1、第二章 函数与导数第 10 课时 函数与方程(对应学生用书( 文)、(理)26 27 页)考情分析 考点新知 函数与方程中函数的零点及二分法在高考中必将有所考查. 以难度较低的填空题为主，考查函数的图象及根的存在性问题 了解二分法求方程近似解的方法，体会函数的零点与方程根之间的联系，形成用函数观点处理问题的能力. 会利用函数的图象求方程的解的个数以及研究一元二次方程的根的分布.1. (必修 1P43 练习 2 改编)若一次函数 f(x)axb 有一个零点 2，那么函数 g(x)bx 2ax 的零点是_答案：0、12解析：由题意可得，b2a 且 a0，由 g(x)2ax 2 ax0，得 x0 或
2、 x .122. (必修 1P111 复习 13 改编)已知函数 f(x)2 x3x，则函数 f(x)的零点个数_答案：2解析：(解法 1)令 f(x)0，则 2x3x，在同一坐标系中分别作出 y2 x 和 y3x 的图象，由图知函数y2 x 和 y3x 的图象有 2 个交点，所以函数 f(x)的零点个数为 2.(解法 2)由 f(0)0，f(1)0，所以有 2 个零点，分别在区间(0，1) 和(3，4)内3. (必修 1P96 练习 2 改编)方程 lgx2x 在区间(n，n1)(nZ)有解，则 n 的值为_答案：1解析：令 f(x) lgxx2，由 f(1)10 ，知 f(x)0 的根介于
3、 1 和 2 之间，即 n1.4. (必修 1P97 习题 8)若关于 x 的方程 7x2(m13)xm20 的一个根在区间(0，1)上，另一个在区间(1，2)上，则实数 m 的取值范围为 _答案：(4，2)解析：设 f(x) 7x2(m13)xm2，则 解得40，f（1）0，)5. (必修 1P96 练习 5 改编)若函数 f(x)x 3x 22x2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1) 2 f(1.5) 0.625 f(1.25) 0.984f(1.375) 0.260 f(1.4375) 0.162 f(1.40625)0.054那么方程 x3x 22x20
4、的一个近似根为_(精确到 0.1)答案：1.4解析：f(1.40625) 0.0540 且都接近 0，由二分法可知其根近似于 1.4.1. 函数零点的定义(1) 方程 f(x)0 的实数根又叫 yf(x)的零点(2) 方程 f(x)0 有实根 函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点 对函数 f(x)0 有零点2. 函数零点的判定如果函数 yf(x)在区间(a ，b)上的图象是一条不间断的曲线，且 f(a)f(b)0，则函数 yf(x)在区间上有零点，即存在 x0(a，b) ，使得 f(x0)0，这个 x0 也就是函数 f(x)0 的零点我们不妨把这一结论称为零点存在性定理3. 与零点的关系b
5、24ac 0 0 0)的图象与 x 轴的交点 两个交点 一个交点 无交点零点个数 2 1 04. 用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间(a，b)，验证 f(a)f(b)0，则令 ax 1 (此时零点 x0(x 1，b)；第四步，判断是否满足要求的条件，否则重复第二、三、四步备课札记题型 1 零点的求法及零点的个数例 1 (1) 求函数 f(x)x 32x 2x2 的零点；(2) 已知函数 f(x)ln(x1) ，试求函数的零点个数1x解：(1) f(x)x 32x 2x2x 2(x2) (x2)(x 2)(x1)(x1) 令 f(x)0，得 x1，2， 函数 f(x)的零点
6、是 1，1 ，2.(2) 令 f(x)0，即 ln(x1) ，在同一坐标系中画出 yln(x1)和 y 的图象，可知两个图象有两1x 1x个交点，所以 f(x)有两个零点备 选 变 式 （教 师 专 享 ）(1) 已知函数 f(x)x 2ax b 的两个零点是2 和 3，解不等式 bf(ax)0；(2) 已知 f(x)2 x，g(x)3x 2，试判断函数 yf(x)g(x)的零点个数解：(1)由题意，得 f (x2)(x3)x 2x6，(x)所以 a1，b6，所以不等式 bf(ax)0，即为 f(x)0， 0， a20，f（1） 4m 20，)解得 0，f（1） 4m 20， 0，0 12，m
7、 1 2或 m1 2， 10 时，求证：函数 f(x)在(0，) 内有且仅有一个零点；(3) 若函数 f(x)有四个不同的零点，求 a 的取值范围(1) 解：当 x0 时，由 f(x)0，得 2x 20，即 x(2x24x1)0，解得 x0 或xx 2x (舍负)； 2 62当 x0 且 x0 时，由 f(x)0，得 ax 20，即 ax22ax10.xx 2记 g(x)ax 22ax1，则函数 g(x)的图象是开口向上的抛物线又 g(0)10，由(2)知，当 a0 时，函数 f(x)在区间(0，) 内有且仅有一个零点；当 a0 时，g(x)ax 22ax 11，1a综上所述，a 的取值范围是
8、(1，) 备 选 变 式 （教 师 专 享 ）设 a 是实数，讨论关于 x 的方程 lg(x1)lg(3x)lg(ax)的实数解的个数解：原方程等价于方程组 即 在同一坐标系下作直线 ya 与10，所以根据根的存在定理可知在区间 (0，1)内函数的零点个数为 1个2. 若关于 x 的方程 kx 2 有四个不同的实数根，则实数 k 的取值范围是_|x|x 1答案：k0， x（x 1），x0，g(14) 146460(bR) 恒成立于是 (4a) 216a0，解得 0a1，故当 bR，f(x) 恒有两个相异的不动点时，0a1.1. 一元二次方程根的分布问题通常有两种解法：一是方程思想，利用根与系数的关系；二是函数思想，构造二次函数利用其图象分析，但要重视条件的严谨2. 涉及函数零点的问题，通常有三种转化：一是用零点的定义转化为方程问题；二是利用零点存在性定理转化为函数问题；三是利用数形结合思想转化为函数图象问题请使用课时训练(A) 第 10 课时( 见活页)备课札记
