1、数学奥林匹克高中训练题(193)第一试1、填空题（每小题 8分，共 64分）1. 复数 满足 .则 .z1205izz2. 函数 的最大值为.2()()4xf3. .002(sin36i7)A4. 圆锥曲线 的离心率为.21xy5. 已知实数 满足 .则 的最大值为.、 2205)(1)xy（ xy6. 设 为正四面体 的高 的中点.则二面角 的弧度数 为.MABCD1AMBC7. 从集合 中任取元素 （可以相同）.则 的个位数字是 3的概率1,20 mn、 23mn为.8. 甲、乙、丙三人的年龄数 之和为 120，且 .则有序数组xyz、 、 206xyz、 、 （ ， ）的个数为.(,)x
2、yz二、解答题（共 56分）9.（16 分）求方程 的所有实数解.280x10.（20 分）证明：（1）对任意正整数 ，均有 ；n1523n（2）对任意正整数 ，均有 .1n1nkke11.（20 分）设椭圆 上有三个动点 ，且 两点关于坐标原点对称.2169xyPQR、 、 、求 的最大值.RPQ加 试一、 （40 分）如图 1，已知动点 在圆 的劣弧 上， 为优弧 的中点，过点 的切DABCABD线分别与过点 的切线交于点 ，联结 ，与弦 分别交于点 .证AB、 EF、 、 GH、明： .2GH二、 （40 分）已知正实数 满足 .证明： ，其中， “abcd、 、 、 1abcd2167a”表示轮换对称和.三、 （50 分）求满足 的素数 .(2)pqp、四、(50 分)给凸多面体的每个顶点定义一个曲解.将项点所有面角之和关于 的补角称为该2顶点的曲角（如正方体顶点的曲角为 ，正四面体顶点的曲角为 ）.证明：凸多面体所有2顶点的曲角之和等于 .4
