1、教 学 设 计1 函数与方程利用函数性质判定方程解的存在教学内容分析此节内容为北师大版本必修 1 的第四章函数应用第一课时 4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在。函数是高中的起始课程，函数的重要性有两方面，一是函数的思想价值，二是函数应用的价值。本节内容就是函数应用价值的体现，利用函数和其他数学知识的有机联系，从函数特征判定方程解的存在性。学情分析 函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与方程有着紧密的联系函数是特殊的方程，可以看成一个方程，因此，函数问题可转化为方程问题来解决本节课就是以探究具体的一元二次方程和根与其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，
2、其意图是让学生从熟悉的情境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系，以立旧创新的学习思路来学习新知识，新方法，新思想本节设计特点是由特殊转到一般，由易到难，由旧创新的探究规律运用“数形结合”思想和“转化”思想充分发挥函数图像及其性质的应用三维目标 1让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点2通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界3通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性， “数学思想方法”的科学性，体会这些给他们带
3、来的快乐教学重点难点1.重点：零点的理解；利用函数性质判定方程解的存在性。2.难点：构造函数，结合函数图像性质判断方程根的个数。课时安排 1 课时教 学 过 程一，导入新 课 思路 1.(问题导入)问题 1：一元一次方程 x 1=0 的解和相应的一次函数y=x1 的 图 像与 x 轴交点坐标有何关系？学生回答：x 1=0 的解和相应的一次函数 y=x 1 的 图 像与 x 轴交点坐标相同。提问：方程 x 1=0 的解为 x=1求 y=x 1 的 图 像与 x 轴交点坐标时，另 y=0 即 x 1=0 解的 x=1分析：对于函数 y=x-1,另 y=0 即 x 1=0对于方程 x-1=0,左边可
4、看作函数 y=x-1,右边可看作函数 y=0问题 2，一元二次方程 x 23x+2=0 的解和相应的二次函数y= x23x+2 的 图 像与 x 轴交点坐标有何关系？学生回答：x 23x+2=0 的解和相应的二次函数 y=x23x+2 的 图 像与 x 轴交点坐标相同。提问：方程 x 23x+2 =0 的解为 x=1 和 x=2求 y=x23x+2 的 图 像与 x 轴交点坐标时，另 y=0 即x23x+2=0 解的 x=1 和 x=2分析：对于函数 y=x23x+2,另 y=0 即 x23x+2=0对于方程 x23x+2=0,左边可看作函数 y=x23x+2 右边可看作函数 y=0归纳：以上
5、两个问题都是有关函数与 x 轴交点的横坐标问题，对于方程这个横坐标可称为方程的解或方程的根，那么对于函数我们又怎样称呼呢?如果称为函数与 x 轴的交点的横坐标，那么比较繁琐，我们今天给它一个新叫法-零点2，新课教学1，零点概念函数 y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点 归纳: （1）函数的零点是实数，零点不是点。（2）如果函数有零点，则零点一定在定义域内。（3）并不是所有的函数都有零点，比如。思考：函数 y=f(x)有零点 ， 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点 ，方程 f(x)= 0 有实数根这三个之间的关系是怎样的？结论： 函数 y=f(x)有零点 函数 y=f(
6、x)的图象与 x 轴有交点 方程 f(x)= 0 有实数根2，函数零点存在性定理如果函数 y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即 f(a)f(b)0,所以 f(x)在区间(-1,2)内没有零点.C.对于函数 f(x)=x3-3x2+3x-1,因为 f(0)f(2)0，函数y=f(x)在区间 (a,b)内也可能有零点（3）函数零点存在性定理只能判断零点的存在性，不能判断零点的个数。单调函数的零点只有一个。（4）函数零点存在性定理不可逆。练习 2，（1）函数 yx22x8 的零点为_（2）若 4 是函数 f(x)ax22log2x 的零点，则 a_
7、.4， Error!思路 1例 1 已知函数 f(x)3 xx 2，问：方程 f(x)0 在区间1,0内有没有实数解？为什么？活动：学生回想判断函数零点的方法：解方程法和定理法由于本题中方程 f(x)0 无法解，故用定理法，判断 f(1)f(0) 0 是否成立解：因为 f(1) 3 1 (1) 2 0，23f(0) 30(0) 210，函数 f(x)3 xx 2 的图像是连续曲线，所以 f(x)在区间1,0内有零点，即 f(x)0 在区间1,0内有实数解点评：本题主要考查函数零点的概念及其判断方法当无法解方程 f(x)0 时，通常用定理法判断函数零点的存在性. 9lg ().(6,7).(7,
8、8).(3 8,9).9,10.yxABCD函 数 的 零 点 所 在 的 大 致 区 间 是例 2 判定方程(x2)(x 5) 1 有两个相异的实数解，且一个大于 5，一个小于 2.分析：转化判断函数 f(x)(x2)( x5)1 在(，2) 和(5，) 内各有一个零点解：考虑函数 f(x)(x2)( x5)1，有 f(5)(52)(55)11，f(2)(2 2)(25)11.又因为 f(x)的图像是开口向上的抛物线(如图 7)，所以抛物线与横轴在(5 ， )内有一个交点，在 (，2) 内也有一个交点图 7所以方程(x2)(x 5)1 有两个相异的实数解，且一个大于 5，一个小于 2.点评：
9、这里说“若 f(a)f(b)0，则在区间 (a，b) 内，方程f(x) 0 至少有一个实数解” ，指出了方程 f(x)0 实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解.例 2 判断方程 是否有解。学：完成方法一。师：引导学生完成方法二及方法三。方法一：经试算 f(0.1)=1- 0,且函数 f(x)= 的图像在0.1,100上连续，所以方程 在（0.1,100）上有解。 方法二：画出函数 f(x)= 的图像如下：（画图过程利用多媒体展示）从图可得：方程 有两个解，即为图中交点的横坐标。方法三：题中方程可变形为则可得到两个函数 y= 及 y=02lgx222lgx0lx2lgxxy -02lgx2
10、lgxlg可画出两个函数图象如下：从图可得：方程 在(0,1)和(1,+)上各有一解。课堂练习1，判定方程 x3+2x+1=0 在-2,3上是否有解。学：独立完成此题。师：板书解题过程。分析：利用上述结论。解：因为 f(-2)=(-2)3+2(-2)+1=-110则 f(-2)f(3)4.(2)若函数有三个零点，则 a=4.(3)函数有四个零点,则 0a4.总结： 函数图象与 x 轴交点的横坐标叫做函数的零点，即函数的零点为对应方程的 解。利用函数图像判断方程的解更加直观。数形结合思想的应用。发散思维一题多解。板书设计1. 零点的定义2. 零点的存在性定理3. 练习4. 布置作业，独立探究1函数 f(x)(x4)(x4)(x2)在区间-5，6上是否存在零点？若存在，有几个？2利用函数图象判断下列方程有几个根：（1）2x (x2)3；（2）e x1 44x3结合上课给出的图象，写出并证明下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)=2xln(x -2)-3；（2 ）f (x)3(x 2)(x 3)(x4)x
