1、第五章 数列第 5 课时 数列的简单应用(对应学生用书(文)、(理)79 81 页)考情分析 考点新知灵活运用等差数列、等比数列公式与性质解决一些综合性问题运用等差数列、等比数列公式与性质解决一些综合性问题.1. (必修 5P14 例 4 改编) 某剧场有 20 排座位，后一排比前一排多 2 个座位，最后一排有 60 个座位，这个剧场共有_个座位答案：8202. 从 2007 年 1 月 2 日起，每年 1 月 2 日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为 p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到 2013 年 1 月 1 日将所有存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数为
2、_万元答案： (1p) 7(1p)1p3. 某种细胞开始时有 2 个，1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个，2 小时后分裂成 6 个并死去 1 个，3 小时后分裂成 10 个并死去 1 个，按照此规律，6 小时后，细胞的存活数是_答案：654. 办公大楼共有 14 层，现每一层派一人集中到第 k 层开会，当这 14 位参加会议的人员上下楼梯所走路程的总和最小时，k_答案：7 或 8数列应用题常见模型(1) 银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为 a 元，每期利率为 r，存期为 x，则本利和 ya(1 rx)(2) 银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为 a 元，每期利率为 r，存期
3、为 x，则本利和 ya(1 r) x(xN 且x1)(3) 产值模型原来产值的基础数为 N，平均增长率为 p，对于时间 x 的总产值 yN(1 p) x(xN 且 x1)(4)分期付款模型设某商品一次性付款的金额为 a 元，以分期付款的形式等额地分成 n 次付清，每期期末所付款是 x元，每期利率为 r，则 x (nN 且 n1)ar（1 r）n（1 r）n 1备课札记题型 1 以等差数列为模型的实际问题例 1 某化工企业 2007 年底投入 100 万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是 0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 2 万元，由于设备老化，以后每年的维
4、护费都比上一年增加 2 万元(1) 求该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用 y(万元)；(2) 为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？解：(1) y ，100 0.5x （2 4 6 2x）x即 yx 1.5(x0)100x(2) 由均值不等式得yx 1.52 1.521.5，100x x100x当且仅当 x ，即 x10 时取到等号，100x故该企业 10 年后需要重新更换新设备变 式 训 练(2013江西文)某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植树的棵树是前一天的 2 倍，则需要的最少天数 n(nN *)为_答案
5、：6解析：S n 2 n1 2100，n6.2（1 2n）1 2题型 2 以等比数列为模型的实际问题例 2 水土流失是我国西部大开发中最突出的问题，全国 9 100 万亩坡度为 25以上的坡耕地需退耕还林，其中西部占 70%，2002 年国家确定在西部地区退耕还林面积为 515 万亩，以后每年退耕土地面积递增 12%.(1) 试问，从 2002 年起到哪一年西部地区基本上解决退耕还林问题？(2) 为支持退耕还林工作，国家财政补助农民每亩 300 斤粮食，每斤粮食按 0.7 元计算，并且每亩退耕地每年补助 20 元，试问到西部地区基本解决退耕还林问题时，国家财政共需支付约多少亿元？解：(1) 设
6、 2002 年起经 x 年西部地区基本上解决退耕还林问题依题意，得515515(112%) 515 (112%) 2515(1 12%) x1 9 10070%，即51511.121.12 21.12 x1 6 370， ，1 1.12x 11.121 1.12 6 370515 1 274103 1.12x 10.12 1 274103整理得 1.12x2.484 3 xlog 1.122.484 3 8.03.lg2.484 3lg1.12 0.359 20.049 2又 xN，故从 2002 年起到 2009 年年底西部地区基本解决退耕还林问题(2) 设到西部地区基本解决退耕还林问题时国
7、家共需支付 y 亿元首批退耕地国家应支付：51510 4(3000.720) 8，第二批退耕地国家应支付：51510 4(120%) (3000.720)7，第三批退耕地国家应支付：51510 4(120%) (3000.720)6，最后一批退耕地国家应支付：51510 4(120%) 7(3000.720)1.y ，515104（3000.7 20）（8 71.12 61.122 11.127）108令 S871.1261.12 211.12 7，112S81.1271.12 261.12 311.12 8，得 0.12S8(1.12 1.12 21.12 31.12 7)11.12 8，即
8、 0.12S81.12 1.1281.121 1.128 8 ，1.129 1.120.12 2.773 1.120.12解得 S48.1，故 y(51510 423048.1)108569.7 亿元故到西部地区基本解决退耕还林问题国家共需支付约 570 亿元备 选 变 式 （教 师 专 享 ）设 C1、C 2、C n、是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线 y x33相切，对每一个正整数 n，圆 Cn 都与圆 Cn1 相互外切，以 rn 表示 Cn 的半径，已知r n为递增数列(1) 证明：r n为等比数列；(2) 设 r11，求数列 的前 n 项和. nrn(1) 证
9、明：将直线 y x 的倾斜角记为 ，则有 tan ，sin .33 33 12设 Cn 的圆心为( n，0) ，则由题意得 ，得 n2r n；同理 n1 2r n1 ，从而rnn 12n1 nr nr n1 2r n1 ，将 n2r n 代入，解得 rn1 3r n，故r n为公比 q3 的等比数列(2) 解：由于 rn1，q3，故 rn3 n1 ，从而 n3 1n ，nrn记 Sn ，则有1r1 2r2 nrnSn123 1 33 2 n3 1n ，13 1 23 2 (n 1)3 1n n3 n ，Sn3，得13 1 3 2 3 1n n3 n2Sn3 n3 n 3n ，1 3 n23 3
10、2 (n 32)S n 31n .94 12(n 32) 9 （2n 3）31 n4题型 3 数列中的综合问题例 3 已知各项均为正数的等比数列a n的公比为 q，且 0q .12(1) 在数列a n中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；(2) 若 a11，且对任意正整数 k，a k(a k1 a k2 )仍是该数列中的某一项() 求公比 q；() 若 bnloga n1 ( 1)，S nb 1b 2b n，T rS 1S 2S n，试用 S2 011 表示 T2 011.2解：(1) 由条件知 ana 1qn1 ，0q ，a 10，所以数列 an是递减数列若有 ak，a m，a n(km
11、n)成12等差数列，则中项不可能是 ak(最大) ，也不可能是 an(最小) ，若 2ama ka n 2qmk 1q nk ，(*)由 2qmk 2q1，1q hk 1，知(*)式不成立，故 ak，a m，a n 不可能成等差数列(2) () (解法 1)aka k1 a k2 a 1qk1 (1qq 2)a 1qk1 ， (q 12)2 54由 ，知 aka k1 a k2 a ka k1 ，(q 12)2 54 (14，1)且 aka k1 a k2 a k2 a k3 ，所以 aka k1 a k2 a k1 ，即 q22q10，所以 q 1.2(解法 2)设 aka k1 a k2
12、a m，则 1qq 2q mk ，由 1qq 2 知 mk1，即 mk1，(14，1)以下同解法 1.() b n ，1n(解法 1)Sn1 ，12 13 1nTn1 (1 )(1 12) (1 12 13) 12 13 1nn n 12 n 23 n （n 1）nn(1 )( )12 13 1n 12 23 34 n 1nnS n(1 )(1 )(1 )(1 )12 13 14 1nnS n （n 1） (12 13 1n)nS n n (1 12 13 1n)nS nnS n(n1)S nn，所以 T2 0112 012S 2 0112 011.(解法 2)Sn1 1 S n ，所以(n1
13、)S n1 (n 1)S n1，12 13 1n 1n 1 1n 1所以(n1)S n1 nS nS n1，2S2S 1S 1 1，3S32S 2S 2 1， (n1)S n1 nS nS n1，累加得(n1)S n1 S 1T nn，所以 Tn(n 1)S n1 1n (n1)S nn(n1)(S nb n)1n(n1) 1n(n1)S nn，(Sn 1n 1)所以 T2 0112 012S 2 0112 011.备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知等差数列a n满足：a n1 an(nN *)，a 11，该数列的前三项分别加上 1，1，3 后顺次成为等比数列b n的前三项(1) 分别求
14、数列a n、b n的通项公式；(2) 设 Tn (nN *)，若 Tn 0.由 a11，a 21d，a 31 2d，分别加上 1，1，3 有 b12，b 22d，b 342d.(2d) 22(4 2d)，d 24. d0， d2，q 2，b2b1 42 a n1(n 1)22n1 ，b n22 n1 2 n.(2) Tn ，a1b1 a2b2 anbn 12 322 523 2n 12nTn .12 122 323 524 2n 12n 1，得 Tn ，12 12 (12 122 123 12n 1) 2n 12n 1 T n1 3 3 .1 12n 11 12 2n 12n 12n 2 2n
15、 12n 2n 32n T n 3 a1a9，求 a1 的取值范围解：(1) 因为数列 的公差 d1，且 1，a 1，a 3 成等比数列，an所以 a 1(a 12)，21即 a a 120，解得 a1 1 或 a12.21(2) 因为数列 的公差 d 1，且 S5a1a9，an所以 5a110a 8a 1；21即 a 3a 1100)，因此，历年所交纳的储备金数目 a1，a 2， ，a n 是一个公差为 d 的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利这就是说，如果固定利率为 r(r0)，那么，在第 n 年末，第一年所交纳的储备金就变为 a1(1r) n1 ，第
16、二年所交纳的储备金就变为 a2(1r) n2 ，以 Tn 表示到第 n 年所累计的储备金总额(1) 写出 Tn 与 Tn1 (n2)的递推关系式；(2) 求证：T nA nB n，其中A n是一个等比数列，B n是一个等差数列(1) 解：由题意可得：T nT n1 (1r) a n(n2)(2) 证明：T 1a 1，对 n2 反复使用上述关系式，得TnT n1 (1r)a nT n2 (1r) 2a n1 (1r)a na 1(1r) n1 a 2(1r) n2 a n1 (1r)a n，在式两端同乘 1r，得(1r)T na 1(1 r)na 2(1r) n1 a n1 (1r) 2a n(
17、1r)，得 rTna 1(1r) nd(1r) n1 (1r) n2 (1 r) a n (1r) n1r a 1(1r) na n.dr即 Tn (1r) n n .a1r dr2 dr a1r dr2如果记 An (1r) n，B n n，则 TnA nB n.其中A n是以 (1r)为首项，以a1r dr2 a1r dr2 dr a1r dr21r(r0)为公比的等比数列；B n是以 为首项，以 为公差的等差数列a1r dr2 dr dr4. 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为 a 万元，由于经营方式不同，甲超市前 n 年的总销售额为 (n2n2)万元，乙超市第 n 年的销售
18、额比前一年销售额多 a 万元a2 (23)n 1 (1) 设甲、乙两超市第 n 年的销售额分别为 an、b n, 求 an、b n 的表达式；(2) 若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的 50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？解：(1) 假设甲超市前 n 年总销售额为 Sn，则 Sn (n2n2)(n 2)，因为 n1 时，a 1a，则 n2a2时，a nS nS n1 (n2n 2) (n1) 2(n1)2 a(n 1)，故 an 又a2 a2 a，n 1，（n 1）a，n 2.)b1a，n2 时， bnb n1 a，故 b
19、nb 1(b 2b 1)(b 3b 2)(b nb n1 )(23)n 1 a a a a a a a，23 (23)2 (23)n 1 1 23 (23)2 (23)n 1 1 (23)n 1 23 3 2(23)n 1 显然 n1 也适合，故 bn a(nN *)3 2(23)n 1 (2) 当 n 2 时，a 2a ，b 2 a，有 a2 b2；n3 时，a 32a，b 3 a，有 a3 b3；当 n4 时，35 12 199 12an3a，而 bnbn，12则 (n1)a a12 3 2(23)n 1 n164 .即 n74 .(23)n 1 (23)n 1 又当 n7 时，074 .(23)n 1 即第 7 年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购1. 深刻理解等差(比) 数列的性质，熟悉他们的推导过程是解题的关键，两类数列性质既有类似的的部分，又有区别，要在应用中加强记忆同时用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错2. 等比数列的前 n 项和公式要分 q1，q1 两种情况讨论，容易忽视3. 在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)，在解方程组时，仔细体会两种情形下解方程组的方法的不同之处请使用课时训练(A) 第 5 课时( 见活页)备课札记
