f(x 2)0，当 x2(1，) 时，f(x 2)0，f(x 2)f(1) .32专题三六 规范滚动训练(六)(建议用时 45 分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取了 40 名学生的成绩作为样本，已知这 40 名学生的成绩全部在 40 分至 100 分之间，现将成
11、绩按如下方式分成 6 组：第一组 40,50)；第二组 50,60)；第六组 90,100，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图(1)求成绩在区间 80,90)内的学生人数；(2)从成绩大于等于 80 分的学生中随机选 2 名，求至少有 1 名学生的成绩在区间90,100内的概率解：(1)因为各组的频率之和为 1，所以成绩在区间 80,90)内的频率为1(0.005 20.0150.0200.045)100.1，所以选取的 40 名学生中成绩在区间 80,90)内的学生人数为 400.14.(2)设 A 表示事件“在成绩大于等于 80 分的学生中随机选 2 名，至少有 1 名学生的成绩在区间
12、90,100内” ，由(1)可知成绩在区间 80,90)内的学生有 4 人，记这 4名学生分别为 a，b，c ， d，成绩在区间 90,100内的学生有 0.00510402(人)，记这 2 名学生分别为e，f，则选取 2 名学生的所有可能结果为(a，b)，(a，c )，(a，d)，(a，e)，(a，f)，( b，c )，(b，d)，(b，e )，(b，f)，(c ，d)，(c，e)，( c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f )，共 15 种，事件“至少有 1 名学生的成绩在区间 90,100内”的可能结果为(a，e)，(a，f)，(b，e)，(b， f)，(c，e )，(c，f)，(d
13、，e )，(d，f)，(e ，f )，共 9 种，所以 P(A) .915 352如图，在三棱锥 PABC 中，PAC，ABC 分别是以 A，B 为直角顶点的等腰直角三角形，AB1.(1)现给出三个条件：PB ，PB BC，平面 PAB平面 ABC，试从中任3意选取一个作为已知条件，并证明 PA平面 ABC；(2)在(1)的条件下，求三棱锥 PABC 的体积解：法一：选取条件.(1)在等腰直角三角形 ABC 中，AB 1，BC1，AC .又 PAAC，PA .2 2在PAB 中， AB1，PA ，PB ，2 3AB 2PA 2PB 2，PAB90，即 PAAB，又 PAAC，ABACA，PA平
14、面 ABC.(2)由(1)可知 PA平面 ABC.V 三棱锥 PABC PASABC 12 .13 13 2 12 26法二：选取条件.(1)PBBC，又 ABBC ，且 PBABB，BC平面 PAB.又 PA平面 PAB，BC PA，又 PAAC，BCAC C，PA平面 ABC.(2)由(1)可知 PA平面 ABC.ABBC1，AB BC，ACPA .2V 三棱锥 PABC ABBCPA 11 .13 12 13 12 2 26法三：选取条件.(1)平面 PAB平面 ABC，平面 PAB平面 ABCAB，BC平面ABC，BCAB ，BC平面 PAB.又 PA 平面 PAB，BCPA，又PAA
15、C，BCACC，PA平面 ABC.(2)由(1)可知 PA平面 ABC.ABBC1，AB BC，ACPA .2V 三棱锥 PABC ABBCPA 11 .13 12 13 12 2 263已知圆心为 C 的圆满足下列条件：圆心 C 位于 y 轴的正半轴上，圆 C 与 x 轴交于 A，B 两点，| AB|4，点 B 到直线 AC 的距离为 .455(1)求圆 C 的标准方程；(2)若直线 ykx1(k R )与圆 C 交于 M，N 两点， 2(O 为坐标原点)，OM ON 求 k 的值解：(1)设圆 C：x 2(ya) 2r 2(a0，r0)，圆心 C(0，a)，依题意不妨设A(2,0)，B(2
16、,0)，所以直线 AC 的方程为 ax2y 2a0，因为点 B 到直线 AC 的距离为 ，455所以 ，解得 a1，因为 a0，所以 a1，|2a 2a|a2 4 455所以 r|AC| ，5所以圆 C 的标准方程为 x2(y 1) 25.(2)设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，又直线 ykx1 与圆 C 交于 M，N 两点，联立Error!，消去 y 得(1k 2)x24kx 10.(4k) 24(1k 2)4(5k 21) 0 恒成立，即直线与圆恒有两个不同的交点由根与系数的关系知 x1 x2 ，x 1x2 ，4k1 k2 11 k2所以 y1y2(kx 11)(kx 21)k
17、 2x1x2k(x 1x 2)1 1 ， k21 k2 4k21 k2 4k2 11 k2因为 2，OM ON 所以 x1x2y 1y2 2， 11 k2 4k2 11 k2 4k21 k2解得 k1.4已知函数 f(x) (e 为自然对数的底数)在 x1 处的切线方程为ax bexexye0.(1)求实数 a， b 的值；(2)若存在不相等的实数 x1，x 2，使得 f(x1)f(x 2)，求证：x 1x 20.解：f( x)ax bexf(x) .a b axex(1)因为函数 f(x)在 x1 处的切线方程为 exye0，所以Error!，所以Error!，解得 Error!(2)由(1
18、)可知，f(x) .xex当 x 变化时， f( x)，f(x)的变化情况如下表：x (，0) 0 (0，)f (x) 0 f(x) 单调递增 1 单调递减不妨设 x1x 2，因为 f(x1)f(x 2)，所以 x10x 2，则x 10.记 g(x)f( x)f(x )，即 g(x)(1x )ex ，x 1ex所以 g(x) e x(1x)e x x ex .xex xex x1 e2xex当 x 变化时， g(x )，g(x)的变化情况如下表：x (，0) 0 (0，)g(x) 0 g(x) 单调递减 0 单调递减所以 g(x1)g(0)0，故 f(x 1)f(x 1)所以 f(x 1)f(x 2)因为 f(x)在(0，) 上为减函数，所以x 1x 2，故 x1x 20.
