1、第八章 立体几何初步第 2 课时 直线与平面的位置关系(1) (对 应 学 生 用 书 （文 ）100 101页（理 ）102 103页 )考情分析 考点新知了解直线与平面的位置关系，了解空间平行的有关概念；除了能熟练运用线面平行的判定定理和性质定理外，还要充分利用定义要注意线线关系、线面关系以及面面关系的转化对于直线与平面所成角，点到面的距离了解即可.1. (必修 2P37 练习 3 改编) 在梯形 ABCD 中，ABCD ，AB 平面 ，CD 平面 ，则直线 CD 与平面 内的直线的位置关系可能是_答案：平行或异面解析：因为 ABCD，AB 平面 ，CD 平面 ，所以 CD平面 ，所以 C
2、D 与平面 内的直线可能平行，也可能异面2. (必修 2P41 练习 2 改编) 过直线 l 外一点 P，作与 l 平行的平面，则这样的平面有_个答案：无数解析：直线 l 与点 P 确定一个平面，记为 ，在平面 内作直线 PQ，又在平面 外任取一点 R，则点 R 与直线 PQ 确定一平面，记为 ，由直线与平面平行的判定定理易知 l ，因此满足题意的平面有无数个3. (必修 2P37 练习 4 改编)在正六棱柱 ABCDEFA 1B1C1D1E1F1 的表面中，与 A1F1 平行的平面是_答案：平面 ABCDEF、平面 CC1D1D解析：在正六棱柱中，易知 A1F1AF，且 A1F1 平面 AB
3、CDEF，所以 A1F1平面ABCDEF.同理， A1F1C 1D1，且 A1F1 平面 CC1D1D，所以 A1F1平面 CC1D1D.其他各面与 A1F1 不满足直线与平面平行的条件故答案为平面 ABCDEF 与平面 CC1D1D.4. (必修 2P32 习题 3 改编) 已知 P 是正方体 ABCDA1B1C1D1 棱 DD1 上任意一点，则在正方体的 12 条棱中，与平面 ABP 平行的直线是 _答案：DC、D 1C1、A 1B1解析：DC、D 1C1、A 1B1 均平行于直线 AB，依据直线与平面平行判定定理，均可证明它们平行于平面 ABP.5. (必修 2P41 习题 5 改编)
4、在四面体 ABCD 中，M、N 分别是平面 ACD、BCD 的重心，则四面体的四个面中与 MN 平行的是_答案：平面 ABC、平面 ABD解析：如图，连结 AM 并延长交 CD 于 E，连结 BN 并延长交 CD 于 F，由重心性质可知，E 、 F 重合为一点，且该点为 CD 的中点 E，由 ，得 MNAB，因此，EMMA ENNB 12MN平面 ABC，且 MN平面 ABD.1. 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：位置关系 直线 a 在平面 内 直线 a 与平面 相交 直线 a 与平面 平行公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点符号表示 a aA a图形表示2.
5、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行备课札记题型 1 基本概念辨析例 1 (1) 要得到直线 l平面 ，则下列条件不正确的有_( 填序号) l 平行于 内的所有直线； l 平行于过 l 的平面与 的交线； l 平行于 内的无数条直线； l 和 内的所有直线都没有公共点(2) 已知直线 a、b 和平面 ，那么能得到 ab 的条件有_(填序号) a，b； a ，b； b 且 a； a、b 与 成等角(3) 、 表示平面，a、b 表示直线，则
6、能得到 a 的条件有 _( 填序号) 且 a ； b，且 ab； ab 且 b； 且 a.答案：(1) (2) (3) 备 选 变 式 （教 师 专 享 ）如图是一正方体的表面展开图，B、N、Q 都是所在棱的中点，则在原正方体中， AB 与 CD 相交； MN PQ； ABPE； MN 与 CD 异面； MN平面 PQC.其中真命题的是_(填序号 )答案：解析：将正方体还原后如图，则 N 与 B 重合，A 与 C 重合，E 与 D 重合，所以、为真命题题型 2 直线与平面平行例 2 如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，D 是 BC 的中点(1) 若 E 为 A1C1 的中点，求证：DE
7、平面 ABB1A1；(2) 若 E 为 A1C1 上一点，且 A1B平面 B1DE，求 的值A1EEC1(1) 证明：取 B1C1 中点 G，连结 EG、GD，则 EGA 1B1，DG BB 1.又EGDG G， 平面 DEG平面 ABB1A1.又 DE平面 DEG， DE平面 ABB1A1.(2) 解：设 B1D 交 BC1 于点 F，则平面 A1BC1平面 B1DEEF.因为 A1B平面B1DE，A 1B平面 A1BC1，所以 A1BEF.所以 .因为 ，所以A1EEC1 BFFC1 BFFC1 BDB1C1 12 .A1EEC1 12变 式 训 练如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1
8、中，M 、N 分别是 BC 和 A1B1 的中点求证：MN平面 AA1C1.证明：设 A1C1 中点为 F，连结 NF、FC. N 为 A1B1 中点， NFB 1C1，且 NF B1C1.又由棱柱性质知 B1C1=BC ，又12M 是 BC 的中点， NF=MC， 四边形 NFCM 为平行四边形 MNCF.又 CF 平面 AA1C1，MN 平面 AA1C1， MN平面 AA1C1.备 选 变 式 （教 师 专 享 ）(2014泰州中学期初调研)如图，四边形 ABCD 为矩形，平面 ABCD平面ABE，BEBC ，F 为 CE 上的一点，且 BF平面 ACE. (1) 求证：AE BE；(2)
9、 求证：AE 平面 BFD.证明： (1) 平面 ABCD 平面 ABE，平面 ABCD平面 ABEAB，ADAB， AD平面 ABE，ADAE. ADBC，则 BCAE.又 BF 平面 ACE，则 BFAE. BCBFB， AE平面 BCE， AE BE.(2) 设 ACBDG，连结 FG，易知 G 是 AC 的中点， BF 平面 ACE，则 BFCE.而 BCBE ， F 是 EC 中点. 在ACE 中，FGAE， AE 平面 BFD，FG 平面 BFD， AE 平面 BFD. 题型 3 线面平行与线线平行例 3 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 、G、H 分别是B
10、C、CC 1、C 1D1、A 1A 的中点求证：(1) BFHD 1；(2) EG 平面 BB1D1D.证明：(1) 取 BB1 的中点 M，易证四边形 HMC1D1 是平行四边形， HD1MC 1.又 MC1BF， BFHD 1.(2) 取 BD 的中点 O，连结 EO、D 1O，则 OE= DC，12又 D1G= DC， OE=D 1G，12 四边形 OEGD1 是平行四边形， GED 1O.又 D1O 平面 BB1D1D， EG平面 BB1D1D.备 选 变 式 （教 师 专 享 ）(2013扬州调研)如图，四边形 ABCD 为正方形，在四边形 ADPQ 中，PDQA.又QA平面 ABC
11、D，QAAB PD.12(1) 证明： PQ平面 DCQ；(2) CP 上是否存在一点 R，使 QR平面 ABCD，若存在，请求出 R 的位置，若不存在，请说明理由解： (1) 证法一： QA平面 ABCD， QACD, 由四边形 ABCD 为正方形知DCAD ，又 QA 、AD 为平面 PDAQ 内两条相交直线， CD平面 PDAQ， CDPQ，在直角梯形 PDAQ 中可得 DQPQ PD，则 PQQD, 又 CD 、QD 为平面22ADCB 内两条相交直线， PQ平面 DCQ.证法二： QA平面 ABCD，QA 平面 PDAQ， 平面 PDAQ平面 ABCD，交线为 AD. 又四边形 AB
12、CD 为正方形，DCAD， DC平面 PDAQ，可得 PQDC. 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQPQ PD，则 PQQD, 又 CD 、QD 为平面 ADCB 内两22条相交直线， PQ平面 DCQ.(2) 存在 CP 中点 R，使 QR平面 ABCD.证明如下：取 CD 中点 T，连结 QR、RT 、AT，则 RTDP，且 RT DP，又 AQDP，且12AQ DP，从而 AQRT，且 AQRT， 四边形 AQRT 为平行四边形，所以12ATQR， QR 平面 ABCD，AT 平面 ABCD， QR 平面 ABCD.1. (2013南京模拟 )直线 l 上有两点与平面 的距离相等，则直线
13、 l 与平面 的位置关系是_答案：平行或相交解析：设 A、B 是直线 l 上两点，若两点 A、B 在平面 的同侧，则 l，若两点A、B 在平面 的异侧，且线段 AB 的中点在 上，则 l 与 相交2. 下列命题中正确的是_(填序号) 若直线 a 不在 内，则 a； 若直线 l 上有无数个点不在平面 内，则 l ； 若 l 与平面 平行，则 l 与 内任何一条直线都没有公共点； 平行于同一平面的两直线可以相交答案：解析：aA 时，a ， 错；直线 l 与 相交时， l 上有无数个点不在 内，故错；l，l 与 无公共点， l 与 内任一直线都无公共点，正确；长方体中A1C1 与 B1D1 都与平面
14、 ABCD 平行， 正确3. 已知在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为 C1D1 的中点，则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为_答案：23解析：取 A1B1 的中点 F，则AEF 为所求角或其补角设正方体棱长为 2，则AE3， AF ，EF 2，所以 cosAEF .5AE2 EF2 AF22AEEF 234. 下面四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点， M、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB平面 MNP 的图形是_(填序号 )答案：解析：由线面平行的判定定理知图可得出 AB平面 MNP.5. 如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D 、E 分别为
15、AA1、CC 1 的中点，ACBE ，点 F 在线段 AB 上，且 AB4AF.若 M 为线段 BE 上一点，试确定 M 在线段 BE上的位置，使得 C1D平面 B1FM.解：连结 AE，在 BE 上取点 M，使 BE4ME，连结 FM、B 1M、FB 1.在BEA 中， BE4ME，AB4AF， MFAE. 又在平面 AA1C1C 中，易证 C1DAE， C1DFM. C1D平面 FMB1，FM 平面 FMB1， C1D平面 B1FM.1. (2013 年汕头质检)若 m，n 为两条不重合的直线， 为两个不重合的平面，则下列命题是真命题的是_(填序号) 若 m、n 都平行于平面 ，则 m、n
16、 一定不是相交直线； 若 m、n 都垂直于平面 ，则 m、n 一定是平行直线； 已知 、 互相平行，m、 n 互相平行，若 m ，则 n ； 若 m、n 在平面 内的射影互相平行，则 m、n 互相平行答案：解析：为假命题，为真命题，在中，n 可以平行于 ，也可以在 内，故是假命题，在中，m、n 也可能异面，故为假命题2. 、 、 是三个平面，a、b 是两条直线，有下列三个条件： a，b ； a ，b； b ，a .如果命题“a，b ，且_，则 ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是_( 填序号) 答案：解析：中，a，a ，b ，b a b(线面平行的性质)中，b，b ，a ，a ab( 线
17、面平行的性质 )3. 正三棱柱 ABC A1B1C1 中，已知 ABA 1A，D 为 C1C 的中点，O 为 A1B 与AB1 的交点(1) 求证：AB 1平面 A1BD；(2) 若点 E 为 AO 的中点，求证：EC 平面 A1BD.证明：(1) 连结 DA、DB 1、DO.ABA 1A，D 为 C1C 的中点，而 DB1 ，DA ，DB 1DA.DC2 CA2又 O 是正方形 A1ABB1 对角线的交点，DOAB 1.又 A1BAB 1，A 1BDOO，AB 1平面 A1BD.(2) 取 A1O 的中点 F，在A 1OA 中，E 是 OA 中点，EF= AA1.12又 D 为 C1C 的中
18、点， CD = AA1.12EF= CD ，故四边形 CDFE 是平行四边形CE DF.又 DF平面 A1BD，CE 平面 A1BD，EC平面 A1BD.4. 设 m、n 是平面 外的两条直线，给出三个论断： mn； m； n. 以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：_(填序号)答案： (或 )解析：当 m 时，由线面平行的性质定理，过 m 作平面与 的交线 m，则有mm ，因为 mn，所以 n m，又 n 是平面 外的直线，所以 n.故 .同理 .1. 判定或证明直线与平面平行的常用方法：(1) 利用直线与平面平行的定义( 无公共点)；(2) 利用直线与平面平行的判定定理(a ，b ，ab a)；(3) 利用平面与平面平行的性质(，a a)；注意不管用哪种方法，都应将相应的条件写全，缺一不可2. 直线与平面平行的性质定理的作用是证线线平行，应用时常常需构造辅助平面，和平面几何中添加辅助线一样，在构造辅助平面时要确认这个平面的存在性3. 证明平行问题时要注意“转化思想”的应用，要抓住线线、线面、面面之间平行关系，实现“空间问题”与“平面问题”之间的转化请 使 用 课 时 训 练 （A）第 2课 时 （见 活 页 ）.备课札记
