1、第五章 数列第 6 课时 数列的综合应用(对应学生用书(文)、(理)82 83 页)考情分析 考点新知灵活运用等差数列、等比数列公式与性质解决一些综合性问题掌握一些简单的递推数列、子数列问题的处理方法及一些数列证明题的证明方法.1. 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn(万件)近似地满足关系式 Sn (21nn 25)(n1，2，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过 1.5 万件的月份是n90_答案：7、8解析：由 Sn 解出 an (n 215n9) ，130再解不等式 (n 215n9)1.5 ，得 6an n2 时，a nan1 ，所以ana
2、n1 1 ana m(nm)，(m16 时，n 取偶数时， 1 ，bnan n 15n 16 1n 16当 n18 时， ，无最小值；(bnan) max 32n 取奇数时， 1 ，bnan 1n 16n17 时， 2，无最大值(bnan) min() 当 n15 时，b n(1) n(n15)，a 2k1 b2k1 a 2kb2k2(2k16)0，其中 a15b15a 16b160， S16S 14，m7，n8.题型 2 递推数列问题例 2 (2013广东)设数列a n的前 n 项和为 Sn.已知 a11 ， a n1 n2n ，nN *.2Snn 13 23(1) 求 a2 的值；(2)
3、求数列a n的通项公式；(3) 证明：对一切正整数 n，有 (n1)(n1)， 0，S nn 2n. 于是 a1S 12，n2 时，a nS nS n1 n 2n(n 1) 2(n 1)2n. 综上，数列a n的通项 an2n. (2) 证明：由于 an2n，b n ， 则 bn . n 14n2（n 2）2 1161n2 1（n 2）2Tn 1 116 132 122 142 132 152 1（n 1）2 1（n 1）2 1n2 1（n 2）2 a1a2an 的最大正整12数 n 的值为_答案：12解析：根据条件求得 an2 n6 ，则不等式化为 2n12 (*)，n ，解得n2 11n
4、102n2 11n 102n ，即 1n12，将 n13 代入(*)式检验，经检验不成立，故最大正整数 n 的值为13 1292 13 129212.1. (2013徐州模拟)在数列a n中，已知 a12，a 23，当 n2 时，a n1 是 anan1 的个位数，则 a2 010_答案：4解析：由题意得，a 3a 1a26，定义 f(x)x 的个位数，则 a4f(a 3a2)8，依此类推，a58，a 64，a 72，a 88，a 96，a 108，到此为止，看出一个周期， a9a 3，a 10a 4，周期为 6，因为前 2 项不符合周期，所以 2 01022 008，2 00863344，所
5、以 a2 010a 64.2. (2013扬州模拟)已知数列 an满足 a1a 2a nn 2(nN *)(1) 求数列a n的通项公式；(2) 对任意给定的 kN *，是否存在 p，rN *(kpr)使 ， ， 成等差数列？若存在，用 k 分别表1ak 1ap 1ar示 p 和 r(只要写出一组)；若不存在，请说明理由解：(1) 当 n1 时，a 11；当 n2，nN *时，a 1a 2a n1 (n1) 2，所以 ann 2(n1)22n1；综上所述，a n2n1(nN *)(2) 当 k1 时，若存在 p，r 使 ， ， 成等差数列，则 .因为 p2，所以 ar0 与1ak 1ap 1a
6、r 1ar 2ap 1ak 3 2p2p 1数列a n为正数相矛盾，因此，当 k1 时不存在；当 k2 时，设 akx，a py，a rz ，则 ，所以 z .令 y2x1，得 zxyx(2x1)，1x 1z 2y xy2x y此时 akx2k 1，a py 2x12(2k1)1，所以 p2k1，a rz(2k1)(4k 3)2(4k 25k2)1，所以 r4k 25k2.综上所述，当 k1 时，不存在 p，r；当 k2 时，存在 p2k1，r 4k 25k2 满足题设3. 设不等式组 所表示的平面区域为 Dn，记 Dn 内的整点个数为 an(nN *)(整点即横坐x 0，y 0，y nx 3
7、n)标和纵坐标均为整数的点)(1) 求数列a n的通项公式；(2) 记数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Tn .若对于一切的正整数 n，总有 Tnm，求实数 mSn32n 1的取值范围解：(1) 由 x0，y0，3nnx0，得 0x3. x1，或 x2. D n 内的整点在直线 x1 和 x2 上记直线 ynx3n 为 l，l 与直线 x1、x2 的交点的纵坐标分别为 y1，y 2.则 y1n3n2n，y 22n3nn. a n3n(nN *)(2) S n3(123n) ，3n（n 1）2 T n ，n（n 1）2n T n1 T n ，（n 1）（n 2）2n 1 n（n 1）2n （
8、n 1）（2 n）2n 1 当 n3 时，T nT n1 ，且 T11T 2T 3 .32于是 T2，T 3 是数列T n中的最大项，故 m .324. (2013徐州模拟)已知数列a n，其前 n 项和为 Sn.(1) 若对任意的 nN，a 2n1 ，a 2n1 ，a 2n 组成公差为 4 的等差数列，且 a11， 2 013，求 n 的S2n2n值；(2) 若数列 是公比为 q(q1) 的等比数列，a 为常数，求证：数列 an为等比数列的充要条Snan a件为 q1 .1a(1) 解：因为 a2n1 ，a 2n1 ，a 2n 组成公差为 4 的等差数列，所以 a2n1 a 2n1 4，a
9、2na 2n1 8(nN *)，所以 a1，a 3，a 5，a 2n1 ，a 2n1 是公差为 4 的等差数列，且a2a 4a 6 a 2na 1a 3 a 2n1 8n.又因为 a11，所以 S2n2(a 1a 3a 2n1 )8n2 8n4n 26n2n(2n3) ，n n（n 1）2 4所以 2n32 013，所以 n1 005.S2n2n(2) 证明：因为 a(a 1)q n1 ，所以 Sn(a1)q n1 anaa n，Snan所以 Sn1 (a1)q nan1 aa n1 ，得(a 1)(1 q n)an1 a(a1)q n1 an.() 充分性：因为 q1 ，所以 a0，q1，a
10、 1aq，代入式，得1aq(1q n)an1 (1q n)an.因为 q1，q1，所以 ，nN *，所以a n为等比数列，an 1an 1q() 必要性：设a n的公比为 q0，则由得(a1)(1q n)q0a (a1)q n1 ，整理得(a 1)q 0a (a1) qn，(q0 1q)此式为关于 n 的恒等式，若 q1，则左边0，右边1，矛盾；若 q1，当且仅当 时成立，所以 q1 .（a 1）q0 a，（a 1）q0 （a 1）1q) 1a由()、() 可知，数列a n为等比数列的充要条件为 q1 .1a1. 数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度解决此类题目需对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟他在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等2. 在现实生活中，人口的增长，产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以用数列解决，由此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用数列知识解决问题 请使用课时训练(B)第 6 课时(见活页)备课札记
