1、专题三导数及其应用考 纲 原 文 呈 现1导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景；（2）理解导数的几何意义2导数的运算（1）能根据导数定义求函数 y=C，（ C 为常数）， 的231,yxyxyx导数（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如 f(ax+c)的复合函数）的导数常见基本初等函数的导数公式：（ 为 常 数 ） ； ；()0C1()nxN； ；sincosx(si； ；()e)ln01)xaa且； 1l1(lgoe(a常用的导数运算法则：法则 1： ()()uxvuxv法 则 2： ()x法则 3： 2(
2、)() 0)xvxvv3导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）；（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）4生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题5定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；（2）了解微积分基本定理的含义考 情 分 析 与 预 测年份 题型 考查角度分值难度2016 年卷解答题第 21题导数在函数中
3、的应用 12困难填空题第 16题导数的几何意义 5困难2016 年卷 解答题第 21题导数在研究单调性与求最值中应用 12困难填空题第 15题导数的几何意义 5中等2016 年卷 解答题第 21题导数在函数中的应用、导数在证明不等式中的应用 12困难选择题第 12题导数在函数中的应用 5困难2015 年卷 解答题第 21题导数的几何意义、导数在函数中的应用 12困难选择题第 12题导数在函数中的应用 5困难2015 年卷 解答题第 21题导数的综合应用 12困难选择题第 11题导数与极值的关系 5中等2014 年卷解答题第 21 导数的几何意义、导数在证明不等式中的应用 12 困题 难选择题第
4、 8题导数的几何意义 5中等2014 年卷 解答题第 21题导数在研究单调性与求最值中应用 12困难填空题第 16题导数与函数最值的关系 5困难2013 年卷 解答题第 21题导数的几何意义、导数在证明不等式中的应用 12困难选择题第 10题导数与函数的关系 5中等选择题第 11题导数与函数的关系 5中等2013 年卷解答题第 21题导数与函数的关系、导数在证明不等式中的应用 12困难选择题第 10题导数与函数最值的关系 5中等2012 年卷 解答题第 21题利用导数研究函数的单调性、导数在证明不等式中的应用12困难选择题第 10题导数在求函数单调性与最值中的应用 5中等2012 年卷 解答题
5、第 21题导数在求函数单调性与最值中的应用困难命题预测 本部分是高考重点考查内容，涉及的知识点多，综合性强，预计 2017 年的高考仍将突出导数的工具性，重点是利用导数研究函数的极值、最值及单调性等问题，其中蕴含对转化与化归、分类与讨论和数形结合等数学思想方程的考查，常与函数的单调性、方程的零点、不等式的证明及恒成立问题交汇命题，难度较大主要题型仍将有：（1）以小题形式考查导数与定积分的计算及其几何意义；（2）以大题的形式出现，考查导数在函数的应用中（单调性，极值与最值） 样 题 深 度 解 读考向 1 利用导数研究函数的单调性样题 1：已知函数 12xefaR（1）当 时，求函数 的单调区间
6、；32af（2）若函数 在 上为单调函数，求实数 的取值范围fx1, a【思路分析】 （1）求函数的导数 ，并且通分，分解因式化简，然后()fx解 和 的解集，从而求得函数 的单调区间 ；（2）若函0xfxf ()f数在 上为单调函数，所以分单调递增和单调递减两种情况讨论，若单调递,-增，转化为 在 上恒成立，然后利用基本不等式求得12xea,的最小值即可，若函数单调递减，转化为 在 上恒成12xe 12xea,立，根据（1）中结论可求得 的最大值12xe【解析】 的定义域为 ， ，fxxR12xefa（1） ，则 ，32a132xxxef e令 ，解得： ，令 ，解得：0fxln0或 0f，
7、0ln 的单调递增区间为 和 ，单调递减为 f ,l2,ln2（2）若 在 上单调递增，则 在fx1, 10xefa上恒成立， 在 上恒成立，1,2xea,1样题分析 1：本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性、不等式的解法，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力、等价转化能力、分类讨论的思想、转化的思想体现考试大纲对利用导数研究函数单调性的要求利用导数研究函数的单调性主要有两种题型：（1）求已知函数的单调区间，此类题必须注意：首先要求函数的定义域，然后通过解不等式或 确()0fx()fx定单调区间；（2）已知函数的单调性求相关的参数的取值范围，此类题解答时必须注意：（或 ）()0fx()0f
8、x是函数 递增（或递减）的充分条件而非必要条件令 同，则 ， ，xte1,te122xttA当且仅当 ， 时取“=” ，2t,t又 ， 时， ，1e1,x122xee ，2a若 在 上单调递减，则 在 上恒成fx1,102xefa1,立， 在 上恒成立，2xea,由式知， ，综上， 的取值范围1ea是 ,2,考向 2 导数与不等式恒成立问题样题 2：已知函数 211ln2fxaxa（1）若函数 在 处取得极值，求曲线 在点f yf处的切线方程；,f（2）讨论函数 的单调性；fx（3）设 ，若 对 恒成立，求实数2lngafxg1x的取值范围a【思路分析】 （1）先求导函数 ，然后利用由 求得的
9、值，即()f(2)0f为切线斜率，最后利用点斜式求解；（2）首先求 的根，然后讨论的x范围，确实导函数的符号，从而求出函数的单调区间；（3）首先通过分离参数得到一个新的不等式恒成立，然后根据此不等式的结构构造新函数，通过利用导数研究新函数的单调性求最小值，从而就可顺利求得的范围样题分析 2：本题属于难题主要考查利用导数求曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性及不等式恒成立问题，以及考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想、函数与方程的思想、转化的思想，体现考试大纲对导数研究函数的性质的知识要求与能力要求不等式恒成立问题常见方法：分离参数 ()afx恒成立（min即可）或(
10、)fx恒成立（【解析】 （1）由 1afx ， 20f，得 1a或2a（舍去） 经检验，当 时，函数 fx在 处取得极值，此时，lnfxx， 1f，则 2， 12f，所以所求的切线方式为 12yx，整理得 430xy（2） fx定义域为 0,，21af 22xa1=xa，令 0fx，得 或 12a，则 a，且 10当 时， 2， fx，此时 fx在 0,上单调递增；当 102a时， fx在 0,a和 1,上单调递增，在,1上单调递减；当 时， fx在 ,上单调递减， ,a上单调递增（3）由题意， 221lnlaxx，即 22llxx，即223lna对任意 1x恒成立，令 2lnxh，则 2ln
11、1xh，令 0，得 e，即 在 ,e上单调递减， e,上单调递增，所以当 x时 hx取得最小值 h， 23ea，解得 12e12e66amax()f即可）；数形结合；讨论最值 in()0f或max恒成立；讨论参数.本题是利用方法求得的范围在利用分离参数处理不等式恒成立问题中，常常要根据不等式的结构特征构造一个新函数，然后再通过利用导数研究函数的单调性来求其最值又 12a，所以的取值范围为 12e,6考向 3 定积分及其应用样题 3：已知函数 的图象如图所示，它与直32(),fxabxR（ ）线 在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积0y为 ，则的值为_274【思路分析】首
12、先求出函数 的导函数 ，然后根据其几何意义及()fx()fx图象过特殊点确定出 的值，再利用定积分求得图象阴影部分的面积，最后,ab通过建立简单方程可求得的值【解析】因为 ，于是由题意，知 ，所2()3fxxb(0)fb以 ，又由 ，易知 ，a()0fxa或 ，所以 3243401127()(axdxa 3样题分析 3：本题是以三次函数为载体考查导数的计算、几何意义、定积分及几何意义的应用，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力、图象的识别能力，体现考试大纲对定积分的考查要求求解由曲线与定直线围成的曲线梯形的面积问题主要是利用定积分的几何意义来求解，但须注意定积分的值与面积间的关系，同时注意确定被
13、函数与积分的上下限押题：设函数 2lnfxbax（1）当 时，求 的单调区间；5,1af（2）若对任意 ，都存在 （为自然对数的底数） ，使得3,221,xe成立，求实数的取值范围0fx【解析】 （1）当 时， ，其定义域为 ，5,ab25lnfxx0,，2414xfx 由 ，得 ，由 ，得 或 0fx514x0fx154x因为定义域为 ，所以 的递减区间为 ， 的递增区间为,f,f5,4，所以 在 上单调递增，所以280,1xxex21,e，12a当 时， ，即 ，所以 在 上单调递增，所以x0hxhx2,e，不符合题意0hx当 时， ，2a2421,aeea若 ，即 时， ，即 ，e410x0hx在 上单调递减，又 ，所以存在 ，使得 ，hx2, 0h20,e若 ，即 时，在 上存在实数 ，使得 ，即0e42ae2,m时， ，所以 在 上单调递减，所以 ，使1,xm,xx101,x得 0h综上所述，当 时，对任意 ，存在 ，使得 成立2a3,2b2,xefx
