1、第四章 平面向量与复数第 2 课时 平面向量的基本定理及坐标表示(对应学生用书( 文)、(理)6364 页)考情分析 考点新知 了解平面向量的基本定理及其意义. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件能正确用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算，以及熟练掌握用坐标表示的平面向量共线的条件.1. (必修 4P75 习题 2.3 第 3 题改编)若向量 a(2 ，3)，b(x，9) ，且 a b，则实数x_答案：6解析：a b，所以 2(9)3x0，解得 x6.2. (必修 4P75 习题 2.3 第 2 题改编)若向量 (2
2、，3)， (4，7) ，则BA CA _ BC 答案：(2，4)解析： ( 2，4)BC BA AC BA CA 3. (必修 4P74 例 5 改编)已知向量 a( 1，2)，b(2，0)，若向量 ab 与向量c(1， 2)共线，则实数 _答案：1解析：ab(2，2)， 向量 ab 与向量 c(1，2)共线， (2)(2)21，解得 1.4. (必修 4P75 习题 2.3 第 5 题改编)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，2)，B(1，2)，C(3，1) ，且 2 ，则顶点 D 的坐标为_BC AD 答案： (2，72)解析：设 D(x， y)，则由 2 ，BC AD 得(4，3)
3、2(x ，y2)，得 2x 4，2（y 2） 3，)解得 x 2，y 72.)5. 已知 e1 与 e2 是两个不共线向量， 3e 12e 2， 2e 15e 2， e 1e 2.若三AB CB CD 点 A、B 、D 共线，则 _答案：8解析： A、B、D 共线， 与 共线， 存在实数 ，使 . AB BD AB BD ( 2)e 14e 2， 3e 12e 2(2)e 1 4e2，BD CD CB （ 2） 3，4 2， ) 12， 8.)1. 平面向量基本定理如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1、 2，使得 a 1e1
4、2e2我们把不共线的向量 e1、e 2 叫做表示这个平面内所有向量的一组基底如果作为基底的两个基向量互相垂直，则称其为正交基底，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2. 平面向量的直角坐标运算(1) 已知点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 (x 2x 1，y 2y 1)，| |AB AB .（x2 x1）2 （y2 y1）2(2) 已知 a(x 1，y 1)，b(x 2，y 2)，则 ab(x 1x 2，y 1y 2)，ab(x 1x 2，y 1y 2)，a(x 1， y1)ab x1y2x 2y10.备课札记题型 1 向量的坐标运算例 1 已知 A( 2，4)
5、 、B(3， 1)、C(3，4) 且 3 ， 2 ，求点CM CA CN CB M、N 及 的坐标MN 解： A( 2， 4)、B(3，1)、C(3，4) ， (1，8)， (6，3) ， 3 (3 ，24)， 2 (12，6) 设CA CB CM CA CN CB M(x，y)，则有 (x3， y4)，CM M 点的坐标为(0，20)同理可求得 N 点的坐标为(9，2)，x 3 3，y 4 24，) x 0，y 20，)因此 (9，18)故所求点 M、N 的坐标分别为(0， 20)、(9，2)， 的坐标为MN MN (9，18)备 选 变 式 （教 师 专 享 ）在平行四边形 ABCD 中，
6、AC 为一条对角线，若 (2 ，4)， (1 ，3)，则AB AC _BD 答案：(3，5)解析：由题意，得 ( ) 2 (1 ，3)BD AD AB BC AB AC AB AB AC AB 2(2， 4)( 3，5)题型 2 向量共线的条件例 2 已知向量 a(2，1)，b(1，m)，c(1，2)，若(ab)c，求 m 的值解：ab(1，m1)，c(1，2) (ab) c， ， m1.1 1 m 12变 式 训 练已知向量 a(6，2)，b( 3，k) ，若 ab，求实数 k 的值解：(解法 1) ab， 存在实数 ，使 b a， (3，k) (6，2)， k1. 6 3，2 k，)(解法
7、 2) ab， ， k1. 36 k2题型 3 平面向量基本定理例 3 如图，已知ABC 的面积为 14，D、E 分别为边 AB、BC 上的点，且ADDB BEEC21，AE 与 CD 交于 P.设存在 和 使 ， ， a， b.AP AE PD CD AB BC (1) 求 及 ；(2) 用 a、b 表示 ；BP (3) 求PAC 的面积解：(1) 由于 a， b，则 a b， ab.AB BC AE 23 DC 13 ， ，AP AE (a 23b) DP DC (13a b) ，即 a( ab) .AP AD DP 23AB DP 23 13 (a 23b)解得 ， . 23 13， 2
8、3，) 67 47(2) a a b.BP BA AP 67(a 23b) 17 47(3) 设ABC、PAB、PBC 的高分别为 h、h 1、h 2，h1h| | | ，S PAB SABC 8.PD CD 47 47h2h| | |1 ，S PBC SABC 2，PE AE 17 17 SPAC 4.备 选 变 式 （教 师 专 享 ）如图所示，在ABC 中，H 为 BC 上异于 B、C 的任一点，M 为 AH 的中点，若 ，则 _AM AB AC 答案：12解析：由 B、H、C 三点共线，可令 x (1x) ，又 M 是 AH 的中点，所以AH AB AC x (1x) .AM 12AH
9、 12AB 12 AC 又 ，所以 x (1x) .AM AB AC 12 12 121. 在ABC 中，已知 a、b、c 分别为内角 A、B、C 所对的边，S 为ABC 的面积若向量 p(4，a 2b 2c 2)，q(1 ，S)满足 p q，则 C_答案：4解析：由 p(4，a 2b 2c 2)，q(1 ，S)且 pq，得 4Sa 2b 2c 2，即2abcosC4S2absinC，所以 tanC1.又 0C，所以 C .42. 在ABC 中，a 、b、c 分别是A、B、C 所对的边，且3a 4b 5c 0，则 abc_BC CA AB 答案：201512解析： 3a 4b 5c 0， 3a
10、( )4b 5c 0， BC CA AB BA AC CA AB (3a5c) (3a4b) 0.BA AC 在ABC 中， 、 不共线， 解得BA AC 3a 5c，3a 4b，) c 35a，b 34a.) abca a a201512.34 353. (2013北京文)向量 a、b、c 在正方形网格中的位置如图所示若c a b(、 R)，则 _答案：4解析：以向量 a、b 的交点为原点作直角坐标系，则 a(1，1) ，b(6，2)，c( 1 ，3)，根据 c ab(1，1) (6，2) 则 6 1， 2 3，) 2， 12，)4.4. 在ABC 中，过中线 AD 中点 E 任作一条直线分
11、别交边 AB、AC 于 M、N 两点，设 x ， y (xy0) ，则 4xy 的最小值是_AM AB AN AC 答案：94解析：因为 D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，所以 ( )又 AE 12AD 14AB AC AB ， ，所以 .1xAM AC 1yAN AE 14xAM 14yAN 因为 M、E、N 三点共线，所以 1，所以14x 14y4xy(4xy) (14x 14y) 14(5 4xy yx)14(5 24xyyx) .941. 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若 x y ，则AD AB AC x_，y_答案：1 32 32解析：(解法 1)以 AB 所在直
12、线为 x 轴，以 A 为原点建立平面直角坐标系(如图)令 AB2，则 (2，0)， (0，2) ，过 D 作 DFAB 交 AB 的延长线为 F，由已AB AC 知得 DFBF ，则 (2 ， ) x y ，(2 ， )(2x，2y)3 AD 3 3 AD AB AC 3 3即有x 1 32，y 32. )(解法 2)过 D 点作 DF AB 交 AB 的延长线为 F.由已知可求得BFDF AB， ，32 AD AF FD (1 32)AB 32AC 所以 x1 ，y .32 322. 已知点 A(2， 3)，B(5，4)，C(7，10) ，若 (R)，试问：AP AB AC (1) 为何值时
13、，点 P 在第一、三象限角平分线上；(2) 为何值时，点 P 在第三象限解：设点 P 的坐标为(x，y)，则 (x ，y)(2，3) (x2，y3)，AP (5，4)(2 ，3) (7，10)(2，3) (35，17) 由 ，得AB AC AP AB AC 点 P 坐标为(5 5 ，4 7)x 2 3 5，y 3 1 7) x 5 5，y 4 7，)(1) 若点 P 在第一、三象限角平分线上，则 5547 ， .12(2) 若点 P 在第三象限内，则 550 且 470， 1.3. 如图，ABC 中，在 AC 上取一点 N，使得 AN AC，在 AB 上取一点 M，使得13AM AB，在 BN
14、 的延长线上取点 P，使得 NP BN，在 CM 的延长线上取点 Q，使得13 12 时， ，试确定 的值MQ CM AP QA 解： ( )AP NP NA 12BN CN ( ) ，12BN NC 12BC ，QA MA MQ 12BM MC 又 ， ，AP QA 12BM MC 12BC 即 ， .MC 12MC 124. 如图，ABC 中，D 为 BC 的中点，G 为 AD 的中点，过点 G 任作一直线 MN 分别交 AB、AC 于 M、N 两点若 x ， y ，求 的值AM AB AN AC 1x 1y解：设 a， b，则 xa， yb，AB AC AM AN ( ) (ab) AG
15、 12AD 14AB AC 14 (ab)xa a b，MG AG AM 14 (14 x) 14 ybxaxayb.MN AN AM 与 共线，存在实数 ，使 .MG MN MG MN a b(xayb)xayb.(14 x) 14a 与 b 不共线，14 x x，14 y， )消去 ，得 4.1x 1y1. 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的2. 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标3. 向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值请使用课时训练(B)第 2 课时(见活页)备课札记
