1、专题五 立体几何必考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 高考预测运筹帷幄1以三视图为背景的几何体的识别问题2空间几何体与三视图相结合，计算几何体的表面积和体积3球及有关组合体的表面积与体积速解必备决胜千里1一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主) 视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，即“长对正、高平齐、宽相等” 2(1)设长方体的相邻的三条棱长为 a、b、c 则体对角线长为 a2 b2 c2(2)棱长为 a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即 a2R.3(3)若球面上四点 P、A、B、C 构成的线
2、段 PA、PB、PC 两两垂直，且PAa，PBb，PCc ，则 4R2a 2b 2c 2，把有关元素“补形”成为一个球内接长方体(或其他图)速解方略不拘一格类型一 有关几何体的三视图的计算例 1 (1)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A. B.18 17C. D.16 15解析：基本法：由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥设正方体的棱长为 1，则三棱锥的体积为V1 111 ，13 12 16剩余部分的体积 V21 3 .16 56所以 ，故选 D.V1V21656
3、15速解法：如图所示，VAA1B1D1 VABDA1B1D1 V 正方体13 16VAA1B1D1 VABCDB1C1D115答案：D方略点评：基本法是具体计算几何体的体积，速解法是根据几何体间的体积关系求得答案.(2)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为 1620，则 r( )A1 B2C4 D8解析：基本法：由已知可知，该几何体的直观图如图所示，其表面积为2r2 r24r 22r 25r 24r 2.由 5r24r 21620，得 r2.故选 B.速解法：由几何体特征可知，球的表面积，圆的面积，圆柱侧面积
4、都含有“” ，只有圆柱的轴截面面积不含“” ，即 2r2r16，r2，故选 B.答案：B方略点评：1 基本法是具体计算出几何体的表面积的表达式.速解法是根据几何体特征想出表面积表达式特征由部分几何体求 r.2此类题关键是将三视图恢复为直观图，并找清几何体的标量，代入公式计算.1如图，网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A. B.1727 59C. D.1027 13解析：基本法：该零件是两个圆柱体构成的组合体，其体积为2243 22
5、34 cm 3，圆柱体毛坯的体积为 32654 cm3，所以切削掉部分的体积为 5434 20 cm 3，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 ，故选 C.2054 1027答案：C2(2016高考全国丙卷 )如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A1836 B54185 5C90 D81解析：先根据三视图确定几何体的形状，再求其表面积由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(333633 )25418 .故选 B.5 5答案：B类型二 球及其组合体例 2 (1)已知 A
6、，B 是球 O 的球面上两点，AOB 90 ，C 为该球面上的动点若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( )A36 B 64C144 D256解析：基本法：画出球的直观图，利用锥体的体积公式求解如图，设球的半径为 R，AOB90，S AOB R2.12V OABCV CAOB，而AOB 面积为定值，当点 C 到平面 AOB 的距离最大时，V OABC 最大，当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时，体积 VOABC 最大为 R2R36，13 12R6，球 O 的表面积为 4R246 2144.故选 C.速解法：设球的半径为 r, 则 VOABC r2h r3
7、36，故 r6.故 S 球13 12 164r 2144.答案：C方略点评：基本法是根据直观图，找到 C 点位置.,速解法是利用 VOABC 的表达式的代数关系 r3直接求得 r.16(2)正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为( )A. B16814C9 D.274解析：基本法：如图所示，R 2(4R) 22，R 2168RR 22， R ，94S 表 4R 24 ，选 A.8116 814速解法：由几何体的直观图可看出 R 2(h2R )h2S 表 4R 216，只能选 A.答案：A方略点评：1 基本法是根据球的内接四棱锥的性质建立 R 的方程求
8、R.速解法是估算球的半径的取值范围从而想到 S 表 的范围而选答案，巧而快.2有关球的组合体转化为球的轴截面中圆的性质.1如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A. cm3 B. cm35003 8663C. cm3 D. cm31 3723 2 0483解析：基本法：设球半径为 R，如图所示，B 为弦的中点，OAOC R ，由垂径定理，知OBA 为直角三角形BC2，BA4，OB R2，OA R，由 R2(R2) 24 2，得 R5，所以球的体积为 53
9、(cm3)，故选 A.43 5003答案：A2(2016高考全国甲卷 )体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A12 B. 323C8 D 4解析：由正方体的体积为 8 可知，正方体的棱长 a2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即 2R a(R 为正方体外接球的半径)，所以 R ，故所求3 3球的表面积 S4R 212.答案：A终极提升登高博见选择题、填空题的解法范围分析法方法诠释对于某些计算问题，若从已知条件入手，计算量大而复杂，可以根据题设条件，分析出变量的取值范围，从而得出所求问题的大致范围，结合选项看其是否在这个范围内注意事项 从条件分析变量范围时要尽
10、量“精准”限时速解训练十三 空间几何体的三视图、表面积与体积(建议用时 40 分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0) ，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )解析：选 A.设 O(0,0,0)，A(1,0,1) ，B(1,1,0)，C(0,1,1)，将以 O、A、B 、C 为顶点的四面体补成一正方体后，由于 OABC，所以该几何体以 zOx 平面为投影面的正视图为 A.2如图，网格纸的各小格都是正方形，
11、粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A三棱锥 B三棱柱C四棱锥 D四棱柱解析：选 B.原几何体为如图所示的三棱柱，故选 B.3一个几何体的三视图中，正(主)视图和侧(左) 视图如图所示，则俯视图不可能为( )解析：选 C.若几何体的俯视图为 C 选项，则其正视图中矩形的中间应为实线，与题意不符，即俯视图不可能为 C 选项，故选 C.4某四棱锥的三视图如图所示，记 A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则 ( )A2A ，且 4A B. A，且 4A2C2 A，且 2 A D. A，且 A5 2 17解析：选 D.由俯视图可知，该四棱锥的底面边长为 ，由主视图可知四棱锥的高2为 4，
12、所以其侧棱长为 ，故选 D.16 1 175如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为( )A2 B3C4 D5解析：选 C.作出三棱锥的直观图如图所示，由三视图可知ABBD2，BCCD ，AD2 ，AC ，故ABC，ACD，2 2 6ABD，BCD 均为直角三角形，故选 C.6半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是( )AR 2 B2R 2C3R 2 D4R 2解析：选 B.设球的内接圆柱的底面圆半径为 r，母线长为 l，则 2r 2R 2，该(l2)圆柱的侧面积为 2rl 2R 2，当且仅4r2l2 4R
13、2 l2l24R2 l2 l22当 l R 时取等号，所以该圆柱的侧面积的最大值是 2R2，又球的表面积为24R2，所以球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 4R22R 22 R2，故选 B.7某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积为( )A17 B22C14 2 D22213 13解析：选 D.作出四棱锥 PABCD 的直观图如图所示 ，AB4，BC 2，PC 3，S矩形 ABCD248，S BCP 233，S ABP 42 ，S 12 12 22 32 13CDP 346，S ADP 2 5，故四棱锥的表面积 S83212 12 32 4265222 ，故选 D.13 138一个空间几何体
14、的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A48 B328 7C48 8 D3217解析：选 C.由三视图可得该几何体是平放的直四棱柱，底面是上底边长为 2、下底边长为 4、高为 4 的等腰梯形，四棱柱的侧棱长(即高)为 4，所以一个底面面积是 (24) 412，侧面积为 4 22444248 ，故表面积是12 17 17122248 488 ，故选 C.17 179在梯形 ABCD 中，ABC ，ADBC，BC 2AD2AB 2.将梯形 ABCD2绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A. B.23 43C. D253解析：选 C.过点 C 作 CE 垂直 A
15、D 所在直线于点 E，梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周所形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径，线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为 VV 圆柱 V 圆锥 AB2BC CE2DE 122 121 ，故13 13 53选 C.10(2016山东淄博一模 )某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1 的正方体，其中正(主) 视图、侧(左) 视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )A. B.56 34C. D.12 16解析：选 A.由三视图可知该几何体为一正方体挖去一个倒置且高为 的正四棱锥，1
16、2所以该几何体的体积为 1 11 .故选 A.13 12 5611(2016吉林长春一模 )下图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A. B. (83 22) (83 42)C(42 ) D(84 )2 2解析：选 D.该几何体的表面积为半球面积与圆锥侧面积之和，即S 4r2rl 84 (84 ).故选 D.12 2 212某几何体的三视图如图所示，当 xy 最大时，该几何体的体积为 ( )A2 B47 7C8 D167 7解析：选 D.该几何体的直观图如图所示，由直观图可知 PA210 2y 2x 2(2 )72，x 2y 2128.又128x 2 y22xy
17、，当且仅当 xy 时 xy 取得最大值，此时Error! Error!hPA6，V SABC |PA| 2 8616 .13 13 12 7 7二、填空题(把答案填在题中横线上)13(2016山东临沂模拟 )四面体 ABCD 中，共顶点 A 的三条棱两两相互垂直，且其长分别为 2,3,4.若四面体 ABCD 的四个顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为_解析：依题意，原几何体是一个三棱锥，可以看作一条棱与底面垂直且其长度为3，底面是一个直角三角形，两直角边长分别为 2,4，这个几何体可以看作是长、宽、高分别为 4,2,3 的长方体的一部分，则其外接球的半径为 R 1242 22 32，故这个球
18、的表面积为 S4R 24 229.292 ( 292)答案：2914(2016山东德州模拟 )一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是_解析：观察三视图可知，该几何体是圆锥的一半与一个四棱锥的组合体，圆锥底面半径为 2，四棱锥底面边长分别为 3,4，它们的高均为 2 ，所以42 (42)2 3该几何体的体积为 222 432 8 .12 13 3 13 3 3 433答案： 8433 315设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S 2，体积分别为 V1，V 2，若它们的侧面积相等，且 ，则 的值是_S1S2 94 V1V2解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分
19、别为 r1、h 1，r 2、h 2，由侧面积相等，即 2r1h12r 2h2，得 .h1h2 r2r1又 ，所以 ，S1S2 r21r2 94 r1r2 32则 .V1V2 r21h1r2h2 r21r2h1h2 r21r2r2r1 r1r2 32答案：3216一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m 3.解析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，其上部是一个圆锥，底面圆半径为 2，高为 2，下部是一个圆柱，底面圆半径为 1，高为 4，故该几何体的体积V 2221 24 4 .13 83 203答案：203必考点二 空间直线与平面的位置关系高考预测运筹帷幄1空间线线平行、
20、线面平行、面面平行的判定和性质2空间线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质3空间异面直线的判定，求解异面直线所成的角速解必备决胜千里1经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(唯一性)2如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线必与它们的交线平行(线 面线线)3三个平面两两垂直，其交线也两两垂直(面面线线)4两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于平面(线线线面)5一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，则该直线垂直于另一个平面(面面线面)6两个相交平面同垂直第三个平面，则交线也垂直于第三个平面(面面线面)7垂直于同一条直线的两个平面平行(线面面面)8一个平面及该平面外的一条直线
21、，同垂直于第二个平面，则直线与该平面平行(面 面线面)(反之也成立)速解方略不拘一格类型一 空间位置关系的判定例 1 (1)已知 m，n 为异面直线， m平面 ，n 平面 .直线 l 满足lm，ln，l ，l，则( )A 且 lB 且 lC 与 相交，且交线垂直于 lD 与 相交，且交线平行于 l解析：基本法：若 ，则 mn，这与 m、n 为异面直线矛盾，所以 A 不正确将已知条件转化到正方体中，易知 与 不一定垂直，但 与 的交线一定平行于 l，从而排除 B、C.故选 D.速解法：构造图形如图所示，知 D 项正确答案：D方略点评：基本法是逐个排除选项，利用线面关系定理进行推证.速解法是根据已
22、知条件画出适合题意的图形，进行证明.(2)已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面下列说法正确的是( )A若 m，n ，则 mnB若 m ，n ，则 mnC若 m ，mn，则 nD若 m，mn，则 n解析：基本法：对 A，m，n 还可能异面、相交，故 A 不正确；对 B，由线面垂直的定义可知正确；对 C，n 还可能在平面 内，故 C 不正确；对 D，n 还可能在 内，故 D 不正确速解法：在正方体中，找出相应的 m、n 与面之间的关系，可知 B 正确答案：B方略点评：判断线面的位置关系，一种方法是根据判定定理或性质定理进行理论推证，另一种方法，把线面放置在具体的几何体中进行判定.1(2016
23、山东莱芜二模 )设 m，n 是空间两条直线， 是空间两个平面，则下列命题中不正确的是( )A当 n 时， “n ”是“”的充要条件B当 m 时， “m”是“”的充分不必要条件C当 m 时， “n ”是“mn”的必要不充分条件D当 m 时， “n ”是“mn”的充分不必要条件解析：基本法：C 中，当 m 时，若 n ，则直线 m，n 可能平行，可能异面；若 mn，则 n 或 n ，所以“n”是“mn”的既不充分也不必要条件，故 C 项不正确答案：C2(2016高考全国甲卷 )， 是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：如果 mn，m，n，那么 .如果 m，n ，那么 mn.如果 ，m，
24、那么 m.如果 mn， ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)解析：对于命题，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设 AA为直线 m，CD 为直线 n，ABCD 所在的平面为 ，ABCD 所在的平面为 ，显然这些直线和平面满足题目条件，但 不成立命题正确，证明如下：设过直线 n 的某平面与平面 相交于直线 l，则 ln，由 m 知 ml，从而 mn，结论正确由平面与平面平行的定义知命题正确由平行的传递性及线面角的定义知命题正确答案：终极提升登高博见选择题、填空题的解法反证法方法诠释对于要证的结论，假设不成立，以此为突破口，进行推理，最后
25、得出矛盾的方法是反证法方法特点对于从正面不易说明的结论，可考虑反证法，如证明异面直线等，产生矛盾可以是与已知矛盾，也可以与定理矛盾.限时速解训练十四 空间直线与平面的位置关系(建议用时 40 分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1设 ， 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l，m( )A若 l，则 B若 ，则 lmC若 l ，则 D若 ，则 lm解析：选 A.考生可借助笔和桌面，不难通过空间想象加以判断解决，也可借助正方体举反例，直观地排除不正确的选项，从而使问题获解如：平面 B1BCC1平面 ABCD，但 B1C 不垂直 BC，可排除 B；D 1C1
26、平面 ABCD，但平面 D1DCC1不平行于平面 ABCD，可排除 C；平面 A1B1C1D1平面 ABCD，但 A1B1 与 AC 不平行，可排除 D，故选 A.2设 a，b 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则能得出 ab 的是( )Aa，b ， Ba，b，Ca ，b， Da，b，解析：选 C.A 中，若 ，a，b，则 a 或 a，不能得到 ab，故A 错；B 中，a ， ，则 a，又 b，则 ab，故 B 错；C 中，若b ， ，则 b，又 a，则 ab，故 C 正确； D 中，a 与 b 可能垂直、平行或异面，故 D 错综上所述，故选 C.3在长方体 A1B1C1D1ABCD 中，
27、直线 A1C 与平面 BC1D 交于点 M，则 M 为BC1D 的( )A垂心 B内心C外心 D重心解析：选 D.连接 AC，与 BD 交于点 O，则平面 ACC1A1平面 BC1DC 1O.又MA 1C平面 ACC1A1，M平面 BC1D，MC 1O，故 C1，M，O 三点共线而 OCA 1C1，OMCC 1MA1， ，又C 1O 是OMMC1 OCA1C1 12BC1D 的中线，M 为BC 1D 的重心，故选 D.4设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则 ( )A若 mn，n，则 mB若 m， ，则 mC若 m，n，n，则 mD若 mn，n， ，则 m解析：选 C.A，B ，
28、D 中直线 m 可能在平面 内也可能与平面 相交或平行；由线面垂直的判定与性质可知 C 正确，故选 C.5设 m，n 是不同的直线， 是不同的平面，下列命题中正确的是 ( )A若 m，n ，mn，则 B若 m ，n，mn，则 C若 m ，n，mn，则 D若 m，n ，mn，则 解析：选 C.A 项中可能出现 ，B 项中可能出现 ，C 项正确，由 m 知平面 内存在直线 l，使得 ml，则 ln.因为 n ，所以 l，因为 l，所以 ，故选 C.6对于直线 m，n 和平面 ，使 m 成立的一个充分条件是 ( )Amn，n Bm，Cm，n，n Dmn，n ，解析：选 C.对于 A，直线 m 可能位
29、于平面 内，此时不能得出 m；对于 B，直线 m 可能位于平面 内，且与平面 ， 的交线平行，此时不能得出 m ；对于 C，由 m ，n 得 mn，又 n ，因此 m ；对于 D，直线 m 可能是平面 ， 的交线，此时不能得知 m，故选 C.7已知点 E，F 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 AB，AA 1 的中点，点 M，N分别是线段 D1E 与 C1F 上的点，则与平面 ABCD 垂直的直线 MN 有( )A0 条 B1 条C2 条 D无数条解析：选 B.如图，设 D1E 与平面 AA1C1C 相交于点 M，在平面 AA1C1C 内过点 M作 MNAA 1 交 C1F 于点 N
30、，连接 MN，由 C1F 与 D1E 为异面直线知 MN 唯一，且 MN平面 ABCD，故选 B.8已知直线 l 与平面 平行，则下列结论错误的是( )A直线 l 与平面 没有公共点B存在经过直线 l 的平面与平面 平行C直线 l 与平面 内的任意一条直线都平行D直线 l 上所有的点到平面 的距离都相等解析：选 C.直线 l 与平面 平行，则直线 l 不可能与平面 内的任意一条直线都平行，故选 C.9已知 a，b，c 是三条不同的直线，命题 “ab 且 ac bc”是正确的，如果把 a，b，c 中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析：选
31、C.依题意，当 a，b 均为平面，c 为直线时，此时相应的结论正确；当a，c 均为平面， b 为直线时，此时相应的结论不正确；当 b，c 均为平面，a 为直线时，此时相应的结论正确；当 a，b，c 均为平面时，此时相应的结论正确综上所述，在所得的命题中，真命题有 3 个，故选 C.10设 a，b，c 表示三条直线， ， 表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是( )Ac，若 c ，则 Bb ，c ，若 ca，则 bcCb ，若 b，则 Da，b，abP，ca，cb，若 ，则 c解析：选 C.利用排除法求解A 的逆命题为：c，若 ，则 c，成立；B 的逆命题为：b ，c，若 bc，则 c，成立
32、；C 的逆命题为：b，若 ，则 b，不成立；D 的逆命题为：a，b，abP，c a，cb，若c ，则 ，成立，故选 C.11已知平面 ，且 与 的距离为 d(d0)，m ，则在 内与直线 m 的距离为 2d 的直线共有( )A0 条 B1 条C2 条 D无数条解析：选 C.由题意得平面 内与直线 m 的距离为 2d 的直线为以直线 m 为中心线，半径为 2d 的圆柱面与平面 的交线，易知交线有 2 条，故选 C.12在棱长均相等的正三棱柱 ABCA1B1C1 中，D 为 BB1 的中点，F 在 AC1 上，且DFAC 1，则下述结论：AC 1BC；AFFC 1；平面 DAC1平面 ACC1A1
33、，其中正确的个数为( )A0 B1C2 D3解析：选 C.不妨设棱长为 2.连接 AB1，则 AB1AC 12 ，AC 1B190，2即 AC1 与 B1C1 不垂直，又 BCB 1C1，错；连接 AD，DC 1，在ADC 1 中，ADDC 1 ，而 DFAC 1，F 是 AC1 的中点，对；由知在ADC 1 中5DF ，连接 CF，CD，易知 CF ，而在 RtCBD 中，3 2CD ，DF 2CF 2CD 2，DFCF，又 DFAC 1，CFAC 1F，5DF 平面 AA1C1C，对，故选 C.二、填空题(把答案填在题中横线上)13(2016山西太原二模 )设 ， 为互不重合的三个平面，
34、l 为直线，给出下列命题：若 ，则 ；若 ， ，且 l，则 l；若直线 l 与平面 内的无数条直线垂直，则直线 l 与平面 垂直；若 内存在不共线的三点到 的距离相等，则平面 平行于平面 .其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)解析：借助于正方体易知正确；对于，若平面 内与直线 l 垂直的无数条直线都平行，则直线 l 可能与平面 不垂直，所以错；中的不共线的三点有可能是在平面 的两侧，所以两个平面可能相交或平行，所以错，故填.答案：14(2016辽宁五校联考 )四棱锥 PABCD 的顶点 P 在底面 ABCD 上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为 a 的等腰三
35、角形，则在四棱锥 PABCD 的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有_对解析：由题意可得PABC，PACD，AB PD，BDPA，BDPC，ADPB，即互相垂直的异面直线共有 6 对答案：615已知直线 a 和平面 ，l，a，a，且 a 在 ， 内的射影分别为直线 b 和 c，则 b 和 c 的位置关系可能是 _解析：由题意，若 al，则利用线面平行的判定可知 a ，a，从而直线 b和 c 平行；若 al A ，则 a 在 ， 内的射影直线 b 和 c 相交于点 A；若aB ，a c ，且直线 a 和 l 垂直，则 a 在 ， 内的射影直线 b 和 c 相交，否则直线 b 和 c 异面
36、综上所述， b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面答案：相交、平行或异面16点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动，则下列四个命题：三棱锥 AD1PC 的体积不变；A 1P平面 ACD1；DP BC1；平面 PDB1平面 ACD1.其中正确命题的序号是_解析：由题意可得，直线 BC1直线 AD1，并且直线 AD1平面 AD1C，直线BC1平面 AD1C，所以直线 BC1平面 AD1C.所以点 P 到平面 AD1C 的距离不改变因为 VAD1PCVP AD1C，所以三棱柱 AD1PC 的体积不变，故正确连接 A1C1，A 1B，可得平面 AD1C平面 A1C
37、1B.又因为 A1P平面 A1C1B，所以A1P平面 ACD1，所以正确当点 P 运动到点 B 时，DBC 1 是等边三角形，所以 DP 不垂直于 BC1，故不正确连接 BD，则 BD 为 DB1 在平面 ABCD 内的射影因为 ACBD，所以 ACDB 1.同理可得 AD1DB 1，所以可得 DB1平面AD1C.又因为 BD1平面 PDB1，所以平面 PDB1平面 ACD1，故正确综上，正确命题的序号为.答案：专题五 综合提升训练(五)(用时 40 分钟，满分 80 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(20
38、16吉林省实验中学一模)已知两条不同的直线 l，m 和两个不同的平面， ，有如下命题：若 l，m ，l，m，则 ；若 l，l，m，则lm；若 ，l，则 l.其中正确命题的个数是( )A3 B2C1 D0解析：选 C.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以错误；若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，所以正确；若 ，l，则 l 或 l，所以错误综上可知，选 C.2(2016河北唐山模拟 )已知三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 的表面上，PA 平面 ABC，AB BC，PA3，ABBC2，则球 O 的表面积为( )A13 B 1
39、7C52 D 68解析：选 B.如图所示，可将此三棱锥放入长方体中，则此三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，球心为 PC 的中点因为 PC ，所以PA2 AB2 BC2 17球 O 的半径 R ，所以此球的表面积为 S4 217.172 ( 172)3(2016哈尔滨六中适应性考试)已知一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的表面积和体积分别是( )A4 ，8 B4 ，5 583C4( 1)， D8,8583解析：选 C.由题知该四棱锥为正四棱锥，如图，由该四棱锥的正视图可知，四棱锥的底面边长 AB2，高 PO2，则四棱锥的斜高 PE .22 12 5所以该四棱锥
40、的表面积 S44 2 4( 1)，12 5 5体积 V 222 .故选 C.13 834(2016吉林省实验中学一模)设 a，b，c 是三条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中，其逆命题不成立的是( )A当 c 时，若 c ，则 B当 b 时，若 b，则 C当 b，且 c 是 a 在 内的射影时，若 bc，则 abD当 b，且 c 时，若 c，则 bc解析：选 B.A 的逆命题为：当 c 时，若 ，则 c，由线面垂直的性质知c ；B 的逆命题为：当 b 时，若 ，则 b ，显然错误；C 的逆命题为：当 b，且 c 是 a 在 内的射影时，若 ab，则 bc，由三垂线的逆定理知bc；D
41、的逆命题为：当 b，且 c 时，若 b c，则 c，由线面平行的判定定理可得 c.故选 B.5有一圆锥内接于球 O，其底面圆周和顶点均在球面上，底面积 S3 ，球的半径 R2，则此圆锥的体积为( )A B3C 或 3 D2解析：选 C.由 r23 得，圆锥的底面半径 r .设 O1 为圆锥底面圆的圆心，3OO1x，则 x 1，圆锥的高 hRx 3 或R2 r2 22 32hRx 1，所以圆锥的体积 V Sh 333 或 V Sh 31.13 13 13 136(2016广西南宁市、百色市联考)已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形和半圆构成，俯视图由圆与其内接三角形构成，
42、根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A. B. 423 43 823 43C. 2 D. 2423 823解析：选 A.由三视图可知，该几何体下面是半径为 的半球，上面是一个底面是2腰为 2 的等腰直角三角形、高是 2 的三棱锥，其体积 V ( )12 43 23 222 ，故选 A.13 12 423 437半径为 1 的球面上有四个点 A，B，C，D，球心为点 O，AB 过点O，CACB，DADB ， DC1，则三棱锥 ABCD 的体积为( )A. B.36 33C. D.3 6解析：选 A.连接 OC，OD，由球体的对称性可知 VABCD2V AOCD.因为OCODCD1，所以OCD
43、 为等边三角形，故 SOCD ，故34VAOCD 1 ，故 VABCD2 ，故选 A.13 34 312 312 368如图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为 ，则它的正视图43为( )解析：选 B.由题知该几何体为组合体，上方为四棱锥，下方为正方体，四棱锥顶点在底面上的射影为正方体一边上的中点，结合选项图可知，选 B.9半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为( )A. 6 B. 25 6C2 D5 12解析：选 B.正方体底面的中心即球的球心，设球的半径为 R，正方体的棱长为a，则有 R2a 2 2， 得 R2 a2，所以半球的体积与正方体的体积之比为(22a) 32R3a 3 2.23 610已知 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，命题 p：若mn，m，则 n ；命题 q：若 m，n，n ，则 m.则下列结论正确的是( )Ap(綈 q)是真命题B(綈 p)q 是真命题C(綈 p)q 是假命题Dpq 是假命题解析：选 B.对于命题 p，若 mn，m，则 n 也可能在平面 内，故命题 p 为假命题；对于命题 q，若
