1、1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。 2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。 3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。,教学目标,1.共线向量定理:,复习回顾：,推论:,如果L为经过已知点A，且平行于已知向量 的直线，那么对任一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t，满足等式 ，其中向量 叫做直线L的方向向量,2.共面向量定理:,
2、推论:,空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使 或对空间任一点O，有 ,上面式叫做平面MAB的向量表达式,3.平面向量基本定理：,4.平面向量的正交分解及坐标表示,问题：,我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？,由此可知，如果 是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量 ，存在一个有序实数组 x,y,z使得我们称 为向量 在 上的分向量。,探究一. 空间向量基本定理：,思考：在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的结论 吗？,任意不共面的三个向量
3、都可做为空间的一个基底。,空间向量基本定理：,如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使,都叫做基向量,（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。,注意：对于基底a,b,c,除了应知道a,b,c不共 面，还应明确：,（2） 由于 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 。,（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。,应用举例,例1、已知向量a，b，c是空间的一个基底，那么向量ab，ab，c能构成空间的一个基底吗？为什 么？,解： ab，ab，c不共
4、面，能构成空间一个基底,假设ab，ab，c共面，则存在x，y，,使cx(ab)y(ab)，c(xy)a(xy)b.,从而由共面向量定理知，c与a，b共面,这与a、b、c不共面矛盾,ab，ab，c不共面,【反思感悟】 解有关基底的题，关键是正确理解概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底,向量基底的判断,以下四个命题中正确的是( ) A空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示 B若a，b，c为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量 CABC为直角三角形的充要条件是 D任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基 底,练习1,解析 ： 使用排除法因为空间中的任何一个向量都可
5、用其他三个不共面的向量来表示，故A不正确； ABC为直角三角形并不一定是角A，可能是角B，也可能是角C ，故C不正确； 空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确，故选B.,用基底表示向量,解：,【反思感悟】 利用空间的一个基底a，b，c可以表示出所有向量注意结合图形，灵活应用三角形法则、平行四边形法则,练习2,探究二、空间直角坐标系,二、空间向量的直角坐标系,x,y,z,O,e1,e2,e3,在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点，A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使 OA=xe1+ye2+ze3,在单位正交基底e1, e2, e3中与向量OA对应的有序实
6、数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.,x,y,z,O,A(x,y,z),e1,e2,e3,1、在空间坐标系o-xyz中， ( 分别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则 的坐标为 。 2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为 ，关于原点的对称点为 ，关于x轴的对称点为 ，关于y轴的对称点为 ，关于z轴的对称点为 ，,（1，-2，-3）,（2，-3,4），（2,3，-4），（-2，-3，-4）,（-2,3,4）,（2,3,4）,（-2,-3
7、,4）,（-2,3,-4）,练习3,例3.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB，PC的三等分点且PN2NC，AM2MB，PAAB1，求 的坐标,求空间向量的坐标,解 PA=AB=AD=1， 且PA垂直于平面ABCD，ADAB， 可设 ,以 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,【反思感悟】 空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线在空间体中不具备此条件时，建系后要注意坐标轴与空间体中相关直线的夹角,在直三棱柱 中，AOB= ，|AO| = 4，|BO|= 2， D为 的中点，以OA、OB、 所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求向量的坐标.,练习4,解：,课堂小结,1空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量,2.空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示,3.由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量.,(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个,C,1.,当堂检测,2.已知三棱锥ABCD. (1)化简 并标出化简结果的向量； (2)设G为BCD的重心，试用 ，表示向量 .,谢谢大家，再见！,祝同学们学习进步,
