1、第九章 平面解析几何第 3 课时 直线与直线的位置关系 (对 应 学 生 用 书 （文 ）116 118页（理 ）121 123页 )考情分析 考点新知能熟练掌握两条直线平行和垂直的条件并灵活运用，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线斜率的关系问题；能判断两直线是否相交并求出交点坐标，体会两直线相交与二元一次方程组的关系；理解两点间距离公式的推导，并能应用两点间距离公式证明几何问题；点到直线距离公式的理解与应用 能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直. 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标. 掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.1. (必修
2、2P104 例 2 改编) 两平行直线 x3y40 与 2x6y90 的距离为_答案：1020解析：在直线 x3y40 上取点 P(4，0)，则点 P(4，0) 到直线 2x6y90 的距离d 即为两平行直线之间的距离d .|24 60 9|22 62 140 10202. (必修 2P93 习题 7 改编)已知直线 xay2a2 与直线 axya1 平行，则实数 a的值为_答案：1解析：由平行直线斜率相等得 a，解得，a1 ，由于当 a1 时两直线重合， 1aa1. 3. (必修 2P93 习题 16 改编)直线 l 经过点(3，0) ，且与直线 l：x3y20 垂直，则 l的方程是_答案：
3、3xy90解析：直线 l： x3y20 的斜率为 k ，由题意，得 kk k1，则13 ( 13)k3.所以 l 的方程为 y3(x3) ，即 3xy90.4. (必修 2P96 习题 5 改编)若直线 l 经过直线 2xy30 和 3xy20 的交点，且垂直于直线 y2x1，则直线 l 的方程为_ 答案：x2y110解析：由 得 即交点(1 ，5)，直线 y2x1 的斜率为 k2，与2x y 3 0，3x y 2 0，) x 1，y 5，)其垂直的直线斜率为 ，所以所求直线方程为 y5 (x1) ，1k 12 12即 x2y110.5. (必修 2P106 习题 18 改编)已知直线 l：y
4、3x3，那么直线 xy20 关于直线 l 对称的直线方程为_答案：7xy220解析：由 得交点坐标 P .又直线 xy20 上的点 Q(2，0)关x y 2 0，3x y 3 0，) ( 52， 92)于直线 l 的对称点为 Q ，故所求直线( 即 PQ)的方程为 ，即( 175，95)y 92 95 92x 52175 527xy220.1. 两条直线的位置关系斜截式 一般式方程 yk 1xb 1 yk 2xb 2A1xB 1yC 10(A B 21 210) A2xB 2yC 20(A B 2 20)相交 k1k 2A1B2A 2B10(A 2B20 时， )A1A2 B1B2垂直 k1
5、或 k1k211k2 A1A2B 1B0(当 B1B20 时， 1)A1B1 A2B2平行 k1k 2 且 b1b 2或A1B2 A2B1 0B2C1 B1C2 0)(当A1B2 A2B1 0A2C1 A1C2 0)A2B2C20，记为 A1B1 A2B2)C1C2重合 k1k 2 且 b1b 2A1A 2，B 1B 2，C 1C 2(0) (当 A2B2C20，记为 )A1B1 A2B2 C1C22. 两条直线的交点设两条直线的方程是 l1：A 1xB 1yC 10，l 2：A 2xB 2yC 20，两条直线的交点坐标就是方程组 的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解A1x B1y C
6、1 0，A2x B2y C2 0)就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立3. 几种距离(1) 两点间的距离平面上的两点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)间的距离公式：d(A，B) AB .（x1 x2）2 （y1 y2）2(2) 点到直线的距离点 P(x1，y 1)到直线 l：AxByC0 的距离 d .|Ax1 By1 C|A2 B2(3) 两条平行线间的距离两条平行线 AxByC 10 与 AxByC 20 间的距离 d .|C1 C2|A2 B2备课札记题型 1 两直线的平行与垂直例 1 两条直线 l1：(m3)x2y53m，l 2：4x(
7、5m)y16，分别求满足下列条件的 m 的值(1) l1 与 l2 相交；(2) l1 与 l2 平行；(3) l1 与 l2 重合；(4) l1 与 l2 垂直解：可先从平行的条件 (化为 a1b2a 2b1)着手由 ，得a1a2 b1b2 m 34 25 mm28m70，解得 m1 1，m 27.由 ，得 m1.m 34 5 3m16(1) 当 m1 且 m7 时， ，l 1 与 l2 相交a1a2 b1b2(2) 当 m7 时， .l1l 2.a1a2 b1b2 c1c2(3) 当 m1 时， ，l 1 与 l2 重合a1a2 b1b2 c1c2(4) 当 a1a2b 1b20，即(m
8、3)42(5m)0，m 时，l 1l 2.113变 式 训 练已知两直线 l1：ax by40，l 2：(a1)xyb0，分别求满足下列条件的 a、b 的值(1) 直线 l1 过点( 3，1)，且 l1l 2；(2) 直线 l1 与 l2 平行，且坐标原点到 l1、l 2 的距离相等解：(1) l1l 2， a(a1)( b)10, 即 a2ab0 .又点(3，1)在 l1 上， 3ab4 0 ，由解得 a2，b2.(2) l1l 2 且 l2 的斜率为 1a. l1 的斜率存在，即 1a，b .故 l1 和 l2 的方ab a1 a程可分别表示为 l1：(a1)xy 0，l 2：(a1)x
9、y 0. 原点到 l1 和 l24（a 1）a a1 a的距离相等， 4 ，解得 a2 或 .|a 1a | | a1 a| 23因此 或a 2，b 2) a 23，b 2.)题型 2 两直线的交点例 2 求经过直线 2x3y10 和 x3y40 的交点，且垂直于直线3x4y70 的直线方程解：解得直线 2x3y10 和 x3y40 的交点为 ，由已知垂直关系可求( 53，79)得所求直线的斜率为 ，进而得所求直线方程为 4x3y90.43备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知直线 l 经过点 P(3，1)，且被两平行直线 l1：xy10 和 l2：xy60 截得的线段之长为 5，求直线 l
10、 的方程解：(解法 1)若直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x3，此时与 l1、l 2 的交点分别为 A(3，4)和 B(3，9) ，截得的线段 AB 的长 5，符合题意|AB| | 4 9|若直线 l 的斜率存在，则设直线 l 的方程为 yk(x3) 1.解方程组 ，得 A ，y k（x 3） 1x y 1 0 ) (3k 2k 1， 4k 1k 1)解方程组 ，得 B .y k（x 3） 1x y 6 0 ) (3k 7k 1， 9k 1k 1)由 5，得 ( )25 2.|AB| (3k 2k 1 3k 7k 1)24k 1k 1 9k 1k 1解之，得 k0，即所求的直线方
11、程为 y1.综上可知，所求 l 的方程为 x3 或 y1.(解法 2)由题意，直线 l1、l 2 之间的距离为 d ，且直线 l 被平行直线 l1、l 2|1 6|2 522所截得的线段 AB 的长为 5(如图 )设直线 l 与直线 l1 的夹角为 ，则 sin ，故 45.52 25 22由直线 l1：xy10 的倾斜角为 135，知直线 l 的倾斜角为 0或 90.又直线 l 过点P(3，1)，故直线 l 的方程为 x3 或 y1.(解法 3)设直线 l 与 l1、l 2 分别相交于 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，则x1y 110，x 2y 260.两式相减，得(x 1x 2)
12、(y 1y 2)5. 又(x 1x 2)2(y 1y 2)225， 联立，可得 或x1 x2 5，y1 y2 0) x1 x2 0，y1 y2 5，)由上可知，直线 l 的倾斜角分别为 0或 90.故所求直线方程为 x3 或 y1.题型 3 点到直线及两平行直线之间的距离例 3 已知点 A(4，3) ，B(2 ，1)和直线 l：4x3y20，求一点 P 使|PA|PB|，且点 P 到 l 的距离等于 2.解：为使|PA|PB|(如图)，点 P 必在线段 AB 的垂直平分线上，又点 P 到直线 l 的距离为 2，所以点 P 又在距离 l 为 2 且平行于 l 的直线上，求这两条直线的交点即得所求
13、点 P.设点 P 的坐标为 P(a，b) A(4，3)，B(2，1) AB 的中点 M 的坐标为(3，2) 又 AB 的斜率 kAB1. AB 的垂直平分线方程为 y2x3，即 xy50. 3 14 2而 P(a，b) 在直线 xy50 上 ab50.又已知点 P 到 l 的距离为 2， 点 P 必在与 l 平行且距离为 2 的直线上，设直线方程为 4x3ym0，由两条平行直线之间的距离公式，得 2，|m 2|5 m8 或12. 点 P 在直线 4x3y80 或 4x3y 120 上 4a3b80或 4a3b12 0 .由得 a1，b4 或 a ，b .277 87 点 P(1，4)或 P(
14、， )为所求的点277 87备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知点 P1(2，3)、P 2(4，5)和 A(1，2) ，求过点 A 且与点 P1、P 2 距离相等的直线方程解：(解法 1)设所求直线方程为 y2k(x1) ，即 kxyk20.由点 P1、P 2 到直线的距离相等得 .|2k 3 k 2|k2 1 | 4k 5 k 2|k2 1化简得 ，|3k 1| | 3k 3|则有 3k13k3 或 3k13k3，解得 k 或方程无解13方程无解表明这样的 k 不存在，但过点 A，所以直线方程为 x1，它与 P1、P 2 的距离都是 3.所求直线方程为 y2 (x1) 或 x1.13(解
15、法 2)设所求直线为 l，由于 l 过点 A 且与 P1、P 2 距离相等，所以 l 有两种情况，如下图：当 P1、P 2 在 l 的同侧时，有 lP 1P2，此时可求得 l 的方程为 y2 (x1)，5 3 4 2即 y2 (x1)；13当 P1、P 2 在 l 的异侧时，l 必过 P1、P 2 的中点(1，4) ，此时 l 的方程为 x1.所求直线的方程为 y2 (x1) 或 x1.13题型 4 对称问题例 4 直线 l1：2xy40，求 l1 关于直线 l：3x4y10 对称的直线 l2 的方程解：在直线 l1 上取一点 A(2，0)，又设点 A 关于直线 l 的对称点为 B(x0，y
16、0)，则 解得 B( ， )y0 0x0 2 43，32 x02 40 y02 1 0，) 45 85又 l1 与 l2 的交点为 M(3，2)，故由两点式可求得直线 l2 的方程为 2x11y160.备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知直线 l：x2y20，试求：(1) 点 P(2， 1)关于直线 l 的对称点坐标；(2) 直线 l1：yx2 关于直线 l 对称的直线 l2 的方程；(3) 直线 l 关于点(1 ，1)对称的直线方程解：(1) 设点 P 关于直线 l 的对称点为 P(x0，y 0)，则线段 PP的中点 M 在对称轴 l 上，且 PPl. 解得y0 1x0 2( 12) 1
17、，x0 22 2y0 12 2 0，) x0 25，y0 195，)即 P坐标为 .(25，195)(2) 直线 l1：y x2 关于直线 l 对称的直线为 l2，则 l2 上任一点 P(x，y)关于 l 的对称点 P(x，y) 一定在直线 l1 上，反之也成立由 得y yx x( 12) 1，x x2 2y y2 2 0，) x 3x 4y 45 ，y 4x 3y 85 .)把(x，y)代入方程 yx2 并整理，得 7xy140.即直线 l2 的方程为 7xy14 0.(3) 设直线 l 关于点 A(1，1) 的对称直线为 l，则直线 l 上任一点 P(x1，y 1)关于点 A 的对称点 P
18、(x，y)一定在直线 l上，反之也成立由 得x x12 1，y y12 1，) x1 2 x，y1 2 y，)将(x 1，y 1)代入直线 l 的方程得 x2y40.直线 l的方程为 x2y4 0.题型 5 三角形中的直线问题例 5 直线 y2x 是ABC 中C 的平分线所在的直线，且 A、B 的坐标分别为A(4， 2)、B(3 ，1)，求顶点 C 的坐标并判断ABC 的形状解：由题意画出草图(如图所示 )设点 A(4，2)关于直线 l：y2x 的对称点为 A(a，b)，则 A必在直线 BC 上以下先求 A(a，b) 由对称性可得 解得b 2a 4 12，b 22 2a 42 ，) a 4，b
19、 2，) A(4，2) 直线 BC 的方程为 ，y 1 2 1 x 34 3即 3xy100.由 得 C(2，4) y 2x，3x y 10 0，) k AC ，k BC3， ACBC.13 ABC 是直角三角形备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知ABC 的顶点为 A(3，1)，AB 边上的中线所在的直线方程为6x10y590，B 的平分线所在的直线方程为 x4y 100，求 BC 边所在的直线方程解：设 B(4y110，y 1)，由 AB 的中点在 6x10y590 上，可得 6 104y1 72590，解得 y1 5，y1 12所以 B 为(10，5)设 A 点关于 x4y100 的对
20、称点为 A(x，y) ，则有 A(1，7) x 32 4y 12 10 0，y 1x 314 1 )故 BC 边所在的直线方程为 2x9y650.1. 设 aR，则“a1”是“直线 l1：ax 2y10 与直线 l2：x(a 1)y40 平行”的_条件答案：充分不必要解析：由 a1，可得 l1l 2；反之，由 l1l 2，可得 a1 或 a2.2. 定义：曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离已知曲线 C1： yx 2a 到直线 l：yx 的距离等于曲线 C2：x 2 (y4) 22 到直线 l：yx 的距离，则实数 a _答案：94解析：因曲线 C2：x
21、2(y4) 22 到直线 l：yx 的距离为 2 0 （ 4）2 2 2 2，所以曲线 C1 与直线 l 不能相交，故 x2a x，即 x2ax0.设 C1：yx 2a 上一点2为(x 0，y 0)，则点(x 0，y 0)到直线 l 的距离 d ，|x0 y0|2 (x0 12)2 a 142 4a 142 2所以 a .943. 与直线 3x4y50 关于 x 轴对称的直线方程为_答案：3x4y50解析：与直线 3x4y50 关于 x 轴对称的直线方程是 3x4(y) 50，即3x4y50.4. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 为椭圆 1 的右顶点，点x29 2y29D(1，
22、0)，点 P、B 在椭圆上， .BP DA (1) 求直线 BD 的方程；(2) 求直线 BD 被过 P、A、B 三点的圆 C 截得的弦长；(3) 是否存在分别以 PB、PA 为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由解：(1) 设 P(x0，y 0)因为 ，且 D(1，0)，A(3 ， 0)，点 B、P 在椭圆上，所以BP DA B(x 0，y 0)，所以 x01，将其代入椭圆，得 y02，所以 P(1，2) ，B(1，2)所以直线BD 的方程为 xy10.(2) 线段 BP 的垂直平分线方程为 x0，线段 AP 的垂直平分线方程为 yx1.解方程组 得圆心 C
23、 的坐标为(0，1) 所以圆 C 的半径 rCP .因为圆心x 0，y x 1，) 10C(0，1) 到直线 BD 的距离为 d ，所以直线 BD 被圆 C 截得的弦长为 2|0 1 1|2 24 .r2 d2 2(3) 这样的圆 M 与圆 N 存在由题意得，点 M 一定在 y 轴上，点 N 一定在线段 PC的垂直平分线 yx1 上当圆 M 与圆 N 是两个相外切的等圆时，一定有 P、M、N 在一条直线上，且 PMPN.M(0，b) ，则 N(2，4b)因为点 N(2，4b) 在直线 yx1 上，所以 4b21，b3.所以这两个圆的半径为 PM ，方程分别为 x2(y3)222，(x 2) 2
24、 (y1) 22.1. 若动点 A、B 分别在直线 l1：xy70 和 l2：xy50 上移动，则 AB 的中点M 到原点的距离的最小值为_答案：3 2解析：依题意知 AB 的中点 M 的集合为与直线 l1：xy70 和 l2：xy50 距离都相等的直线，则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点 M 所在直线的方程为 l：xym0，根据平行线间的距离公式得 |m7|m 5| m6，所以 l 的方程为 xy60，根据点到直线的|m 7|2 |m 5|2距离公式，得 M 到原点的距离的最小值为 3 .|6|2 22. 点(1，cos)(其中 0 )到直线 xsinycos 10 的距
25、离是 ，那么 等于14_答案： 或6 56解析：由已知得 ，即|sin sin 2| ，|sin cos2 1|sin2 cos2 14 14 4sin24sin 10 或 4sin24sin 10， sin 或 sin . 1 22 120， 0sin 1， sin ，即 或 .12 6 563. 求直线 a：2xy40 关于直线 l：3x4y10 对称的直线 b 的方程解：由 解得 a 与 l 的交点 E(3，2) ，E 点也在 b 上2x y 4 0，3x 4y 1 0，)(解法 1)设直线 b 的斜率为 k，又知直线 a 的斜率为2，直线 l 的斜率为 .34则 ，解得 k . 34
26、（ 2）1 ( 34)（ 2）k ( 34)1 ( 34)k 211代入点斜式得直线 b 的方程为 y(2) (x3) ，即 2x11y160.211(解法 2)在直线 a：2xy4 0 上找一点 A(2，0)，设点 A 关于直线 l 的对称点 B 的坐标为(x 0，y 0)，由 解得 B .32 x02 40 y02 1 0，y0x0 2 43， ) (45， 85)由两点式得直线 b 的方程为 ，y （ 2） 2 ( 85)x 33 45即 2x11y160.(解法 3)设直线 b 上的动点 P(x，y)关于 l：3x4y10 的对称点为 Q(x0，y 0)，则有3x x02 4y y02
27、 1 0，y y0x x0 43， )解得 x0 ，y 0 .7x 24y 625 24x 7y 825Q(x0，y 0)在直线 a：2xy40 上，则 2 40，7x 24y 625 24x 7y 825化简得 2x11y160，即为所求直线 b 的方程(解法 4)设直线 b 上的动点 P(x，y)，直线 a 上的点 Q(x0， 42x 0)，且 P、Q 两点关于直线 l：3x4y10 对称，则有|3x 4y 1|5 |3x0 4（4 2x0） 1|5 ，y （4 2x0）x x0 43， )消去 x0，得 2x11y160 或 2xy40(舍) 4. 已知 ABC 的两个顶点 A(1，5)
28、 和 B(0，1)，又知C 的平分线所在的直线方程为 2x3y60，求三角形各边所在直线的方程解：设 A 点关于直线 2x3y 60 的对称点为 A(x1，y 1)，则2x1 12 3y1 52 6 0，y1 5x1 1 32， ) 解得 即 A ，2x1 3y1 5 0，3x1 2y1 7 0，) x1 3113，y1 113，) (3113， 113)同理，点 B 关于直线 2x3y 60 的对称点为 B .( 3613，4113)角平分线是角的两边的对称轴，A 点在直线 BC 上直线 BC 的方程为 y x1， 113 （ 1）3113 0整理得 12x31y310.同理，直线 AC 的
29、方程为 y5 (x1) ，5 4113 1 ( 3613)整理得 24x23y1390.直线 AB 的方程为 y x1，5 （ 1） 1 0整理得 6xy10.1. 在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑2. 在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为AxBy C 0 的形式，否则会出错3. 对称问题主要包括中心对称和轴对称(1) 中心对称 点 P(x，y)关于 O(a，b)的对称点 P(x，y)满足x 2a x，y 2b y.) 直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(2) 轴对称 点 A(a，b)关于直线 AxByC0(B 0)的对称点 A(m，n) ，则有 1，A B C0.n bm a ( AB) a m2 b n2 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决请 使 用 课 时 训 练 （B）第 3课 时 （见 活 页 ）.备课札记
