1、6.3 解直角三角形,中考数学 (山东专用),A组 20142018年山东中考题组 考点一 锐角三角函数,五年中考,1.(2018枣庄,11,3分)如图,在矩形ABCD中,点E是边BC的中点,AEBD,垂足为F,则tanBDE 的值为 ( )A. B. C. D.,答案 A 四边形ABCD是矩形,ADBC,AD=BC,ADFEBF, = = . 点E是边BC的中点,AD=BC, = = =2.设EF=x,则AF=2x,在RtABE中,可得BF= x. =2,DF=2 x.在RtDEF中,tanBDE= = = .故选A.,2.(2018日照,10,3分)如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半
2、径为1的O的圆心O在格点上, 则BED的正切值等于 ( )A. B. C.2 D.,答案 D 如图,在RtABC中,AB=2,BC=1, tanBAC= = .BED=BAD,tanBED= .,3.(2017聊城,2,3分)在RtABC中,cos A= ,那么sin A的值是 ( ) A. B. C. D.,答案 B cos A= ,A=60,sin A=sin 60= .,4.(2016淄博,9,4分)如图是由边长相同的小正方形组成的网格,A,B,P,Q四点均在正方形网格的 格点上.线段AB,PQ相交于点M.则图中QMB的正切值是 ( )A. B.1 C. D.2,答案 D 设每个小正方形
3、的边长为1,过点P作PCAB,连接QC,则QMB=P. PC=2 ,QC=4 ,PQ=2 , PC2+QC2=PQ2,PCQ为直角三角形,且C=90, tanP= =2,即tanQMB=2.故选择D.,5.(2018滨州,15,5分)在ABC中,C=90,若tan A= ,则sin B= .,答案,解析 设RtABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=90,根据tan A= ,可设a=1,则b=2,c=,所以sin B= = .,6.(2018德州,16,4分)如图,在44的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,ABC的顶点都在 格点上,则BAC的正弦值是 .,答案,解析 由勾股定理
4、可得,AB2=32+42=25,BC2=12+22=5,AC2=22+42=20,AB2=BC2+AC2,ACB=9 0,sinBAC= = = .,考点二 解直角三角形,1.(2018泰安,14,3分)如图,O是ABC的外接圆,A=45,BC=4,则O的直径为 .,答案 4,解析 如图,连接OB,OC,A=45,O=2A=245=90,在RtOBC中,OC=BCsin 45 =4 =2 ,O的直径为4 .,2.(2017烟台,14,3分)在RtABC中,C=90,AB=2,BC= ,则sin = .,答案,解析 在RtABC中,C=90,AB=2,BC= , sin A= ,A=60,sin
5、 =sin 30= .,3.(2015滨州,14,4分)如图,菱形ABCD的边长为15,sinBAC= ,则对角线AC的长为 .,答案 24,解析 连接BD,交AC于点O,四边形ABCD是菱形,ACBD,在RtAOB中,AB=15,sin BAO= = = , BO=9,AO= = =12,AC=2AO=24.,考点三 解直角三角形的应用,1.(2016济南,12,3分)如图,为了测量石坝的坡度(坡面的垂直高度与水平宽度的比称为坡度).把 一根长5 m的竹竿斜靠在石坝旁,测得竹竿长1 m处的点D离地面的高度DE=0.6 m,又测量出竹 竿的底端距石坝的距离AB=3 m,则石坝的坡度为 ( )A
6、. B.3 C. D.4,答案 B 如图,过点C作CFAB于点F,则DECF. ADEACF. = . AD=1 m,DE=0.6 m,AC=5 m, = . CF=3 m. 在RtACF中,由勾股定理,得AF=4 m. AB=3 m, BF=1 m. 石坝的坡度i=tanCBF= = =3.,易错警示 本题易错处有三处:一是不理解坡度的意义,找不到解题的思路,无法切入解题过 程;二是不会构造直角三角形,不能将实际问题转化为数学问题;三是不能综合利用几何知识求 出坡面BC的垂直高度与水平距离,导致求不出坡面BC的坡度.,方法规律 解决解直角三角形的应用题一般有以下几个步骤: (1)把实际问题转
7、化为数学问题,转化的过程要注意识别方位角,仰角,俯角和坡度等概念; (2)分析题目中的已知条件和要求的线段的关系; (3)用逆推法找出已知条件和未知条件之间需要用哪些中间量(线段或角); (4)解直角三角形(有时还需先构造直角三角形); (5)写出答案.,2.(2016济南,12,3分)济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”,某校数学社团的同学 对超然楼的高度进行了测量,如图,他们在A处仰望塔顶,测得仰角为30,再往楼的方向前进60 m至B处,测得仰角为60,若学生的身高忽略不计, 1.7,结果精确到1 m,则该楼的高度CD为( )A.47 m B.51 m C.53 m D.54 m,
8、答案 B 根据题意得A=30,DBC=60,DCAC, ADB=DBC-A=30,ADB=A=30, BD=AB=60 m, CD=BDsin 60=60 =30 51(m).故选B.,3.(2018济宁,14,3分)如图,在一笔直的海岸线l上有相距2 km的A、B两个观测站,B站在A站的正 东方向上,从A站测得船C在北偏东60的方向上,从B站测得船C在北偏东30的方向上,则船C到 海岸线l的距离是 km.,答案,解析 如图所示,过点C作CHl,垂足为H.由题意得ACH=60,CBH=60,BCH=30.设 CH=x km,在RtACH中,AH=CHtanACH=xtan 60= x.在RtB
9、CH中,BH=CHtanBCH= xtan 30= x.因为AH-BH=AB,所以 x- x=2,解得x= ,即船C到海岸线l的距离是 km.,4.(2018潍坊,18,3分)如图,一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P 在东北方向上,继续航行1.5小时后到达B处,此时测得岛礁P在北偏东30方向,同时测得岛礁P 正东方向上的避风港M在北偏东60方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立刻 加速,若以75海里/小时的速度继续航行,则 小时即可到达.(结果保留根号),答案,解析 过点P作PQAB,垂足为Q,过点M作MNAB,垂足为N.AB=601.5=90海里,
10、设PQ=MN=x海里,由点P在点A的东北方向可知,PAQ=45, AQ=PQ=x海里,BQ=(x-90)海里, 在RtPBQ中,PBQ=90-30=60, tan 60= = ,解得x=135+45 . 经检验,x=135+45 是分式方程的解,且符合题意. 在RtBMN中,MBN=90-60=30, BM=2MN=2x=2(135+45 )=(270+90 )海里, 航行时间为 = 小时.,思路分析 解题的关键是构造直角三角形,先过点P作PQAB,垂足为Q,过点M作MNAB,垂 足为N.设PQ=MN=x海里,解RtAPQ和RtPBQ求得x的值,再解RtBMN求出BM的长度,利用 路程、速度和
11、时间的关系解答即可.,5.(2015东营,14,3分)4月26日,2015黄河口(东营)国际马拉松比赛拉开帷幕,中央电视台体育频 道用直升机航拍技术全程直播.如图,在直升机的镜头下,观测马拉松景观大道A处的俯角为30 ,B处的俯角为45.如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米,点A、D、B在同一直线上, 则A、B两点的距离是 米.,答案 200( +1),解析 由题意,得A=30,B=45. 在RtACD中,tan A= ,即tan 30= , 解得AD=200 (米). 在RtBCD中,B=45, BCD=45. BD=CD=200米. AB=AD+BD=200 +200=200( +1
12、)米. 即A、B两点的距离是200( +1)米. 故答案为200( +1).,6.(2018临沂,22,7分) 如图,有一个三角形的钢架ABC,A=30,C=45,AC=2( +1)m.请计算 说明,工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m的圆形门.,解析 如图,过点B作BDAC,垂足为D.在RtABD中,A=30,ABD=90-A=60, AD=tanABDBD= BD; 在RtBCD中,C=45,CD=BD, AC=AD+CD= BD+BD=( +1)BD=2( +1), 解得BD=2, 又2 m2.1 m, 工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1 m的圆形门.,思路分析 过点B作
13、BDAC,垂足为D,将ABC转化为两个直角三角形,利用解直角三角形求 出BD的长,然后把求得的BD的长与直径2.1 m比较大小即可作出判断.,7.(2018聊城,22,8分)随着我市农产品整体品牌形象“聊胜一筹!”的推出, 现代农业得到了更 快发展. 某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚,如图1.线段AB,BD分别表示大棚 的墙高和跨度,AC表示保温板的长. 已知墙高AB为2米, 墙面与保温板所成的角BAC=150, 在点D 处测得A点、C点的仰角分别为9,15.6,如图2.求保温板AC的长约是多少米? (精确到0. 1米)参考数据: 0.86,sin 90.16,cos 90.99,
14、tan 90.16,sin 15.60.27,cos 15.60.96, tan 15.60.28,解析 设AC=x米,在RtABD中,tan 9= = , BD= . 过点C作CEBD,垂足为E,过点A作AGCE,垂足为G, 如图,在RtAGC中,BAC=150,CAG=60,sinCAG= ,cosCAG= , CG=ACsinCAG= xsin 60= x,AG= ACcosCAG= xcos 60= x, ED=BD-BE=BD-AG= - x, 在RtCED中,tanCDE= tan 15.6= , CE=EDtan 15.6= tan 15.6, 又CE=CG+GE= x+2, t
15、an 15.6= x+2, 即 0.28=0.86x+2,解得x=1.5. 答:保温板AC的长约是1.5米.,8.(2017德州,21,10分)如图所示,某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器,检测 点设在距离公路10 m的A处,测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒.已知B=30, C=45. (1)求B、C之间的距离;(保留根号) (2)如果此地限速为80 km/h,那么这辆汽车是否超速?请说明理由. (参考数据: 1.7, 1.4),解析 (1)如图,过点A作ADBC于点D,则AD=10 m.在RtACD中,C=45, RtACD是等腰直角三角形. CD=AD=10 m
16、. 在RtABD中,tan B= , B=30, = .BD=10 m. BC=BD+DC=(10 +10)m. 答:B、C之间的距离是(10 +10)m. (2)这辆汽车超速.理由如下:,由(1)知BC=(10 +10)m,又 1.7, BC=27 m. 这辆汽车的速度为 =30(m/s). 又30 m/s=108 km/h80 km/h, 这辆汽车超速.,9.(2017菏泽,18,6分)如图,某小区号楼与 号楼隔河相望,李明家住在号楼,他很想知道 号楼的高度,于是他做了一些测量,他先在B点测得C点的仰角为60,然后到42米高的楼顶A处, 测得C点的仰角为30,请你帮李明计算 号楼的高度CD
17、.,解析 过点A作AECD于E,则四边形ABDE是矩形, 所以AE=BD,AB=ED. 在RtBCD中,tanCBD= , 所以CD=BDtan 60= BD, 在RtACE中,tanCAE= , 所以CE=AEtan 30= AE, 所以CE= BD, 因为AB=DE=CD-CE,所以 BD- BD=42, BD=42, 解得BD=21 , 所以CD= BD= 21 =63(米). 答: 号楼的高度CD为63米.,10.(2016潍坊,22,9分)如图,直立于地面上的电线杆AB,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子 分别是BC、CD.测得BC=6米,CD=4米,BCD=150,在D处测得电线杆
18、顶端A的仰角为30,试 求电线杆的高度.(结果保留根号),解析 延长AD交BC的延长线于点E,过点D作DFCE于点F,在RtDCF中,CD=4,DCF=180-150=30, (1分) 则DF=CDsinDCF=4sin 30=2, (2分) CF=CDcosDCF=4cos 30=2 , (3分) 在RtDEF中,E=30, (4分) tanE= = = , 解得EF=2 , (6分) 在RtABE中,BE=BC+CF+EF=6+2 +2 =6+4 , (7分) tanE= = = , 解得AB=4+2 , 即电线杆的高度是(4+2 )米. (9分),思路分析 延长AD交BC的延长线于点E,
19、过点D作DFCE于点F,解RtDCF求出DF和CF, 解RtDFE求出EF,进一步求出BE的长度,解RtABE求出AB的长.,B组 20142018年全国中考题组 考点一 锐角三角函数,1.(2018云南,12,4分)在RtABC中,C=90,AC=1,BC=3,则A的正切值为 ( ) A.3 B. C. D.,答案 A AC=1,BC=3,C=90,tan A= =3.,2.(2017天津,2,3分)cos 60的值等于 ( ) A. B.1 C. D.,答案 D 根据特殊角的三角函数值,可得cos 60= ,故选D.,3.(2017浙江金华,4,3分)在RtABC中,C=90,AB=5,B
20、C=3,则tan A的值是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 在RtABC中,C=90,AB=5,BC=3, AC= = =4,tan A= = .,4.(2016贵州安顺,9,3分)如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A、B、C都在格点上,则 ABC的正切值是 ( )A.2 B. C. D.,答案 D 连接AC,如图,易得ABC为直角三角形,且CAB=90,由勾股定理得AC= =,AB= =2 ,所以tanABC= = ,故选择D.,5.(2016甘肃白银等9市,13,4分)如图,点A(3,t)在第一象限,射线OA与x轴所夹的锐角为,tan = ,则t的值是 .,答案,解析 如图
21、,过点A作ABx轴,垂足为B,因为点A的坐标为(3,t),且在第一象限,所以OB=3,AB=t, 在RtOAB中,tan = ,即 = ,解得t= .,6.(2017福建,22,10分)小明在某次作业中得到如下结果: sin27+sin2830.122+0.992=0.994 5, sin222+sin2680.372+0.932=1.001 8, sin229+sin2610.482+0.872=0.987 3, sin237+sin2530.602+0.802=1.000 0, sin245+sin245= + =1. 据此,小明猜想:对于任意锐角,均有sin2+sin2(90-)=1.
22、(1)当=30时,验证sin2+sin2(90-)=1是否成立; (2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.,解析 (1)当=30时,sin2+sin2(90-)=sin230+sin260= + = + =1. 所以,当=30时,sin2+sin2(90-)=1成立. (2)小明的猜想成立.证明如下: 如图,ABC中,C=90, 设A=,则B=90-. sin2+sin2(90-)= + = = =1.,考点二 解直角三角形,1.(2018陕西,6,3分)如图,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足为D,ABC的平 分线交AD于点E,则AE
23、的长为 ( )A.2 B.3 C. D.,答案 D AC=8,C=45,ADBC,AD=ACsin 45=4 ,过点E作EFAB于点F,BE是 ABC的平分线,DE=EF,ABC=60,ADBC,BAE=30,在RtAEF中,EF= AE,又 AD=4 ,DE=EF,AE= AD= ,故选D.,思路分析 首先利用AC的长及C的正弦求出AD的长,然后通过角平分线的性质及直角三角 形中30度角的性质确定DE和AE的数量关系,最后求出AE的长.,2.(2016甘肃兰州,4,4分)在RtABC中,C=90,sin A= ,BC=6,则AB= ( ) A.4 B.6 C.8 D.10,答案 D 在RtA
24、BC中,因为C=90,所以sin A= ,所以 = ,解得AB=10,故选择D.,3.(2016宁夏,14,3分)如图,RtAOB中,AOB=90,OA在x轴上,OB在y轴上,点A,B的坐标分别为 ( ,0),(0,1).把RtAOB沿着AB对折得到AOB,则点O的坐标为 .,答案,解析 如图,作OCOA,垂足为C,在RtAOB中,OA= ,OB=1,AOB=90,tanBAO= , BAO=30,由题意可得AO=AO= ,OAB=OAB=30,OAO=60.在RtOAC中, AC=AOcos 60= ,OC=AOsin 60= .OC=AO-AC= . O .,考点三 解直角三角形的应用,1
25、.(2017湖南益阳,7,3分)如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,CAB=,则拉 线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上) ( )A. B. C. D.hcos ,答案 B 因为CDAB,ACBC,所以CAB+ACD=90,ACD+BCD=90,所以CAB= BCD=.在RtBCD中,cos = ,故BC= ,故选B.,2.(2017广西玉林、崇左,10,3分)如图,一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60方向上,轮船 沿正东方向航行30海里到达B处后,此时测得灯塔P位于其北偏东30方向上,此时轮船与灯塔P 的距离是 ( )A.15海里 B.30海里 C.45海里 D.
26、30海里,答案 B 由题意可知PAB=90-60=30,ABP=90+30=120, APB=180-120-30=30, PAB=APB=30, PB=AB=30海里,故选B.,3.(2017辽宁葫芦岛,16,3分)一艘货轮由西向东航行,在A处测得灯塔P在它的北偏东60方向,继 续航行到达B处,测得灯塔P在它的东北方向,若灯塔P正南方向4海里的C处是港口,点A,B,C在 一条直线上,则这艘货轮由A到B航行的路程为 海里(结果保留根号).,答案 4 -4,解析 根据题意得PC=4海里,PBC=90-45=45,PAC=90-60=30, 在RtAPC中,PAC=30,C=90, AC= PC=
27、4 海里, 在RtBPC中,PBC=45,C=90, BC=PC=4海里, AB=AC-BC=(4 -4)海里.,4.(2018安徽,19,10分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆 CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的 F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时AEB=FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3, 平面镜E的俯角为45,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米? (结果保留整数,参考数据:tan 39.30.82,tan 84.310.02),解析 解法一:由题意知,AEB=FED=45,
28、 AEF=90. 在RtAEF中, =tanAFE=tan 84.3, 在ABE和FDE中,ABE=FDE=90,AEB=FED, ABEFDE, = =tan 84.3, AB=FDtan 84.31.810.02=18.03618(米). 答:旗杆AB的高度约为18米. 解法二:作FGAB于点G,由题意知,ABE和FDE均为等腰直角三角形, AB=BE,DE=FD=1.8, FG=DB=DE+BE=AB+1.8,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8. 在RtAFG中, =tanAFG=tan 39.3,即 =tan 39.3, 解得AB=18.218(米). 答:旗杆AB的高度约为1
29、8米.,思路分析 思路一:由题意可确定AEF=90,从而可推出ABEFDE,最后由相似三角形 中对应边的比相等求解;思路二:作FGAB于点G,由题意可推出ABE和FDE均为等腰直 角三角形,在直角三角形AFG中由锐角三角函数求出AB.,5.(2018四川成都,18,8分)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功 完成第一次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达A处时,测得小岛C位于它的北偏东70 方向,且与航母相距80海里,再航行一段时间后到达B处,测得小岛C位于它的北偏东37方向.如 果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处,求还需航行的距离BD的长. (参考数据:s
30、in 700.94,cos 700.34,tan 702.75,sin 370.60,cos 370.80,tan 370.7 5),解析 由题可知ACD=70,BCD=37,AC=80. 在RtACD中,cosACD= ,0.34 ,CD27.2, 在RtBCD中,tanBCD= ,0.75 ,BD20.4. 答:还需要航行的距离BD的长为20.4海里.,6.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平 行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距 离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,
31、请你解答. 如图所示,底座上A,B两点间的距离为90 cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm,高 杠上点D到直线AB的距离DF的长为234 cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角CAE为82.4 ,高杠的支架BD与直线AB的夹角DBF为80.3.求高、低杠间的水平距离CH的长. (结果精确到1 cm.参考数据:sin 82.40.991,cos 82.40.132,tan 82.47.500,sin 80.30.98 3,cos 80.30.168,tan 80.35.850),解析 在RtCAE中,AE= = 20.7. (3分) 在RtDBF中,BF= = =40. (6
32、分) EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7151. 四边形CEFH为矩形,CH=EF=151. 即高、低杠间的水平距离CH的长约是151 cm. (9分),思路分析 根据RtCAE和RtDBF中的边和角的数值,用正切函数分别求得AE,BF的长度, 得EF=AE+AB+BF,由矩形的性质可知CH=EF,可以求出问题的答案.,方法总结 解直角三角形的应用问题,一般根据题意抽象出几何图形,结合所给的线段或角,借 助边角关系、三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件构造直角三 角形,再解直角三角形,求出实际问题的答案.,7.(2018云南昆明,19,7分)小婷在
33、放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国南亚博览会” 的竖直标语牌CD,她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42,测得隧道底端B处的俯角为30 (B,C,D在同一条直线上),AB=10 m,隧道高6.5 m(即BC=6.5 m),求标语牌CD的长(结果保留小数 点后一位). (参考数据:sin 420.67,cos 420.74,tan 420.90, 1.73),解析 如图,过点A作AEBD于点E, (1分)由题意得DAE=42,EAB=30, 在RtABE中,AEB=90,AB=10,EAB=30, BE= AB= 10=5. (2分) cosEAB= , AE=ABcos 30=10 =5
34、. (4分) 在RtDEA中,DEA=90,DAE=42, tanDAE= ,思路分析 作AEBD于点E,构造直角DEA和直角ABE,解直角DEA和直角ABE,求得 BE,DE的长,进而可求出CD的长度.,DE=AEtan 425 0.90= , (5分) CD=BE+ED-BC=5+ -6.56.3(m). (6分) 答:标语牌CD的长约为6.3 m. (7分),8.(2017河南,19,9分)如图所示,我国两艘海监船A,B在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指 令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C.此时,B船在A船的正南方向5海里处,A船测得渔船C在其南 偏东45方向,B船测得渔船C在其南偏
35、东53方向.已知A船的航速为30海里/小时,B船的航速为 25海里/小时,问C船至少要等待多长时间才能得到救援? 参考数据:sin 53 ,cos 53 , tan 53 , 1.41,解析 过点C作CDAB交AB延长线于点D,则CDA=90. (1分) 已知CAD=45,设CD=x海里,则AD=CD=x海里. BD=AD-AB=(x-5)海里. (3分) 在RtBDC中,CD=BDtan 53,即x=(x-5)tan 53, x= =20. (6分) BC= = 20 =25海里. B船到达C船处约需时间:2525=1(小时). (7分) 在RtADC中,AC= x1.4120=28.2海里
36、, A船到达C船处约需时间:28.230=0.94(小时). (8分) 而0.941,所以C船至少要等待0.94小时才能得到救援. (9分),解题技巧 本题是解三角形两种典型问题中的一种. 以下介绍两种典型问题: (1)如图,当BC=a时,设AD=x,则CD= ,BD= . CD+BD=a, + =a,x= .(2)如图,当BC=a时,设AD=x,则BD= ,CD= , CD-BD=a, - =a, x= .,C组 教师专用题组 考点一 锐角三角函数,1.(2018贵州贵阳,7,3分)如图,A、B、C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan BAC的值为 ( )A. B.1 C.
37、D.,答案 B 如图,连接BC,则BCAB.在RtABC中,AB=BC= = ,tanBAC= =1.,2.(2018湖南娄底,11,3分)如图,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方 形的面积是49,则sin -cos = ( )A. B.- C. D.-,答案 D 如图,小正方形的面积为49,大正方形的面积为169, 小正方形的边长是7,大正方形的边长是13, 在RtABC中,AC2+BC2=AB2,即AC2+(7+AC)2=132, 整理得,AC2+7AC-60=0,解得AC=5,或AC=-12(舍去), 在RtABC中,AC=5,BC=12,AB=13, sin -
38、cos = - =- .,3.(2017浙江湖州,3,4分)如图,已知在RtABC中,C=90,AB=5,BC=3,则cos B的值是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 在RtABC中, AB=5,BC=3, cos B= = .,4.(2017湖南怀化,6,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sin 的值是 ( )A. B. C. D.,答案 C 作AB x轴于B,如图,点A的坐标为(3,4), OB=3,AB=4, OA= =5, 在RtAOB中,sin = = .故选C.,5.(2016四川达州,7,3分)如图,半径为3的A经过原点O和点C(0,2),B是
39、y轴左侧A优弧上一点, 则tanOBC为 ( )A. B.2 C. D.,答案 C 设A与x轴的交点为D,连接CD,COD=90,CD是A的直径,在RtOCD中, OD= =4 ,tanODC= = ,又OBC=ODC,tanOBC= ,故选择C.,6.(2017无锡,18,2分)在如图的正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形,A,B,C,D都 在格点处,AB与CD相交于O,则tanBOD的值等于 .,答案 3,解析 如图所示,平移CD到CD,交AB于O,则BOD=BOD, tanBOD=tanBOD, 设每个小正方形的边长为a, 则OB= = a,OD= =2 a,BD=3a, 作B
40、EOD于点E, 则BE= = = , OE= = = a,tanBOE= = =3, tanBOD=3.,思路分析 平移CD,使BOD的顶点位于格点上,从而构造直角三角形求解.,解题关键 本题考查解直角三角形,解答本题的关键是作出合适的辅助线,找到直角三角形,利 用勾股定理和等积法求出正切值,从而解决问题.,7.(2017贵州黔西南,25,12分)把(sin )2记作sin2,根据图1和图2完成下列各题. (1)sin2A1+cos2A1= ,sin2A2+cos2A2= ,sin2A3+cos2A3= ; (2)观察上述等式猜想:在RtABC中,C=90,总有sin2A+cos2A= ; (
41、3)如图2,在RtABC中证明(2)题中的猜想; (4)已知在ABC中,A+B=90,且sin A= ,求cos A.,解析 (1)sin2A1+cos2A1= + = + =1, sin2A2+cos2A2= + = + =1, sin2A3+cos2A3= + = + =1,解析 (1)sin2A1+cos2A1= + = + =1, sin2A2+cos2A2= + = + =1, sin2A3+cos2A3= + = + =1, +cos2A=1, 解得cos A= 或cos A=- (舍), cos A= .,考点二 解直角三角形,1.(2018四川自贡,22,8分)如图,在ABC中
42、,BC=12,tan A= ,B=30,求AC和AB的长.,解析 如图,过点C作CDAB于点D, 在RtBCD中,B=30,BC=12, CD=BCsin 30=6,BD=BCcos 30=6 , 在RtACD中,tan A= = ,AD=8, AC= = =10, AB=AD+BD=8+6 .,思路分析 由已知条件可以看出这个三角形是确定的三角形,过点C作CDAB于点D,则得到 两个直角三角形:ADC和BDC,可用勾股定理、特殊角的三角函数值等知识来求解.,2.(2016湖南怀化,10,4分)在RtABC中,C=90,sin A= ,AC=6 cm,则BC的长度为 ( ) A.6 cm B.
43、7 cm C.8 cm D.9 cm,答案 C sin A= = , 设BC=4x,AB=5x(x0), 又AC2+BC2=AB2, 62+(4x)2=(5x)2, 解得x=2或x=-2(舍), 则BC=4x=8 cm, 故选C.,3.(2015辽宁沈阳,16,4分)如图,正方形ABCD绕点B逆时针旋转30后得到正方形BEFG,EF与AD 相交于点H,延长DA交GF于点K,若正方形ABCD边长为 ,则AK= .,答案 2 -3,解析 如图,延长BA交GF于点N.由旋转的性质得GBN=EBC=30,GB=AB= .在RtGBN 中,GB= ,GBN=30,BN= = =2,AN=BN-AB=2-
44、 . NAK=G=90,KNA+NKA=90,KNA+GBN=90,NKA=GBN=30(同角的 余角相等).在RtKAN中,AN=2- ,NKA=30,AK= = =2 -3.,评析 本题考查正方形的性质、旋转的性质和解直角三角形的有关知识,综合性较强.,4.(2017江苏扬州,24,10分)如图,将ABC沿着射线BC方向平移至ABC,使点A落在ACB的 外角平分线CD上,连接AA.(1)判断四边形ACCA的形状,并说明理由; (2)在ABC中,B=90,AB=24,cosBAC= ,求CB的长.,解析 (1)四边形ACCA为菱形,理由如下: ABC沿着射线BC方向平移至ABC, ACAC,
45、AACC, 四边形ACCA为平行四边形. AACC, AAC=ACC. ACA=ACC, ACA=AAC, AA=AC, 平行四边形ACCA为菱形. (2)在ABC中,B=90,cosBAC= ,AB=24, cosBAC= = ,AC=26,BC=10. 由(1)知四边形ACCA为菱形, CC=AC=26,且BC=BC=10,CB=26-10=16.,5.(2014重庆A卷,20,7分)如图,ABC中,ADBC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tanBAD= ,求sinC的值.,解析 ADBC,tanBAD= , (1分) tanBAD= ,AD=12, = , (2分) BD=9. (
46、3分) CD=BC-BD=14-9=5, (4分) 在RtADC中,AC= = =13, (6分) sin C= = . (7分),考点三 解直角三角形的应用,1.(2017广西南宁,11,3分)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东45方向,距离灯塔 60 n mile的A 处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东30方向上的B处,这时,B处与灯塔 P的距离为 ( )A.60 n mile B.60 n mile C.30 n mile D.30 n mile,答案 B 过点P作PCAB交AB于点C.依题意得APC=90-45=45,BPC=90-30=60,AP =60 n mile,PC=30 n mile,PB=2PC=60 n mile.,
