1、数学奥林匹克高中训练题(177)第一试1、填空题（每小题 8 分，共 64 分）1. 在复数范围内，方程 的两根为 .若 ，则 .210()xpR、 1p2. 已知对任意的实数 均有 .则 的最大值为是.cos21abxab3. 已知数列 满足 .若数列的前 1000 项之和为 1000，则前 2014 项的1na21nn和为.4. 已知函数 ，实数 满足 .则 .32()675fxxab、 ()3,()2ffbab5. 圆锥的轴截面 是边长为 2 的等边三角形， 为底面中心， 为 的中点，动点SABOMSO在圆锥底面内（包括圆周）.若 ，则点 形成的轨迹的长度为.PMP6. 在平面直角坐标系
2、中，定义点 与 之间的“直角距离”为1(,)xy2(,)Q.若点 到 的直角距离相等，其中，实数1212(,)dQxyC369AB、满足 ，则所有满足条件的点 的轨迹的长度之和为.y、 0、7. 方程 的正整数解有组（ 表示整数 的最大公约数）.23(,)(,)xyx(,)xyxy、8. 某中学每层楼有 35 盏楼灯.现为了节约用电同时又要保证楼道的照明需要，要求：（1）相邻的两盏楼灯不能同时开；（2）任意连续三盏楼灯不能同时关.若请你设计不同的照明方式，你最多能设计种不同的照明方式.二、解答题（共 56 分）9.（16 分）已知多项式 ，其中，432()2(7)(5)(17)35fxaxax
3、ax为实数.证明：对任意的实数 ，方程 总有一个相同的实数根.a 0f10. （20 分）已知 （ 为非零常数）为抛物线 上一点，过 作两条倾斜2(,4)Pa28yxP角互补的直线与抛物线交于另两点 .AB、（1）证明：直线 的斜率为定值；（2）若点 位于 轴上方， 位于 轴下方，求 面积的最小上界.Px、 xPAB11.（20 分）已知正实数 满足 .求 的取值范围.ab、 2214,15abab加 试一、 （40 分）如图 1， 和 满足如下条件： 分别是线段 的中点，ABCPQRAP、 QRBC、分别是 的内角平分线.证明： .QRBC、 、 B2、 （40 分）已知 为正整数，方程 abcde、 、 、 、 543225704axbcxdex有正整数解.证明：存在无穷多个正整数 使得 .k543261(7)kekcbka三、 （50 分）若 ，且满足 ，证明： ，其中，abc+R、 、 2abc2ab“ ”表示轮换对称和.四、 （50 分）求 的最大值，使得从一个 元集的子集中可以选出 个不同的子集mnm，满足 对所有 成立.12,A ()ikjA1ijk
