1、4.3 等腰三角形及直角三角形,中考数学 (山东专用),A组 20142018年山东中考题组 考点一 等腰三角形,五年中考,1.(2017滨州,8,3分)如图,在ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则B的大小 为 ( )A.40 B.36 C.80 D.25,答案 B 设B=x,因为AB=AC,所以C=B=x,因为DA=DC,所以DAC=C=x,所以 BDA=C+DAC=2x,因为BD=BA,所以BAD=BDA=2x, 所以BAC=3x, 根据三角形内角和定理得x+x+3x=180, 解得x=36.所以B=36.,2.(2017淄博,16,4分)在边长为4的等边三角
2、形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE AB,DFAC,垂足分别为E,F,则DE+DF= .,答案 2,解析 连接AD,过点C作CGAB,垂足为G,则AG=BG=2. CG= = =2 . SABD+SACD=SABC, ABDE+ ACDF= ABCG, 4DE+ 4DF= 4CG, DE+DF=CG=2 .,3.(2018滨州,25,13分)已知,在ABC中,A=90,AB=AC,点D为BC的中点.(1)如图,若点E、F分别为AB、AC上的点,且DEDF,求证:BE=AF; (2)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点,且DEDF,那么BE=AF吗?请利用图说明理由.,解析
3、(1)证明:如图1,连接AD,BAC=90,AB=AC,D为BC的中点,DEDF,BDA= EDF=90,BD=AD,B=DAC=45,BDE+EDA=EDA+ADF,BDE=ADF, BDEADF(ASA),BE=AF.(2)BE=AF.理由如下:如图2,连接AD,易知BDA=EDF=90,BDE+BDF=BDF+ ADF, BDE=ADF,又D为BC的中点,ABC是等腰直角三角形,BD=AD,ABC=DAC=45 ,EBD=FAD=180-45=135, BDEADF(ASA),BE=AF.,4.(2016淄博,22,8分)如图,已知ABC,AD平分BAC交BC于点D,BC的中点为M,ME
4、AD,交 BA的延长线于点E,交AC于点F. (1)求证:AE=AF; (2)求证:BE= (AB+AC).,证明 (1)AD平分BAC,BAD=CAD. ADEM, BAD=AEF,CAD=AFE. AEF=AFE.AE=AF. (2)过点C作CGEM,交BE的延长线于G. EFCG,G=AEF,ACG=AFE. AEF=AFE, G=ACG.AG=AC. BM=CM,EMCG,BE=EG. BE= BG= (BA+AG)= (AB+AC).,思路分析 (1)欲证明AE=AF,只要证明AEF=AFE即可. (2)作CGEM,交BE的延长线于G,先证明AC=AG,再证明BE=EG即可解决问题.
5、,5.(2017济南,27,9分)某学习小组在学习过程中遇到了下面问题:如图1,在ABC和ADE中, ACB=AED=90,CAB=EAD=60,点E、A、C在一条直线上,F是BD的中点,连接EF、CF, 试判断CEF的形状并说明理由. 问题探究: (1)小婷同学的解题思路是,先探究CEF的两条边是否相等,如EF=CF,以下是她的解答过程:,请结合以上的证明过程,解答下列两个问题: 在图1中画出证明所构造的辅助线; 在证明的括号中填写理由(请在SAS、ASA、AAS、SSS中选择); (2)在(1)证明过程的基础上,请你帮助小婷求出CEF的度数,并判断CEF的形状; 问题拓展: (3)如图2,
6、当ADE绕点A逆时针旋转某个角度后,连接CE,延长DE交BC的延长线于点P,其他条 件不变,判断CEF的形状并说明理由.,解析 (1)如图:AAS. (2)设AE=a,AC=b,则DE= a,BC= b,CE=a+b. BGFDEF, BG=ED= a. CG=BC+BG= (a+b). 在RtECG中,由tanCEG= = ,得CEG=60.,又CF=EF, CEF是等边三角形. (3)CEF是等边三角形,理由如下: 取AD的中点M,连接ME、MF,如下图:点M是RtAED斜边AD的中点, EM=AM. 又EAD=60, AEM是等边三角形.,AE=ME,AEM=60. 在RtABC中,易得
7、ABC=30,AC= AB. 点M、F分别为AD、BD的中点, MF= AB,MFAB, FMA+MAB=180,且AC=MF, EAC=360-60-60-MAB=60+FMA=EMF. EACEMF(SAS). EF=EC,MEF=AEC, CEF=CEA+AEF=MEF+AEF=60. CEF是等边三角形.,易错警示 本题易错处有两个:一是想不到利用三角函数求CEF的度数,导致解第(2)问时陷 入困境;二是求解最后一题时,不会构造全等三角形,无法切入解题过程,导致望题兴叹,茫然不 知所措.,方法规律 (1)本题是几何压轴题,考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定、直 角三角形斜边
8、上的中线等于斜边的一半、三角形的中位线性质、利用特殊角的三角函数值 求特殊角的度数等知识,并通过阅读材料这种课题学习的形式呈现,较为新颖. (2)阅读材料往往会为我们提供一些解题方法或给出解题暗示,要求在理解的基础上进行问题 的解答,或在阅读材料中提供一些操作方法,要求同学们去模拟并探究,或提供一个解题过程, 这种题不仅考查了同学们的阅读能力,而且还综合考查了同学们的创新意识及转化能力.,考点二 直角三角形,1.(2018滨州,1,3分)在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8,答案 A 根据勾股定理直接求得弦为 =5.,2.(2018枣庄,10,3分)
9、如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形,线段AB的端点都在小矩形的 顶点上,如果点P是某个小矩形的顶点,连接PA,PB,那么使ABP为等腰直角三角形的点P的个 数是 ( )A.2 B.3 C.4 D.5,答案 B 如图,设每个小矩形的长与宽分别为x、y,则有2x=x+2y,从而x=2y.因为线段AB是12 的矩形对角线,所以根据网格作垂线可知,过点B与AB垂直且相等的线段有AP1和BP2,过点A与 AB垂直且相等的线段有AP3,且P1,P2,P3都在顶点上,因此满足题意的点P共有3个,故选B.,3.(2018淄博,11,4分)如图,在RtABC中,CM平分ACB交AB于点M,过点M作MNBC交
10、AC于 点N,且MN平分AMC.若AN=1,则BC的长为 ( )A.4 B.6 C.4 D.8,答案 B MNBC,MN平分AMC,CM平分ACB,AMN=NMC =NCM=BCM= B. 又A=90,AMN=B=30. MN=2AN=2=NC,AC=AN+NC=3, BC=2AC=6.,4.(2016东营,9,3分)在ABC中,AB=10,AC=2 ,BC边上的高AD=6,则另一边BC等于 ( ) A.10 B.8 C.6或10 D.8或10,答案 C 由图1可知,BD=8,CD=2,则BC=8+2=10; 由图2可知,BD=8,CD=2,则BC=8-2=6.故选C.,思路分析 根据题意画出
11、相应的图形,然后利用勾股定理分别求出BC的长.,易错警示 解答本题易出现只考虑高在三角形内部的情况,而忽视高在外部的情况而漏解.,5.(2018德州,15,4分)如图, OC为AOB的平分线,CMOB,OC=5,OM=4,则点C到射线OA的距 离为 .,答案 3,解析 如图,过点C作CNOA,垂足为N, OC平分AOB,CMOB,CN=CM. 在RtCOM中,CM= = =3,CN=3,即点C到射线OA的距离为3.,6.(2017青岛,13,3分)如图,在四边形ABCD中,ABC=ADC=90,E为对角线AC的中点,连接 BE,ED,BD,若BAD=58,则EBD为 度.,答案 32,解析 A
12、BC=ADC=90,E为AC的中点, AE=BE=DE,BAE=ABE,DAE=ADE. BED=BAE+ABE+DAE+ADE=2BAD=116. BE=DE,EBD= (180-BED)= (180-116)=32.,思路分析 先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得AE=BE=DE,再根据等腰三角 形的性质得BAE=ABE,DAE=ADE,再利用三角形外角的性质求得BED的度数,进而 求得等腰三角形BED的底角EBD的度数.,方法规律 由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,所以若问题中出现直角三角形斜 边中点时,通常从斜边上的中线,把直角三角形分成的两个等腰三角形入手进行解答.
13、,7.(2015聊城,15,3分)如图,在ABC中,C=90,A=30,BD是ABC的平分线.若AB=6,则点D 到AB的距离是 .,答案,解析 C=90,A=30,ABC=60,BC=3,BD平分ABC,CBD= ABC=30,由 题意知点D到AB的距离等于DC的长,在RtBDC中,DC=BCtanDBC=3 = ,点D到AB 的距离等于 .,思路分析 根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等,得到点D到AB的距离等于DC,在Rt BDC中,利用三角函数知识可以求出DC.,B组 20142018年全国中考题组 考点一 等腰三角形,1.(2018福建,5,4分)如图,等边三角形ABC中,ADB
14、C,垂足为D,点E在线段AD上,EBC=45, 则ACE等于 ( )A.15 B.30 C.45 D.60,答案 A 由等边三角形ABC中,ADBC,垂足为点D,可得ACB=60,且点D是BC的中点,所 以AD垂直平分BC,所以EC=EB,根据等边对等角,得到ECB=EBC=45,故ACE=ACB- ECB=60-45=15.,2.(2017浙江台州,8,4分)如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧, 交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是 ( )A.AE=EC B.AE=BE C.EBC=BAC D.EBC=ABE,答案 C ABC是等腰三角形, AB=AC
15、,ABC=ACB,又BC=BE,ACB=BEC, BAC=EBC,故选C.,3.(2016湖北荆门,4,3分)如图,ABC中,AB=AC,AD是BAC的平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的 长为 ( )A.5 B.6 C.8 D.10,答案 C 因为AB=AC,AD平分BAC, 所以ADBC,BD=CD, 所以ADB=90,在RtABD中,AB=5,AD=3, 所以BD= =4,所以BC=2BD=8.,4.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F, G为EF的中点,连接DG,则DG的长为 .,答案,解析 连接DE,在等边ABC
16、中,D、E分别是AB、BC的中点, DEAC,DE=EC= AC=2, DEB=C=60. EFAC,EFC=90, FEC=30,EF= , DEG=180-60-30=90. G是EF的中点,EG= .,在RtDEG中,DG= = = .,思路分析 连接DE,根据题意可得DEAC,又EFAC,可得到FEC的度数,判断出DEG是 直角三角形,再根据勾股定理即可求解DG的长.,疑难突破 本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段 DG的长,DG与图中的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造直角三角形,运用勾股 定理求出DG的长.,5.(2017黑龙江绥化,2
17、0,3分)在等腰ABC中,ADBC交直线BC于点D,若AD= BC,则ABC的 顶角的度数为 .,答案 30或150或90,解析 BC为腰, ADBC于点D,AD= BC, AD= AC, ACD=30, 如图1,当AD在ABC内部时,C=30,即顶角的度数为30; 如图2,当AD在ABC外部时,ACB=180-30=150,即顶角的度数为150; BC为底,如图3, ADBC于点D,AD= BC, AD=BD=CD, B=BAD,C=CAD, BAD+CAD= 180=90, BAC=90,即顶角的度数为90. 综上所述,等腰三角形ABC的顶角度数为30或150或90.,6.(2017吉林,
18、20,7分)图、图、图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等 边三角形的顶点称为格点.线段AB的端点在格点上. (1)在图、图中,以AB为边各画一个等腰三角形,且第三个顶点在格点上;(所画图形不全 等) (2)在图中,以AB为边画一个平行四边形,且另外两个顶点在格点上.,解析 (1)每画对一个得2分.答案不唯一,以下答案供参考.(4分) (2)画对一个即可.答案不唯一,以下答案供参考.(7分),考点二 直角三角形,1.(2018湖北黄冈,5,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中 线,AD=2,CE=5,则CD= ( )A.2 B.3 C.4
19、 D.2,答案 C 在RtABC中,因为CE为AB边上的中线,所以AB=2CE=25=10,又AD=2,所以BD=8, 易证ACDCBD,则CD2=ADDB=28=16,所以CD=4,故选C.,2.(2016广西百色,6,3分)如图,ABC中,C=90,A=30,AB=12,则BC= ( )A.6 B.6 C.6 D.12,答案 A C=90,A=30,AB=12,BC= AB= 12=6.故选择A.,答案 B PAB=PBC,PBC+ABP=90,PAB+ABP=90,P=90.设AB的中 点为O,则P在以AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短,OB= AB=3,BC=4,
20、 OC= =5,又OP= AB=3,线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.,3.(2016安徽,10,4分)如图,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4.P是ABC内部的一个动点,且满足 PAB=PBC.则线段CP长的最小值为 ( )A. B.2 C. D.,4.(2018湖北黄冈,13,3分)如图,圆柱形玻璃杯高为14 cm,底面周长为32 cm,在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂 蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm(杯壁厚度不计).,答案 20,解析 如图,将圆柱侧面展开,延长AC至A,使AC=AC,连接
21、AB,则线段AB的长为蚂蚁到蜂蜜的 最短距离.过B作BBAD,垂足为B.在RtABB中,BB=16,AB=14-5+3=12,所以AB= = =20,即蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20 cm.,5.(2018天津,18,3分)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,ABC的顶点A,B,C均在格点 上. (1)ACB的大小为 ; (2)在如图所示的网格中,P是BC边上任意一点,以A为中心,取旋转角等于BAC,把点P逆时针 旋转,点P的对应点为P,当CP最短时,请用无刻度的直尺,画出点P,并简要说明点P的位置是如 何找到的(不要求证明) .,答案 (1)90. (2)如图,取格点D,E,连
22、接DE交AB于点T;取格点M,N,连接MN交BC延长线于点G;取格点F,连接 FG交TC延长线于点P,则点P即为所求.,解析 (1)每个小正方形的边长为1, AC=3 ,BC=4 ,AB=5 , (3 )2+(4 )2=50=(5 )2, AC2+BC2=AB2, ABC是直角三角形,且ACB=90. (2)在射线AC上取格点F,使AF=AB=5 ,则点F为点B的对应点,根据直线BC的位置,取格 点M,N,连接MN交BC的延长线于点G,可求得CG= + = ,连接GF,CF,易得ACB GCF,则GF所在直线即为BC旋转后对应边所在直线. 取格点D,E,连接DE交AB于点T,则点T为线段AB的
23、中点,作直线CT,所以TC=TA,ACT=CAT, 记直线CT交FG于点P,因为PCF+PFC=ACT+ABC=90,所以FPC=90,即CPFG, 所以点P即为所求作的点.,思路分析 (1)由勾股定理求得AC,BC,AB的长,根据勾股定理的逆定理判断出直角三角形;(2)P 是BC边上任意一点,把ACB绕点A逆时针旋转,使旋转角等于BAC,那么点P的对应点P在 边CB旋转后的对应边上,当CP垂直于CB旋转后的对应边时,线段CP最短,确定CB旋转后的对 应边的位置,作出垂线,即可确定点P的位置.,C组 教师专用题组 考点一 等腰三角形,1.(2018河北,8,3分)已知:如图,点P在线段AB外,
24、且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上. 在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是 ( )A.作APB的平分线PC交AB于点C B.过点P作PCAB于点C且AC=BC C.取AB中点C,连接PC D.过点P作PCAB,垂足为C,答案 B 无论作APB的平分线PC交AB于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PCAB, 垂足为C,都可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B.,2.(2016湖南湘西,14,4分)一个等腰三角形一边长为4 cm,另一边长为5 cm,那么这个等腰三角 形的周长是 ( ) A.13 cm B.14 cm C.13 cm或1
25、4 cm D.以上都不对,答案 C 当等腰三角形的腰长为4 cm时,三角形的三边长分别是4 cm,4 cm,5 cm,符合三角形 的三边关系,此时,等腰三角形的周长为13 cm; 当等腰三角形的腰长为5 cm时,三角形的三边长分别是5 cm,5 cm,4 cm,符合三角形的三边关 系,此时,等腰三角形的周长为14 cm,故选C.,3.(2015淄博,8,4分)如图,在平行四边形ABCD中,B=60,将ABC沿对角线AC折叠,点B的对 应点落在点E处,且点B,A,E在一条直线上,CE交AD于点F,则图中的等边三角形共有 ( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个,答案 B ABC沿对角线AC折
26、叠,点B,A,E在一条直线上,E=B=60,BCE是等边 三角形;ADBC,EAF=B=60,EAF是等边三角形;BECD, D=EAF=60,E=DCF=60, CDF是等边三角形.,4.(2016湖北武汉,10,3分)平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐标轴上取点C,使ABC 为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8,答案 A 如图,当AB=AC时,以点A为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点B除 外),即O(0,0),C0(0,4),其中点C0与A、B两点共线,不符合题意;当AB=BC时,以点B为圆心,AB长 为半径作圆
27、,与坐标轴有两个交点,均符合题意;当AC=BC时,作AB的垂直平分线,与坐标轴有 两个交点,均符合题意.所以满足条件的点C有5个,故选A.,5.(2017贵州黔西南,18,3分)已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6,则该等腰三角形的周长 是 .,答案 15,解析 当腰为3时,3+3=6,3、3、6不能组成三角形; 当腰为6时,3+6=96, 3、6、6能组成三角形, 该三角形的周长为=3+6+6=15.,6.(2016黑龙江齐齐哈尔,17,3分)有一面积为5 的等腰三角形,它的一个内角是30,则以它的 腰长为边的正方形的面积为 .,答案 20 或20,解析 在等腰ABC中,设AB=AC=x.
28、当顶角A=30时,如图1,作CDAB,垂足为D.sin 30= = ,CD= x, x x=5 ,x2=20 , 即以它的腰长为边的正方形的面积为20 ; 当底角B=ACB=30时,如图2,作CDBA,交BA的延长线于D.DAC=B+ACB=60, sin 60= = ,CD= x, x x=5 ,x2=20,即以它的腰长为边的正方形的面积 为20. 综上,以它的腰长为边的正方形的面积为20 或20.,7.(2017湖北恩施州,18,8分)如图,ABC、CDE均为等边三角形,连接BD,AE,BD与AE交于点 O,BC与AE交于点P.求证:AOB=60.,证明 ABC和ECD都是等边三角形, A
29、C=BC,CD=CE,ACB=DCE=60, ACB+BCE=DCE+BCE, 即ACE=BCD, 在ACE和BCD中,ACEBCD(SAS), CAE=CBD, BPO=APC, BOP=ACP=60,即AOB=60.,8.(2017内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线. (1)求证:BD=CE; (2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当ABC的重心到顶点A的距离 与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.,解析 (1)证明:AB,AC是等腰ABC的两腰, AB=AC, BD,CE是中线,AD= AC,A
30、E= AB,AD=AE, 又A=A,ABDACE,BD=CE. (2)四边形DEMN为正方形. 提示:由MN、DE分别是OBC、ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形,由(1)知BD =CE,故可证OE=OD,从而四边形DEMN是矩形,再由ABC的重心到顶点A的距离与底边长相 等可知四边形DEMN为正方形.,9.(2017黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90, 连接AE,BD交于点O,AE与DC交于点M,BD与AC交于点N. (1)如图1,求证:AE=BD; (2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等
31、的直角三角形.,解析 (1)证明:如题图1,ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,AC=BC, DC=EC, ACB+ACD=DCE+ACD, BCD=ACE, 在ACE和BCD中, ACEBCD(SAS), AE=BD. (2)ACBDCE,AONDOM,AOBDOE, EMCBNC.,10.(2015重庆A卷,25,12分)如图1,在ABC中,ACB=90,BAC=60.点E是BAC角平分线上 一点.过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点.DH AC,垂足为H,连接EF,HF. (1)如图1,若点H是AC的中点,AC=2 ,求A
32、B,BD的长; (2)如图1,求证:HF=EF; (3)如图2,连接CF,CE.猜想:CEF是不是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由.,图1,图2,解析 (1)点H是AC的中点,AC=2 , AH= AC= . (1分) ACB=90,BAC=60, ABC=30,AB=2AC=4 . (2分) DAAB,DHAC, DAB=DHA=90. DAH=30,AD=2. (3分) 在RtADB中,DAB=90, BD2=AD2+AB2. BD= =2 . (4分) (2)证明:连接AF,如图.,F是BD的中点,DAB=90, AF=DF,FDA=FAD. (5分) DEAE,DEA=90
33、. DHA=90,DAH=30, DH= AD. AE平分BAC, CAE= BAC=30.,DAE=60,ADE=30. AE= AD,AE=DH. (6分) FDA=FAD,HDA=EAD=60, FDA-HDA=FAD-EAD, FDH=FAE. (7分) FDHFAE(SAS).FH=FE. (8分) (3)CEF是等边三角形. (9分) 理由如下:取AB的中点G,连接FG,CG.如图.,F是BD的中点,FGDA,FG= DA. FGA=180-DAG=90, 又AE= AD,AE=FG. 在RtABC中,ACB=90, 点G为AB的中点,CG=AG. 又CAB=60, GAC为等边三
34、角形. (10分) AC=CG,ACG=AGC=60. FGC=30,FGC=EAC. FGCEAC(SAS). (11分) CF=CE,ACE=GCF. ECF=ECG+GCF=ECG+ACE=ACG=60, CEF是等边三角形. (12分),考点二 直角三角形,1.(2017浙江绍兴,6,4分)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左侧墙时,梯子底端到 左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时, 顶端距离地面2米,则小巷的宽度为 ( )A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米,答案 C 如图,由题意得,AC=2.4米,B
35、C=0.7米,在RtABC中,AB= =2.5(米),又因为 AB=BD,所以在RtBDE中,BE= = =1.5(米),则小巷的宽度CE=BC+BE=0.7+ 1.5=2.2(米).,2.(2017四川南充,7,3分)如图,等边OAB的边长为2,则点B的坐标为 ( )A.(1,1) B.( ,1) C.( , ) D.(1, ),答案 D 如图,过点B作BCOA于点C,则OC=1,在RtBCO中,BC= = = , 点B的坐标为(1, ).,3.(2017辽宁大连,8,3分)如图,在ABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,点E是AB的中点,CD= DE=a,则AB的长为 ( )A.2a
36、B.2 a C.3a D. a,答案 B 在RtCDE中,CD=DE=a,CE= CD= a,AB=2CE=2 a,故选B.,4.(2018福建,15,4分)把两个同样大小的含45角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三 角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若 AB= ,则CD= .,答案 -1,解析 由题意知ABC,ADE均为等腰直角三角形,且AB=AC=AE=ED= ,由勾股定理得BC =AD=2.过A作AFBC于F,则FC=AF=1,在RtAFD中,由勾股定理得FD= ,故CD=FD-FC=-1.,5.(2017四川乐山,14,3分)点A
37、、B、C在格点图中的位置如图所示,格点小正方形的边长为1,则 点C到线段AB所在直线的距离是 .,答案,解析 连接AC、BC,过点B作BEAC于点E,过点C作CDAB,交AB的延长线于点D. 则BC=AB= = ,AC= =3 , CE= AC= , 在RtBCE中,由勾股定理,得 BE= = , SABC= ACBE= ABCD, CD= = .,6.(2016福建莆田,16,4分)魏朝时期,刘徽利用如图“以盈补虚,出入相补”的方法,即“勾自乘 为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类”,证明了勾股定理.若图中BF=1,CF=2,则AE的长 为 .,答案 3,解析 由已知得四边形ABCD是
38、正方形,BF=1,CF=2, AD=AB=DC=BC=BF+CF=3.RtABF中,AF= = = ,BCAD,EFC EAD, = ,即 = ,解得AE=3AF=3 .,7.(2016四川广安,24,8分)在数学活动课上,老师要求学生在55的正方形ABCD网格中(小正方 形的边长为1)画直角三角形,要求三个顶点都在格点上,而且三边与AB或AD都不平行,画四种 图形,并直接写出其周长(所画图形相似的只算一种).,解析 第一种(四选一):周长=2 + 周长=2 +2,周长=2 + 周长=2 + 第二种(二选一):,周长=3 + 周长=3 +,周长=4 +2 周长=5 + 周长=5 +,8.(20
39、16湖南益阳,20,10分)在ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求ABC的面积. 某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程. 作ADBC于D, 设BD=x,用含x 的代数式表示CD根据勾股定理,利用 AD作为“桥梁”,建 立方程模型求出x利用勾股定理求 出AD的长,再计 算三角形面积,解析 如图,在ABC中,AB=15,BC=14,AC=13, 设BD=x,则CD=14-x. (2分) 由勾股定理得AD2=AB2-BD2=152-x2, AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2, 152-x2=132-(14-x)2,解之得x=9. (
40、7分) AD=12. (8分) SABC= BCAD= 1412=84. (10分),9.(2017江苏南京,22,8分)“直角”在初中几何学习中无处不在.如图,已知AOB ,请仿照小丽 的作图方法,再用两种不同的方法判断AOB是不是直角(仅限用直尺和圆规).小丽的作图方法: 如图,在OA,OB上分别取点C,D,以C为圆心,CD长,为半径画弧,交OB的反向延长线于点E,若OE=OD, 则AOB=90.,解析 本题答案不唯一,下列方法供参考.例如: 方法1:如图,在OA,OB上分别截取OC=4,OD=3,若CD=5,则AOB=90. 方法2:如图,在OA ,OB上分别取点C ,D ,以CD为直径
41、画圆.,若点O在圆上,则AOB=90.,A组 20162018年模拟基础题组 考点一 等腰三角形,三年模拟,1.(2016泰安新泰,14)如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点,如 果C也是图中的格点,且使得ABC为等腰三角形,则点C的个数是 ( )A.6 B.7 C.8 D.9,答案 C 如图,分两种情况讨论: AB为等腰ABC底边时,符合条件的C点有4个; AB为等腰ABC其中的一条腰时,符合条件的C点有4个. 综上,符合条件的点C有8个,故选C.,2.(2018淄博高青一模,18)如图,已知等边三角形ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点, 且CE=C
42、D,作DMBC,垂足为M,求证:M是BE的中点.,证明 连接BD,等边三角形ABC中,D是AC的中点, DBC= ABC= 60=30,ACB=60, CE=CD,CDE=E, 又ACB=CDE+E,E=30,DBC=E, BD=ED,BDE为等腰三角形, 又DMBC,M是BE的中点.,3.(2016聊城莘县二模,20)如图,已知ABC是等边三角形,点D、F分别在线段BC、AB上, EFB=60,DC=EF. (1)求证:四边形EFCD是平行四边形; (2)若BF=EF,求证:AE=AD.,证明 (1)ABC是等边三角形,ABC=60, EFB=60,ABC=EFB, EFDC(内错角相等,两
43、直线平行), 又DC=EF,四边形EFCD是平行四边形. (2)连接BE,BF=EF,EFB=60, EFB是等边三角形,EB=EF,EBF=60. DC=EF,EB=DC,ABC是等边三角形, ACB=60,AB=AC, EBF=ACB,AEBADC(SAS), AE=AD.,考点二 直角三角形,1.(2018青岛胶州期末,7)下列各组数:8,15,17;7,12,15;12,15,20;7,24,25.其中能作为直 角三角形的三边长的是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 82+152=172;72+122152;122+152202;72+242=252.故可作为直角三角形 的三边
44、长.,2.(2016聊城阳谷一模,10)在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a-b)=c2,则 ( ) A.A为直角 B.C为直角 C.B为直角 D.ABC不是直角三角形,答案 A (a+b)(a-b)=c2,a2-b2=c2,即c2+b2=a2,故ABC是直角三角形,且a为直角三角形的 斜边,A为直角.故选A.,一、选择题(共3分) 1.(2016青岛市南区一模,5)如图,在ABC中,C=90,AB=5 cm,AC=4 cm,点D在AC上,将 BCD沿着BD所在直线翻折,使点C落在斜边AB上的点E处,则DC的长为 ( )A. cm B. cm C.2 cm D. cm
45、,B组 2016-2018年模拟提升题组,(时间:15分钟 分值:20分),答案 B C=90,AB=5 cm,AC=4 cm,BC= =3 cm, 将BCD沿着BD所在直线翻折,使点C落在斜边AB上的点E处,BEDBCD, BED=C=90,BE=BC=3 cm,AE=AB-BE=2 cm, 设DC=x cm,则DE=x cm,AD=(4-x)cm, 在RtADE中,由勾股定理得AE2+DE2=AD2,即22+x2=(4-x)2, 解得x= .故选B.,二、填空题(每小题3分,共9分) 2.(2018青岛中考样题二,13)如图,平面直角坐标系中,点A、B分别是x轴、y轴上的动点,以AB为 边作边长为2的正方形ABCD,则OC的最大值为 .,答案 +1,解析 取AB的中点E,连接OE、CE,则BE= 2=1, 在RtBCE中,由勾股定理,得CE= = , AOB=90,点E是AB的中点,OE=BE=1, 又OCOE+EC=1+ ,且当点O、E、C三点共线时,等号成立,此时OC最大, OC的最大值为 +1.,3.(2016泰安泰山,23)如图,在梯形ABCD中,ADBC,BCD=90,BC=2AD,F、E分别是BA、BC 的中点,则下列结论正确的是 .(填序号) ABC是等腰三角形; 四边形EFAM是菱形; SBEF= SACD; DE平分CDF.,
