1、1.3.3 函数的最大(小)值与导数(二),第一章 1.3 导数在研究函数中的应用,学习目标,1.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围. 2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f(x)； (2)求极值嫌疑点：即f(x)不存在的点和f(x)0的点； (3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f(x)与f(x)随x变化的一览表； (4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值； (5)求区间端点的函数值； (6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，
2、得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值.,知识点 用导数求函数f(x)最值的基本方法,题型探究,类型一 由极值与最值关系求参数范围,例1 若函数f(x)3xx3在区间(a212，a)上有最小值，则实数a的取值范围是 A.(1， ) B.(1,4) C.(1,2 D.(1,2),解析,答案,解析 由f(x)33x20，得x1. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,又当x(1，)时，f(x)单调递减， 且当x2时，f(x)2.a2. 综上，1a2.,反思与感悟 函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内.,跟踪训练1 若函数f(x)x36bx3b在(0,1)内有最小值，则实
3、数b的取值范围是 A.(0,1) B.(，1)C.(0，) D.,解析,答案,解析 由题意得，函数f(x)x36bx3b的导数f(x)3x26b在(0,1)内有零点， 且f(0)0，即6b0，,(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；,类型二 与最值有关的恒成立问题,解答,解 由f(x)x3ax2bxc， 得f(x)3x22axb，,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,(2)若对x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求实数c的取值范围.,解答,因为f(2)2c，所以f(2)2c为最大值. 要使f(x)f(2)2c， 解得c2. 故实数c的取值范围为(，1)(2，).,引申探究
4、若本例中条件不变，“把(2)中对x1,2，不等式f(x)c2恒成立”改为“若存在x1,2，不等式f(x)c2成立”，结果如何？,因为存在x1,2，不等式f(x)c2成立，,解得cR.故实数c的取值范围为R.,解答,反思与感悟 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤,跟踪训练2 (1)已知函数f(x)2xln x，g(x)x2ax3对一切x(0，)，f(x)g(x)恒成立，则a的取值范围是_.,解析 由2xln xx2ax3，,(，4,当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增. h(x)minh(1)4.a4.,解析,答案,解答,所以f(1)1，所以L的方程为yx1.,证明：除切点(1,0)之
5、外，曲线C在直线L的下方.,证明 设g(x)x1f(x)，除切点外，曲线C在直线L的下方等价于x0且x1，g(x)0.,当01时，x210，ln x0，所以g(x)0， 故g(x)在(1，)上单调递增； 所以，x0且x1，g(x)g(1)0. 所以除切点外，曲线C在直线L的下方.,证明,达标检测,1,2,3,4,5,1.函数f(x)xex，x0,4的最大值是,解析,答案,解析 f(x)exxexex(1x)， 当0x1时，f(x)0，f(x)单调递增， 当1x4时，f(x)0，f(x)单调递减，,2.函数f(x)xln x的最小值为,解析 f(x)xln x，定义域是(0，)， f(x)1ln
6、 x，,1,2,3,4,5,解析,答案,3.已知函数f(x)exxa，若f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是 A.(1，) B.(，1) C.1，) D.(，1,解析 f(x)ex1， 令f(x)0，解得x0， 令f(x)0恒成立，则1a0，解得a1，故选A.,1,2,3,4,5,解析,答案,4.已知函数f(x)x33x22，x1，x2是区间1,1上任意两个值，M|f(x1)f(x2)|恒成立，则M的最小值是_.,4,解析 f(x)3x26x3x(x2)， 当1x0，f(x)单调递增， 当0x1时，f(x)0，f(x)单调递减， 所以当x0时，f(x)取得极大值，也为最大值，f(0)2， 又
7、f(1)2，f(1)0， 所以f(x)的最小值为2， 对1,1上任意x1，x2，|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min4， 所以M|f(x1)f(x2)|恒成立，等价于M4，即M的最小值为4.,1,2,3,4,5,答案,解析,5.已知函数f(x)ax4ln xbx4c(x0)在x1处取得极值3c，其中a，b，c为常数. (1)试确定a，b的值；,解 由f(x)在x1处取得极值3c知f(1)bc3c，得b3.,解答,1,2,3,4,5,由f(1)0，得a4b0，a4b12.,1,2,3,4,5,(2)讨论函数f(x)的单调区间；,解 由(1)知f(x)48x3ln x(x0). 令f(x)0，得x1. 当01时，f(x)0，f(x)为增函数. 因此，f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，).,解答,1,2,3,4,5,(3)若对任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求实数c的取值范围.,解 由(2)知f(1)3c既是极小值，也是(0，)内的最小值， 要使f(x)2c2(x0)恒成立，只需3c2c2，即2c2c30.,解答,1.若函数在开区间内存在最值，则极值点必落在已知区间内. 2.已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；若不能分离，则构造函数，利用函数的性质求最值.,规律与方法,
