1、椭圆及其标准方程,问题1：怎样才能判断图形是椭圆？怎样来画椭圆？,怎样画椭圆呢？,一、椭圆定义：,（大于|F1F2|）,几点说明：,则M点的轨迹是线段F1F2.,则M点的轨迹不存在.,通常这个常数记为2a，焦距记为2c,问题2：如何建立椭圆的方程？,O,r,设圆上任意一点P(x，y),以圆心O为原点，建立直角坐标系,两边平方，得,1.建系,2.设坐标,3.列等式,4.代坐标,坐标法,5.化简方程,椭圆方程的建立：,步骤一：建立直角坐标系,步骤二：设动点坐标,步骤四：代入坐标,步骤五：化简方程,步骤三：列等式,设椭圆的两个焦点分别为 F1，F2， 它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点 P到F1，
2、F2 的距离的和为2a(2a2c),以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1，F2的坐标分别为(c，0)，(c，0),步骤一：建立直角坐标系,设椭圆上任意一点P的坐标为(x，y) ，,步骤三：列等式,根据椭圆定义知：PF1PF22a，,步骤四：代入坐标,即： ,步骤二：设动点坐标,步骤五：化简方程,两边再平方得：a42a2cxc2x2a2x22a2cxa2c2a2y2，,整理得：(a2c2)x2a2y2a2(a2c2),移项得： ，,两边平方得：，,整理得： ,步骤五：化简方程,因为a2(a2c2) 0，所以两边同除以a2(a2c2)得：，,又因
3、为a2c20，所以可设a2c2 b2(b0)，于是得：,O,如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？,(ab0),(ab0),椭圆的标准方程的再认识：,（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的 平方和，右边是1。,（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。,（3）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。,例题精析,例1、填空： (1)已知椭圆的方程为： ，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;若CD为过左焦点F1的弦，则F2CD的周长为_,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,20,
4、(2)已知椭圆的方程为： ，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;曲线上一点P到F1的距离为3， 则点P到另一个焦点F2的距离等于_，则F1PF2的周长为_,2,1,(0,-1)、(0,1),2,1.求下列椭圆的焦点和焦距。,练,例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）满足a=4,b=1，焦点在X轴上的椭圆的标准方程为_,（2）满足a=4,b= ，焦点在Y轴上的椭圆的标准方程为_,或,c,变式：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。,解：由 4x2+ky2=1,因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆,即：0k4,所以k的取值范围为0k4。,例
5、3、已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4 m，外轮廓线上的点到两个焦点的距离和为3 m，求这个椭圆的标准方程,解：以两个焦点F1，F2所在的直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则这个椭圆的标准方程为,根据题意知，2a=3，2c=2.4，即a=1.5，c=1.2。所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81，因此椭圆的标准方程为,例4、将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线.,x2+（2y）2=4,所以x2+4y2=4,即,这就是变换后所得曲线的方程,它表示一个椭圆,平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。,2,推导椭圆的方程,定 义,图 形,方 程,焦 点,F(c，0),F(0，c),a,b,c 的关系,P|PF1+PF2=2a,2aF1F2,思考题,怎样判断焦点在哪个轴上?,m0,n0,当n m 0时,焦点在y轴上,当m n 0时,焦点在x轴上,且mn,怎样求此椭圆的标准方程?,1.你本节课有什么收获？2.对本节内容还有什么疑惑？,说一说,
