1、第二章 函数与导数第 2 课时 函数的定义域和值域(对应学生用书( 文)、(理)910 页)考情分析 考点新知 函数的定义域是研究一切函数的源头，求各种类型函数的定义域是高考中每年必考的试题. 函数的值域和最值问题也是高考的必考内容，一般不会对值域和最值问题单独命题，主要是结合其他知识综合考查，特别是应用题；再就是求变量的取值范围，主要是考查求值域和最值的基本方法 会求简单函数的定义域. 掌握求函数值域与最值的常用方法. 能运用求值域与最值的常用方法解决实际问题.1. (必修 1P27 练习 6 改编)函数 f(x) 的定义域为_x 112 x答案：x|x1 且 x22. (必修 1P27 练
2、习 7 改编)函数 f(x)(x 1) 21，x1，0，1，2，3 的值域是_答案：1，0，3解析：f(1) f(3)3，f(0)f(2)0，f(1) 1，则所求函数 f(x)的值域为1 ，0，33. (必修 1P31 习题 3 改编)函数 f(x) 的值域为_2x5x 1答案： y|y 25解析：由题可得 f(x) . 5x10， f(x) ， 值域为2x5x 1 25 25（5x 1） 25.y|y 254. (原创) 下列四组函数中的 f(x)与 g(x)表示同一函数的有_(填序号) f(x) x0，g(x) ；1x f(x) ，g(x) ；xx x f(x) x2，g(x)( )4；x
3、 f(x) |x|，g(x) x， x 0， x， x0 时，值域为 ，) ；当 a0 且 a1)的值域是(0 ，) ylog ax(a0 且 a1)的值域是 R ysinx，ycosx 的值域是1，1 ytanx 的值域是 R3. 最大(小) 值一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：(1) 对于任意的 xI，都有 f(x)M(f(x)M) ；(2) 存在 x0I，使得 f(x0)M ，那么称 M 是函数 yf(x)的最大(小) 值备课札记题型 1 求函数的定义域例 1 求下列函数的定义域：(1) y lg(3x1)；12 |x|(2) y .4 x2ln（x 1）解
4、：(1)由 2 |x| 0，3x 10 ) x 2且 x 2，x 13， )解得 x 且 x2，13所求函数的定义域为 .x|x 13且 x 2)(2) 由 ln（x 1） 0，4 x2 0 ) x 1且 x 0， 2 x 2，)解得10，) x 1，x1)x2 4x 5x 1解：(1) (换元法)设 t，t 0，则 y (t22) t 2 ，当 t 时，y 有3x 213 13(t 32) 112 32最小值 ，故所求函数的值域为 .112 112， )(2) (配方法 )配方，得 y(x 1) 24，因为 x(1，4，结合图象知，所求函数的值域为 4，5 (3) (解法 1)由 y 2 ，
5、结合图象知，函数在3，5 上是增函数，所以2x 1x 1 3x 1ymax ，y min ，故所求函数的值域是 .32 54 54，32(解法 2)由 y ，得 x .2x 1x 1 1 y2 y因为 x3，5，所以 3 5，解得 y ，1 y2 y 54 32即所求函数的值域是 .54，32(4) (基本不等式法)令 tx1 ，则 xt 1(t0)，所以 y t 2(t0)（t 1）2 4（t 1） 5t t2 2t 2t 2t因为 t 2 2 ，当且仅当 t ，即 x 1 时，等号成立，2t t2t 2 2 2故所求函数的值域为2 2，)2备 选 变 式 （教 师 专 享 ）求下列函数的值
6、域：(1) f(x) ；1 x x 3(2) g(x) ；x2 9x2 7x 12(3) ylog 3xlog x31.解：(1) 由 解得 3x1.1 x 0，x 3 0，) f 的定义域是 .(x) 1 x x 3 3，1 y0， y 242 ，(1 x)(x 3)即 y242 . (x 1)2 4( 3 x 1)令 t 4 .(x) (x 1)2 ( 3 x 1) x ，由 t 0 ，t 4，t 0， 3，1 ( 3) ( 1) (1) 0t4，从而 y2 ，即 y ，4，8 2，22 函数 f 的值域是 .(x) 2，22(2) g 1 .(x)x2 9x2 7x 12 (x 3)(x
7、 3)(x 3)(x 4) x 3x 4 7x 4(x 3且 x 4) x3 且 x4， g 1 且 g 6.(x) (x) 函数 g 的值域是 .(x) ( ， 6) ( 6，1) (1， )(3) 函数的定义域为x|x0 且 x1当 x1 时，log 3x0，ylog 3xlog x312 11；log3xlogx3当 01)(1) 求函数 f(x)的值域；(2) 若 x2 ，1时，函数 f(x)的最小值是7，求 a 的值及函数 f(x)的最大值解：(1) 由题意，知 f(x)2(1a x)2，因为 ax0，所以 f(x)1，所以当 x2，1时，a 2 a xa，于是 fmin(x)2(a
8、1) 27，所以 a2，此时，函数 f(x)的最大值为 2(2 2 1) 2 .7161. (2013大纲) 已知函数 f(x)的定义域为( 1，0)，则函数 f(2x1) 的定义域为_答案： ( 1， 12)解析：由10，)3. (2013北京)函数 f(x) 的值域为_log 12x， x 1，2x， xb0，且 f(a)f(b)，则x 2， 0 x1，2x 12， x 1， )bf(a)的取值范围是_答案： 54，3)解析：画出分段函数的图象，从图象可知， b1，1alog 2 ，f(a) f(b)，得 bf(a)12 52bf(b) b(b2)(b1) 21 在 上单调增，故 bf(a
9、)的取值范围是 .12，1) 54，3)1. 设函数 g(x)x 22(xR) ，f(x) 则 f(x)的值域是_g（x） x 4， x g（x），g（x） x， x g（x）， )答案： (2 ，) 94，0解析：由题意 f(x) x2 x 2，x g（x），x2 x 2，x g（x）) 下面分段求值域，再取并集x2 x 2，x（ ， 1） （2， ），x2 x 2，x g（x），x（ 1，2）， )2. 已知二次函数 f(x)ax 2xc(x R )的值域为0 ，)，则 的最小值为c 2a a 2c_答案：10解析：由二次函数的值域是0，) ，可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为
10、 0，因此有 a0， 0，从而 c 0.又4ac 14a 14a 24210，当且仅当 即 a 时取等号，c 2a a 2c (2a 8a) ( 14a2 4a2) 2a 8a，14a2 4a2，) 12故所求的最小值为 10.3. 已知函数 f(x)log (|x|3)的定义域是a，b(a、bZ)，值域是1，0 ，则满足13条件的整数对(a，b)有_ 对答案：5解析：由 f(x) log (|x|3)的值域是 1，0，易知 t(x)|x|的值域是0 ，2，13 定义域是a，b(a、bZ )， 符合条件的(a，b)有(2，0)，( 2，1)，( 2，2)，(0，2)，(1，2) 共 5 个4.
11、 已知二次函数 f(x)ax 2bx(a、b 为常数，且 a0) 满足条件：f(x 1)f(3x) ，且方程 f(x)2x 有等根(1) 求 f(x)的解析式；(2) 是否存在实数 m、n(m n) ，使 f(x)定义域和值域分别为m，n和4m，4n ？如果存在，求出 m、n 的值；如果不存在，说明理由解：(1) f(x)x 22x.(2) 由 f(x)x 22x(x 1)21，知 fmax(x)1， 4n1，即 n 1.14故 f(x)在 m，n上为增函数， 解得f（m） 4m，f（n） 4n，) m 1，n 0，) 存在 m1，n0，满足条件1. 函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础，因此，我们一定要树立函数定义域优先意识2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用3. 求函数值域的常用方法有：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法、导数法等，理论上一切函数求值域或最值均可考虑“导数法” ，但在具体的解题中要与初等方法密切配合请 使 用 课 时 训 练 （A）第 2课 时 （见 活 页 ）.备课札记
