【高考领航】2017届高三数学（文）二轮复习教师用书：第4部分专题一　思想方法应用.doc-道客多多

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1、专题一思想方法应用第 1 讲转化与化归思想思想诠释转化与化归思想：就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种思想其应用包括以下三个方面：(1)一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题(2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题(3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题应用示例方法 1 换元法【典例】 (2016 江西赣州模拟)已知实数 a，b，c 满足abc0， a2b 2c 2 1，则 a 的最大值是_ 【思路分析】换元转化为关于 a的式子求解【解题过程】令 bx ， cy，则 xya，x 2y 21a 2，(换

2、元转化)此时直线 x ya 与圆 x2y 21a 2 有交点，(建立模型)则圆心到直线的距离 d ，解得 a2 ，(分析求解)|a|2 1 a2 23所以 a 的最大值为，故填 .(总结作答)63 63【回顾反思】换元法是一种变量代换，也是一种特殊的转化与化归方法，是用一种变数形式去取代另一种变数形式，是将生疏(或复杂)的式子(或数)，用熟悉(或简单) 的式子 (或字母)进行替换；化生疏为熟悉、复杂为简单、抽象为具体，使运算或推理可以顺利进行【方法运用】已知 a 为正常数，若不等式 1 对一切非负实数 x1 xx2 x22a恒成立，则 a 的最大值为_【解析】原不等式即 1 (x0)，

3、(*)x22a x2 1 x令 t，t1，则 xt 21，1 x所以(*)式可化为 1 t 对 t1 恒成立，t2 122a t2 12 t2 2t 12 t 122所以 1 对 t1 恒成立，又 a 为正常数，所以 a(t 1) 2min4，故 a 的最t 12a大值是 4，故填 4.方法 2 直接转化法【典例】已知等比数列a n满足 a13，a 1a 3 a521，则 a3a 5a 7( )A21 B42C63 D84【思路分析】利用通项公式转化求解含有公比 q的方程利用整体思维求解【解题过程】设等比数列a n的公比为 q，则有 a1a 3a

4、5a 1a 1q2a 1q421，(公式转化)整理有 q4q 260，解得 q22，(方程求解)那么 a3a 5a 7(a 1a 3a 5)q242，(整体思维)故选 B.(回归作答)【回顾反思】本题利用等比数列的通项公式进行直接转化与应用通过等比数列的性质，巧妙把式子 a1a 3a 5，a 3a 5a 7 整体化，进而求解整体化技巧在解决一些数列性质、创新定义、创新运算等数列问题时经常有上佳表现【方法运用】有限数列 Aa 1，a 2，a 3，a n，S n是其前 n 项和，定义为数列 A 的“凯森和” ，如有 99 项的数列S1 S2 S3 SnnAa 1，a 2，a 3，a 99的“凯

5、森和”为 1 000，则有 100 项的数列1，a 1，a 2， a3，a 99的“凯森和”为_ 【解析】根据“凯森和”的定义，知 1 000，则S1 S2 S3 S9999S1S 2S 3S 9999 000，则有 100 项的数列1，a 1，a 2，a 3，a 99的“凯森和”为1 1 a1 1 a1 a2 1 a1 a2 a99100 991，故填 991.100 S1 S2 S3 S99100 100 99 000100方法 3 等价转化法【典例】解不等式：x |2x3|2.【思路分析】确定零点去绝对值分类转化分别求解汇总得解【解题过程】原

6、不等式可化为Error!或Error!(转化)解得 x5 或 x .(求解 )13综上，原不等式的解集是x| x5 或 x (回归)13【回顾反思】等价转化法常用于含有绝对值的问题，含有根号问题，复合函数问题等的求解中，求解的关键是去绝对值、去根号、简化复合函数等，利用运算法则、函数性质等进行等价转化，把问题简单化处理【方法运用】解不等式：x|2x3|2.解：原不等式可化为Error!或Error!解得 x或 x ，12综上，原不等式的解集是x| x 12方法 4 特殊转化法【典例】在ABC 中，点 M，N 满足 2 ， .若 x y ，AM MC BN NC MN AB AC 则 x_

7、，y _.【思路分析】寻找特殊关系并建系确定相应点、向量的坐标根据坐标运算建立关系式结合坐标相等关系求解并作答【解题过程】不妨设 ACAB，且 AB4，AC3，以 A 为坐标原点，AB，AC所在直线分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图，(寻找特例)则 A(0,0)，B(4,0)，C (0,3)，M(0,2)，N ，(2，32)那么， (4,0)， (0,3) ，MN (2， 12) AB AC 由 x y ，可得 x(4,0)y(0,3) ， (特例转化)MN AB AC (2， 12)即 (4x,

8、3y)，则有 Error!(2， 12)解得Error!故分别填， .(得出结论)12 16【回顾反思】常用的特殊转化法有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊点、特殊角、特殊位置等通过特殊转化法来处理相关的数学问题，有时可以达到非常好的效果，且直观简单，快捷方便【方法运用】已知数列x n满足 xn3 x n，x n2 |x n1 x n|(nN *)，若x11，x 2a(a1，a0)，则数列 xn的前 2 019 项和 S2 019_.【解析】根据题意，特殊化可得 x3|x 2x 1| a1|1a(a1，a0)，则x1x 2x 32.又 xn3 x n，所以 x4x 1，x 5

9、x 2，x 6x 3，即x4x 5x 6x 1x 2x 32.同理，x 7x 8x 92，x 10x 11x 122，而 2 0196733，则 S2 01926731 346，故填 1 346.方法 5 参数转化法【典例】 (2016 山西太原模拟)若对一切|p| 2，不等式 plog2x4log 2xp 恒成立，求实数 x 的取值范围【思路分析】根据题目条件进行参数转化结合转化后的问题进行分析汇总得出相关结论【解题过程】原不等式可变形为 f(p)p(log 2x1)log 2x40，且在p2,2 上恒成立，( 参数转化)由一次函数的

10、图象和性质知 f(2)0 且 f(2)0， (问题转化)那么Error!即2log 2x2，解得 x 4，故实数 x 的取值范围是 x| x 4 (得出结论)14 14【回顾反思】在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定式的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解主参易位、反客为主是处理参数问题的重要方法【方法运用】对任意 x，y R，不等式 x2y 2xy3(xya)恒成立，则实数a 的取值范围为( )A( ，1 B1，)C 1

11、，) D(，1【解析】不等式 x2y 2xy 3(xy a)恒成立不等式 x2(y 3)xy 23y3a0 恒成立(y3) 24(y 23y3a)3y 26y912a 3(y1) 212(1a)0，要使得上式恒成立，则有1a0 成立，故 a1，故选 B.第 2 讲分类与整合思想思想诠释分类讨论思想：是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学思想应用示例方法 1 由数学概念引起的分类整合法【典例】中位数为 1 010 的一组数构

12、成等差数列，其末项为 2 015，则该数列的首项为_【思路分析】根据中位数的概念加以分类结合等差数列性质建立方程求解汇总得出相关结论【解题过程】若这组数有 2n1 个，则 an1 1 010，a 2n1 2 015，又a1a 2n1 2a n1 ，所以 a15.(分类转化)若这组数有 2n 个，则 ana n1 1 01022 020，a 2n2 015，又a1a 2na na n1 ，所以 a15.(依次求解)综上，可知该数列的首项为 5，故填 5.(汇总结论)优解将数列的项数简单化当数列的项数为 3 时，则有 a21 010，

13、a 32 015，且 a1a 32a 2，解得a15.( 分类转化)当数列的项数为 4 时，则有 a2a 31 010，a 42 015，且 a1a 4a 2a 3，解得a15.( 依次求解)综上可知该数列的首项为 5，故填 5.(汇总结论)【回顾反思】分类讨论是一种逻辑方法及重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法本题主要结合中位数的概念与性质，结合这组数的个数的奇偶情况进行分类讨论【方法运用】已知函数 f(x)(a2)a x(a0，且 a1)，若对任意 x1，x 2R，0，则 a 的取值范围是_fx1 fx2x1 x2【解析】当 0

14、a1 时，a20，ya x单调递减，所以 f(x)单调递增；当 1a2 时，a20，ya x单调递增，所以 f(x)单调递减；当 a2 时，f(x )0；当 a2 时，a20，y ax单调递增，所以 f(x)单调递增由题意可知 f(x)单调递增，故 a 的取值范围是(0,1) (2，) ，故填(0,1)(2， ) 方法 2 由性质、定理、公式的限制引起的分类整合法【典例】设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 2Sn3 n3.求数列a n的通项公式【思路分析】已知数列前n项和公式分类讨论分别求解相应通项利用分段函数的形式写出通项【解

15、题过程】由 2Sn3 n3 得，当 n1 时，2S 13 132a 1，解得 a13；(分类转化)当 n2 时，a nS nS n1 (3n3)(3 n1 3) 3n1 .(依次求解)12所以数列 an的通项公式为 anError! (汇总结论)【回顾反思】已知数列的前 n 项和 Sn求 an时，往往通过分类讨论求解一般采用公式 anS nS n1 ，但要注意对 a1 是否满足 an进行验证数列的通项 an与前 n 项和 Sn的关系是 anError!【方法运用】已知数列a n的前 n 项和 Sn ，nN *，求数列a n的通项3n2 n2公式解：由 Sn 得，当 n1 时，a 1S 1

16、1.当 n2 时，3n2 n2anS nS n1 3n2.3n2 n2 3n 122 3n 12 n 12经检验 a13121，也符合公式，故 an的通项公式为 an3n2.方法 3 由数学运算要求引起的分类整合法【典例】 (2016 山东日照模拟)不等式|x|2 x3|2 的解集是( )A. (1，)( ， 53)B(，1) (53， )C. 1，)( ， 53D( ，1) (53， )【思路分析】确定绝对值的零点去绝对值进行分类转化依次求解不等式组汇总得解集【解题过程】原不等式可转化为Error!或Error!或Error!(分类转化

17、)解得 x 或 1x 0 或 x0.(依次求解)53综上，原不等式的解集是x| x 或 x1，故选 C.(汇总结论)53【回顾反思】由数学运算要求引起的分类整合法，常见的类型有除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数问题，含有绝对值的不等式求解，三角函数的定义域等，根据相应问题中的条件对相应的参数、关系式等加以分类分析，进而分类求解与综合【方法运用】若不等式|x| |2 x3| a 的解集为空集，求实数 a 的取值范围【解析】不等式|x|2x3| a 可转化为Error!或Error!或Error!则有Erro

18、r!或 Error!或Error!由于不等式|x|2x3| a 的解集是空集，所以，且 a3 ，且 0，解得 a ，故实数 a 的取值范围a 33 32 32 a 33 32为a|a 32第 3 讲数形结合思想思想诠释数形结合思想：是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想其应用包括以下两个方面：(1)“以形助数 ”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维(2)“以数定形 ”，把直观图形数量化，使形更加精确应用示例方法 1 函数与其图象的数形结合【典例】若函数 f(x)|2 x2| b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是_【思路分析】把函数零点问题转

19、化为方程问题找到对应的函数并作出图象通过观察图象得出正确的结论【解题过程】由 f(x)|2 x2| b 有两个零点，可得|2 x2| b 有两个不等的实根， (等价转化)从而可得函数 y|2 x2|的图象与函数 yb 的图象有两个交点，如图所示(作出图象)结合函数的图象，可得 0b2，故填(0,2)(得出结论)【回顾反思】已知函数有零点(方程有根)，求参数取值范围常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先

20、对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解【方法运用】若函数 f(x)|2 x2| b 有且仅有一个零点，则实数 b 的取值范围是_【解析】由 f(x)|2 x2|b 有且仅有一个零点，可得 |2x2|b 只有一个根，从而可得函数 y|2 x2|的图象与函数 yb 的图象只有一个交点，结合函数的图象，如图所示，可得 b0 或 b2，故填02，)方法 2 平面向量的数形结合【典例】已知，| | ，| |t，若 P 点是ABC 所在平面内一点，AB AC AB 1t AC 且，则的最大值等于( )AP AB |AB |4AC |AC | PB PC A13

21、B15C19 D21【思路分析】建立平面直角坐标系确定相应点、向量的坐标根据数量积建立关系式结合基本不等式计算并作答【解题过程】以 A 点为坐标原点，，的方向分别为 x 轴，y 轴的正方向建AB AC 立平面直角坐标系，如图所示(建系作图)则有 A(0,0)，B ，C(0 ，t) ，由可知 P(1,4)，(1t，0) AP AB |AB |4AC |AC |那么， (1，t4)，( 确定坐标 )PB (1t 1， 4) PC 故 (1，t4) 4t172 1713，PB PC (1t 1， 4) 1t 1t4t

22、当且仅当 4t，即 t 时等号成立，故选 A.(计算作答 )1t 12【回顾反思】在解答平面向量问题中，根据题目条件建立相应的平面直角坐标系，利用平面向量的坐标，结合向量的坐标运算、数量积公式等求解，具有很强的操作性，解答过程流畅，解题方法巧妙本题中通过巧妙建立坐标系，把平面向量的线性运算问题转化为坐标运算问题，利用基本不等式来求解最值问题，思路清晰，解法巧妙【方法运用】已知，| | ，| |t，若 P 点是ABC 所在平面内一AB AC AB 1t AC 点，且 .则满足的实数 t 的值为_AP AB |AB |4AC |AC | AP BC 【解析】以 A 点为坐标原点，，的

23、方向分别为 x 轴，y 轴的正方向建立平AB AC 面直角坐标系，则有 A(0,0)，B ，C(0，t) ，由可知 P(1,4)，则(1t，0) AP AB |AB |4AC |AC |(1,4)，又，，所以 (1,4) 4t 0，AP BC ( 1t，t) AP BC AP BC ( 1t，t) 1t解得 t (负值舍去) ，故填 .12 12方法 3 圆锥曲线的数形结合【典例】设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，则点 P 到点 A(1,1)的距离与点P 到直线 x1 的距离之和的最小值为_【思路分析】由 y2 4x知其准线是 x 1利用抛物线定义将点P

24、到直线 x 1的距离转化为点 P到焦点的距离利用两点之间线段最短进行求解【解题过程】(画出图形)如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线是 x1.由抛物线的定义知：点 P 到直线 x1 的距离等于点 P 到 F 的距离于是，问题转化为在抛物线上求一点 P，使点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小(数形求解)显然，连接 AF 与抛物线相交所得的点即为满足题意的点，此时最小值为|AF | .(得出结论)1 12 0 12 5【回顾反思】破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数形结合的相互渗透，并从相关的图形

25、中挖掘对应的信息加以分析与研究直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论【方法运用】已知抛物线的方程为 x28y ，F 是其焦点，点 A(2,4) ，在此抛物线上求一点 P，使APF 的周长最小，此时点 P 的坐标为_【解析】因为(2) 284，所以点 A(2,4)在抛物线 x28y 的内部，如图，设抛物线的准线为 l，过点 P 作 PQl 于点 Q，过点 A 作 ABl 于点 B，连接 AQ，由抛物线的定义可知APF 的周长为|PF|PA|AF |PQ|PA| |AF| AQ| AF|AB| |AF

26、|，当且仅当 P，B，A 三点共线时， APF 的周长取得最小值，即 |AB|AF|.因为 A(2,4)，所以不妨设APF 的周长最小时，点 P 的坐标为(2，y 0)，代入 x28y，得 y0 ，12故使APF 的周长最小的抛物线上的点 P 的坐标为，故填 .( 2，12) ( 2，12)第 4 讲函数与方程思想思想诠释1函数的思想：是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想2方程的思想：是建立方程或方程组或者构造方程或方程组，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想应用示例方法 1 平面向量

28、 2x 2y 24x 5yxy 在21 2xx 0，yy 0 时取到最小值 1，(向量代数化)又|b| 2x 2y 24x5yxy x 2(y4)x y 25y |b|2 2 (y2)(x y 42 ) 3427|b| 2，(代数函数化)所以Error!解得 Error!(得出结论 )【回顾反思】平面向量中含函数(方程)的相关知识，巧妙对平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想来分析与处理，这是解决此类问题的一种比较常见的思维方式【方法运用】已知 e1， e2 是平面两个相互垂直的单位向量，若向量 b 满足|b|2，be 11，be 21，则对于任意 x，y

30、系建立关系式结合数列性质建立关系式通过方程求解参数综合相应的关系式分析求解【解题过程】由题意可得Error!则 a0，b0.假定 ab0，则有Error!可得 qab4，(数列代数化)把 a2b2 代入 ab4，整理可得 b2b20，解得 b1(负值舍去)，(函数应用)则有 a4，那么 pab5，可得 pq9，故填 9.(得出结论)【回顾反思】以函数的零点为载体考查等比中项或等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心三个数成等差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论与分

31、析【方法运用】等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a113，S 3S 11，当 Sn最大时，n 的值是( )A5 B6C7 D8【解析】法一：由 S3S 11，得 a4a 5a 110，根据等差数列的性质，可得 a7a 80，根据首项 a113 可推知数列a n递减，从而得到 a70，a 80，故 n7 时，S n最大故选 C.法二：设a n的公差为 d，由 S3S 11，可得 3a13d11a 155d，把 a113 代入，得 d2，故 Sn13nn(n1)n 214n，根据二次函数的性质，知当n7 时，S n最大故选 C.法三：根据 a113，S 3S 11，知这个数列的公差

32、不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后单调递减，根据公差不为零的等差数列的前 n 项和是关于 n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当 n 7 时，S n取得最大3 112值故选 C.方法 3 三角问题的函数(方程)法【典例】 (2016 苏南四市模拟)将函数 ysin 的图象向左平移 m(m0)个(4x 3)单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值为_【思路分析】根据变换列出解析式结合题目条件建立函数关系得出相应的正确结论【解题过程】把 ysin 的图象上所有的点向左平移 m 个单位长度后，(4x 3)得到

33、ysin 4x m 3sin 的图象，(图象平移)(4x 4m 3)而此图象关于 y 轴对称，则 4m k (kZ)， (关系建立)3 2解得 m k (kZ)，又 m0，所以 m 的最小值为 .(得出结论)14 524 524【回顾反思】三角函数图象的平移，可采用平移方法一，先平移变换，再伸缩变换；也可采用平移方法二，先伸缩变换，再平移变换掌握函数yAsin(x )(A0，0) 的图象变换的两个过程：振幅周期相位，振幅相位周期【方法运用】定义一种运算：(a 1，a 2)(a3，a 4)a 1a4a 2a3，将函数 f(x)( ，2sin x)(cos x，cos 2x)的图象向左平移 n

34、(n0)个单位长度，所得图象对应3的函数为偶函数，则 n 的最小值为_【解析】由定义可知 f(x) cos 2xsin 2x2cos ，所以函数 f(x)的图象3 (2x 6)向左平移 n 个单位长度后为 y2cos 的图象，该函数为偶函数，所以(2x 2n 6)2n k(kZ)，故 n (kZ)又 n0，所以 n 的最小值为，故填 .6 k2 12 512 512方法 4 解析几何问题的方程(函数)法【典例】设直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，与圆 C：(x5)2y 2r 2(r0) 相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的

35、取值范围是( )A(1,3) B(1,4)C(2,3) D(2,4)【思路分析】设出直线，转化方程结合题目条件进行函数应用根据斜率情况分析综合条件加以汇总，得出结论【解题过程】设直线 l 的方程为 xtym ，A(x 1，y 1)，B (x2，y 2)，把直线 l 的方程代入抛物线方程 y24x 并整理得 y24ty 4m0，(解几代数化)则 16t 216m0，y 1y 24t，y 1y24m，那么 x1x 2(ty 1m )(ty 2m )4t 22m，则线段 AB 的中点 M(2t2m,2t)由题意可得直线 AB

36、与直线 MC 垂直，且 C(5,0)当 t0 时，有 kMCkAB1，即 1，2t 02t2 m 51t整理得 m32t 2，把 m32t 2 代入 16t 216m0，可得 3t 20，即 0t 23.由于圆心 C 到直线 AB 的距离等于半径，即 d 2 r，|5 m|1 t2 2 2t21 t2 1 t2所以 2r4，此时满足题意且不垂直于 x 轴的直线有两条(函数应用)当 t0 时，这样的直线 l 恰有 2 条，即 x5r，所以 0r5.综上可得，若这样的直线恰有 4 条，则 2r4，故选 D.(得出结论)【回顾反思】直线与圆锥曲线的综合问题，通常借助判别式和根与系数的关系进行求解，

37、这是方程思想在解析几何中的重要应用解析几何问题的方程(函数)法可以拓展解决解析几何问题的思维，通过代数运算、方程判定等解决解析几何中的位置关系、参数取值等问题【方法运用】设直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，与圆 C：(x5)2y 2r 2(r0) 相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点若这样的直线 l 恰有 2 条，则 r 的取值范围是_【解析】不妨设直线 l 的方程为 xtym ，A(x 1，y 1)，B (x2，y 2)，把直线 l 的方程代入抛物线方程 y24x 并整理得 y24ty4m 0，则 16t 216m0，y 1y 24t，y 1y24m，那么 x1x

38、 2(ty 1m )(ty 2m )4t 22m，则线段 AB 的中点 M(2t2m,2t)由题意可得直线 AB 与直线 MC 垂直，且 C(5,0)当 t0 时，有 kMCkAB1，即 1，整理得 m32t 2，2t 02t2 m 51t把 m32t 2 代入 16t 216m0，可得 3t 20，即 0t 23.由于圆心 C 到直线 AB 的距离等于半径，即 d 2 r ，|5 m|1 t2 2 2t21 t2 1 t2所以 2r4，此时满足题意且不垂直于 x 轴的直线有两条当 t0 时，还存在两条垂直于 x 轴的直线，即 x5r，所以 0r 5.综上分析，若这样的直线 l 恰有 2 条，只能是垂直于 x 轴的直线，所以 0r2 或 4r5，故填(0,24,5)

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【高考领航】2017届高三数学（文）二轮复习教师用书： 第4部分专题一 思想方法应用.doc

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