1、1线面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行线面平行”)la，a，l，l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行 ”)l，l，b ，lb2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行 ”)a，b ，abP，a ，b ，性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，a，b，ab【知识拓展】重要结论：(1)垂直
2、于同一条直线的两个平面平行，即若 a，a，则 ；(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a，b ，则 ab；(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若 ，则 .【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面( )(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线( )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行( )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面( )(5)若直线 a 与平面 内无数条直线平行，则 a.( )(6)若 ，直线 a，则
3、 a.( )1(教材改编)下列命题中正确的是( )A若 a，b 是两条直线，且 ab，那么 a 平行于经过 b 的任何平面B若直线 a 和平面 满足 a ，那么 a 与 内的任何直线平行C平行于同一条直线的两个平面平行D若直线 a，b 和平面 满足 ab，a，b，则 b答案 D解析 A 中，a 可以在过 b 的平面内； B 中，a 与 内的直线可能异面；C 中，两平面可相交；D 中，由直线与平面平行的判定定理知， b，正确2(2016烟台模拟)若平面 平面 ，直线 a平面 ，点 B，则在平面 内且过 B 点的所有直线中( )A不一定存在与 a 平行的直线B只有两条与 a 平行的直线C存在无数条
4、与 a 平行的直线D存在唯一与 a 平行的直线答案 A解析 当直线 a 在平面 内且过 B 点时，不存在与 a 平行的直线，故选 A.3过三棱柱 ABCA 1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1平行的直线共有_条答案 6解析 各中点连线如图，只有平面 EFGH 与平面 ABB1A1平行，在四边形 EFGH 中有 6 条符合题意4.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形 EFGH 为截面，则四边形 EFGH 的形状为_答案 平行四边形解析 平面 ABFE平面 DCGH，又平面 EFGH平面 ABFE EF，平面 EFGH平面 DCGHHG ，EFHG.同理 EHFG，四边
5、形 EFGH 的形状是平行四边形题型一 直线与平面平行的判定与性质命题点 1 直线与平面平行的判定例 1 如图，四棱锥 PABCD 中，ADBC，ABBC AD，E，F，H 分别为线段12AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点(1)求证：AP平面 BEF；(2)求证：GH平面 PAD.证明 (1)连接 EC，ADBC，BC AD，12BC 綊 AE，四边形 ABCE 是平行四边形，O 为 AC 的中点又F 是 PC 的中点，FOAP，FO平面 BEF，AP平面 BEF，AP平面 BEF.(2)连接 FH，OH ，F，H 分别是 PC，CD 的中点，FH
6、PD ，FH 平面 PAD.又O 是 BE 的中点， H 是 CD 的中点，OHAD ， OH平面 PAD.又 FHOH H，平面 OHF平面 PAD.又GH平面 OHF，GH 平面 PAD.命题点 2 直线与平面平行的性质例 2 (2016长沙模拟)如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为2 .点 G，E ， F，H 分别是棱 PB，AB ，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH平面17ABCD，BC平面 GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若 EB2，求四边形 GEFH 的面积(1)证明 因为 BC平面 GEFH，BC平面 PBC，且平面 PBC平面 GE
7、FHGH ，所以 GHBC.同理可证 EFBC，因此 GHEF.(2)解 如图，连接 AC，BD 交于点 O，BD 交 EF 于点 K，连接 OP，GK.因为 PAPC， O 是 AC 的中点，所以 POAC，同理可得 POBD.又 BDACO，且 AC，BD 都在底面内，所以 PO底面 ABCD.又因为平面 GEFH平面 ABCD，且 PO平面 GEFH，所以 PO平面 GEFH.因为平面 PBD平面 GEFHGK，所以 POGK，且 GK底面 ABCD，从而 GKEF .所以 GK 是梯形 GEFH 的高由 AB8，EB2 得 EBABKBDB14，从而 KB DB OB，即 K 为 OB
8、 的中点14 12再由 POGK 得 GK PO，12即 G 是 PB 的中点，且 GH BC4.12由已知可得 OB4 ，2PO 6，PB2 OB2 68 32所以 GK3.故四边形 GEFH 的面积 S GKGH EF2 318.4 82思维升华 判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点 )；(2)利用线面平行的判定定理( a，b ，aba) ；(3)利用面面平行的性质定理( ，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，a，aa)如图所示，CD，AB 均与平面 EFGH 平行， E，F ，G，H 分别在BD，BC，AC，AD 上，且 CDAB.求证：四边形 EFGH 是
9、矩形证明 CD平面 EFGH，而平面 EFGH平面 BCDEF，CDEF .同理 HGCD，且 HEAB，EFHG.同理 HEGF ，四边形 EFGH 为平行四边形CDEF ，HEAB ，HEF 为异面直线 CD 和 AB 所成的角（或补角） 又CDAB ，HEEF .平行四边形 EFGH 为矩形题型二 平面与平面平行的判定与性质例 3 如图所示，在三棱柱 ABCA 1B1C1中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A 1B1，A 1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.证明 (1)G， H 分别是 A1B1，A 1C1的中点，GH 是A 1B1
10、C1的中位线，GHB 1C1.又B 1C1BC，GHBC，B，C，H，G 四点共面(2)E， F 分别是 AB，AC 的中点，EFBC.EF平面 BCHG，BC平面 BCHG，EF平面 BCHG.A 1G 綊 EB，四边形 A1EBG 是平行四边形，A 1EGB .A 1E平面 BCHG，GB 平面 BCHG，A 1E平面 BCHG.A 1EEFE，平面 EFA1平面 BCHG.引申探究1在本例条件下，若 D 为 BC1的中点，求证：HD平面 A1B1BA.证明 如图所示，连接 HD，A 1B，D 为 BC1的中点，H 为 A1C1的中点，HDA 1B，又 HD平面 A1B1BA，A1B平面
11、A1B1BA，HD平面 A1B1BA.2在本例条件下，若 D1，D 分别为 B1C1，BC 的中点，求证：平面 A1BD1平面 AC1D.证明 如图所示，连接 A1C 交 AC1于点 M，四边形 A1ACC1是平行四边形，M 是 A1C 的中点，连接 MD，D 为 BC 的中点，A 1BDM .A 1B平面 A1BD1，DM平面 A1BD1，DM 平面 A1BD1.又由三棱柱的性质知，D 1C1綊 BD，四边形 BDC1D1为平行四边形，DC 1BD 1.又 DC1平面 A1BD1，BD 1平面 A1BD1，DC 1平面 A1BD1，又DC 1DMD，DC 1平面 AC1D，DM平面 AC1D
12、，平面 A1BD1 平面 AC1D.思维升华 证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行” 、 “线面平行” 、 “面面平行”的相互转化(2016西安模拟) 如图，四棱柱 ABCDA 1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，O 是底面中心，A 1O底面 ABCD，ABAA 1 .2(1)证明：平面 A1BD平面 CD1B1；(2)求三棱柱 ABDA 1B1D1的体积(1)证明 由题设知
13、，BB 1綊 DD1，四边形 BB1D1D 是平行四边形，BDB 1D1.又 BD平面 CD1B1，B 1D1平面 CD1B1，BD平面 CD1B1.A 1D1綊 B1C1綊 BC，四边形 A1BCD1是平行四边形，A 1BD 1C.又 A1B平面 CD1B1，D 1C平面 CD1B1，A 1B平面 CD1B1.又 BDA 1BB，平面 A1BD平面 CD1B1.(2)解 A 1O 平面 ABCD，A 1O 是三棱柱 ABDA 1B1D1的高又 AO AC1，AA 1 ，12 2A 1O 1.AA21 OA2又 SABD 1，12 2 2 1三 棱 柱 ABDVS ABD A1O1.题型三 平
14、行关系的综合应用例 4 (2016盐城模拟)如图所示，在三棱柱 ABCA 1B1C1中，D 是棱 CC1的中点，问在棱 AB上是否存在一点 E，使 DE 平面 AB1C1？若存在，请确定点 E 的位置；若不存在，请说明理由解 方法一 存在点 E，且 E 为 AB 的中点时，DE平面 AB1C1.下面给出证明：如图，取 BB1的中点 F，连接 DF，则 DFB 1C1，AB 的中点为 E，连接 EF，ED，则 EFAB 1，B 1C1AB 1B 1，平面 DEF平面 AB1C1.而 DE平面 DEF，DE平面 AB1C1.方法二 假设在棱 AB 上存在点 E，使得 DE平面 AB1C1，如图，取
15、 BB1的中点 F，连接 DF，EF，ED，则 DFB 1C1，又 DF平面 AB1C1，B 1C1平面 AB1C1，DF平面 AB1C1，又 DE平面 AB1C1，DE DF D，平面 DEF平面 AB1C1，EF平面 DEF，EF平面 AB1C1，又EF平面 ABB1，平面 ABB1平面 AB1C1AB 1，EFAB 1，点 F 是 BB1的中点， 点 E 是 AB 的中点即当点 E 是 AB 的中点时，DE平面 AB1C1.思维升华 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决如图所示，在四面体 ABCD 中，
16、截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？解 AB平面 EFGH，平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG，EH.ABFG ，ABEH，FGEH，同理可证 EFGH，截面 EFGH 是平行四边形设 ABa，CDb，FGH ( 即为异面直线 AB 和 CD 所成的角或其补角)又设 FGx，GHy，则由平面几何知识可得 ，xa CGBC ，两式相加得 1 ，即 y (ax )，yb BGBC xa yb baS EFGHFG GHsinx (ax)sin x(a x)ba bsinax0，ax0 且 x(ax) a 为定值， x(ax)
17、，当且仅当 xax 时等号成立bsina absin4此时 x ，y .a2 b2即当截面 EFGH 的顶点 E、F、G 、H 分别为棱 AD、AC、BC、BD 的中点时截面面积最大6立体几何中的探索性问题典例 (14 分) 如图，在四棱锥 SABCD 中，已知底面 ABCD 为直角梯形，其中ADBC，BAD 90 ，SA 底面 ABCD，SAABBC2，tanSDA .23(1)求四棱锥 SABCD 的体积；(2)在棱 SD 上找一点 E，使 CE平面 SAB，并证明规范解答解 (1)SA 底面 ABCD，tanSDA ，SA2，23AD3. 4 分由题意知四棱锥 SABCD 的底面为直角梯
18、形，且 SAABBC2， 6 分VSABCD SA (BCAD )AB13 12 2 (23)2 . 8 分13 12 103(2)当点 E 位于棱 SD 上靠近 D 的三等分点处时，可使 CE平面 SAB.10 分证明如下：取 SD 上靠近 D 的三等分点为 E，取 SA 上靠近 A 的三等分点为 F，连接 CE，EF ，BF，则 EF 綊 AD，BC 綊 AD，23 23BC 綊 EF， CEBF . 12 分又BF平面 SAB，CE平面 SAB，CE平面 SAB. 14 分解决立体几何中的探索性问题的步骤第一步：写出探求的最后结论；第二步：证明探求结论的正确性；第三步：给出明确答案；第四
19、步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范1(2016金华模拟)有下列命题：若直线 l 平行于平面 内的无数条直线，则直线 l；若直线 a 在平面 外，则 a；若直线 ab，b，则 a；若直线 ab，b，则 a 平行于平面 内的无数条直线其中真命题的个数是( )A1B2C 3D4答案 A解析 命题：l 可以在平面 内，不正确；命题：直线 a 与平面 可以是相交关系，不正确；命题：a 可以在平面 内，不正确；命题正确故选 A.2(2016余姚模拟)已知 m，n，l 1，l 2表示直线， 表示平面若m，n ， l1 ，l 2，l 1l 2M，则 的一个充分条件是 ( )Am 且 l1 Bm 且 n
20、Cm 且 nl 2 Dm l 1且 nl 2答案 D解析 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项 D 可推知 .故选 D.3(2017嘉兴月考)对于空间中的两条直线 m，n 和一个平面 ，下列命题中的真命题是( )A若 m ，n，则 mnB若 m，n，则 mnC若 m，n，则 mnD若 m ，n，则 mn答案 D解析 对 A，直线 m，n 可能平行、异面或相交，故 A 错误；对 B，直线 m 与 n 可能平行，也可能异面，故 B 错误；对 C，m 与 n 垂直而非平行，故 C 错误；对 D，垂直于同一平面的两直线平行，故 D 正确4下列四个正
21、方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB平面 MNP 的图形的序号是( )ABCD答案 B解析 中易知 NPAA，MNAB，平面 MNP平面 AAB 可得出 AB平面 MNP(如图)中，NPAB，能得出 AB平面 MNP.5已知平面 平面 ，P 是 ， 外一点，过点 P 的直线 m 与 ， 分别交于 A，C 两点，过点 P 的直线 n 与 ， 分别交于 B，D 两点，且 PA6，AC9，PD8，则 BD 的长为( )A16 B24 或245C14 D20答案 B解析 由 得 ABCD.分两种情况：若点 P 在 ， 的同侧，则 ，PAPC PBPDP
22、B ，BD ；165 245若点 P 在 ， 之间，则 ，PAPC PBPDPB16，BD 24.6(2016全国甲卷)， 是两个平面， m，n 是两条直线，有下列四个命题：如果 mn，m，n ，那么 ；如果 m，n，那么 mn；如果 ， m，那么 m ；如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)答案 解析 当 mn，m，n 时，两个平面的位置关系不确定，故错误，经判断知均正确，故正确答案为.7设 ， 是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，在命题 “m ，n ，且_，则 mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命
23、题 ， n；m，n；n ，m.可以填入的条件有_答案 或解析 由面面平行的性质定理可知，正确；当 n，m 时，n 和 m 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确8在正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1中，O 是底面 ABCD 的中心，P 是 DD1的中点，设 Q 是CC1上的点，则点 Q 满足条件_时，有平面 D1BQ平面 PAO.答案 Q 为 CC1的中点解析 假设 Q 为 CC1的中点因为 P 为 DD1的中点，所以 QBPA.连接 DB，因为 O 是底面 ABCD 的中心，所以 D1BPO，又 D1B平面 PAO，QB平面 PAO，且 PAPO 于 P，所以 D1B平面 PAO，QB
24、 平面 PAO，又 D1BQB 于 B，所以平面 D1BQ平面 PAO.故点 Q 满足条件，Q 为 CC1的中点时，有平面 D1BQ平面 PAO.9在四面体 ABCD 中，M，N 分别是ACD，BCD 的重心，则四面体的四个面中与 MN平行的是_答案 平面 ABD 与平面 ABC解析 如图，取 CD 的中点 E，连接 AE，BE.则 EMMA12，ENBN12，所以 MNAB.所以 MN平面 ABD，MN平面 ABC.*10.在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 6 的正三角形，SASBSC 15，平面 DEFH 分别与 AB，BC， SC，SA 交于点 D，E，F，H.D ，E 分别是
25、AB，BC 的中点，如果直线 SB平面 DEFH，那么四边形 DEFH 的面积为_答案 452解析 如图，取 AC 的中点 G，连接 SG，BG.易知 SGAC，BGAC，SG BG G，故 AC平面 SGB，所以 ACSB.因为 SB平面 DEFH，SB平面 SAB，平面 SAB平面 DEFHHD，则 SBHD.同理 SBFE.又 D，E 分别为 AB，BC 的中点，则 H，F 也为 AS，SC 的中点，从而得 HF 綊 AC 綊 DE，12所以四边形 DEFH 为平行四边形又 ACSB，SBHD，DE AC，所以 DEHD ，所以四边形 DEFH 为矩形，其面积 SHFHD( AC)( S
26、B) .12 12 45211.如图，E、F、G、H 分别是正方体 ABCDA 1B1C1D1的棱 BC、CC 1、C 1D1、AA 1的中点求证：(1)EG 平面 BB1D1D；(2)平面 BDF平面 B1D1H.证明 (1)取 B1D1的中点 O，连接 GO，OB，易证四边形 BEGO 为平行四边形，故 OBGE，由线面平行的判定定理即可证 EG平面 BB1D1D.(2)由题意可知 BDB 1D1.如图，连接 HB、D 1F，易证四边形 HBFD1是平行四边形，故 HD1BF.又 B1D1HD 1 D1，BDBFB ，所以平面 BDF平面 B1D1H.12(2017贵州兴义八中月考) 在如
27、图所示的多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为 a 的菱形，且DAB60，DF2BE2a，DFBE，DF平面 ABCD.(1)在 AF 上是否存在点 G，使得 EG平面 ABCD，请证明你的结论；(2)求该多面体的体积解 (1)当点 G 位于 AF 中点时，有 EG平面 ABCD.证明如下：取 AF 的中点 G， AD 的中点 H，连接 GH，GE，BH.在ADF 中，HG 为中位线，故 HGDF 且 HG DF.12因为 BEDF 且 BE DF，12所以 BE 綊 GH，即四边形 BEGH 为平行四边形，所以 EGBH .因为 BH平面 ABCD，EG 平面 ABCD，所以
28、EG平面 ABCD.(2)连接 AC，BD.因为 DF平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，所以 AC平面 BDFE.所以该多面体可分割成两个以平面 BDFE 为底面的等体积的四棱锥即 VABCDEFV ABDFE V CBDFE 2V ABDFE2 a a13 a 2a2 32 a3.32*13.(2016南通模拟)如图所示，斜三棱柱 ABCA 1B1C1中，点 D，D 1分别为 AC，A 1C1上的点(1)当 等于何值时， BC1平面 AB1D1?A1D1D1C1(2)若平面 BC1D平面 AB1D1，求 的值ADDC解 (1)如图所示，取 D1为线段 A1C1的中点，此时 1.A1D1
29、D1C1连接 A1B，交 AB1于点 O，连接 OD1.由棱柱的性质知，四边形 A1ABB1为平行四边形，点 O 为 A1B 的中点在A 1BC1中，点 O，D 1分别为 A1B，A 1C1的中点，OD 1BC 1.又OD 1平面 AB1D1，BC 1平面 AB1D1，BC 1平面 AB1D1.当 1 时，BC 1平面 AB1D1.A1D1D1C1(2)由平面 BC1D平面 AB1D1，且平面 A1BC1平面 BC1DBC 1，平面 A1BC1平面 AB1D1D 1O，得 BC1D 1O，同理 AD1DC 1， ， ，A1D1D1C1 A1OOB A1D1D1C1 DCAD又 1， 1，即 1.A1OOB DCAD ADDC
