1、数学奥林匹克高中训练题(178)第一试1、填空题（每小题 8 分，共 64 分）1. 袋内有 8 只白球和 2 只红球，每次从中随机取出一只球，然后放回 1 只白球.则第四次恰取完所有红球的概率为.2. 已知函数 ，且存在 使 在 上的值域为 .则()fxk()ab、 (fx,ab,ab实数 的取值范围为.k3. 在正四棱锥 中，已知 ，且侧面 与侧面 所成二面角大小为PABCD3ABPADC.则该四棱锥外接球的体积为.324. 函数 的最小值为.22()45fxx5. 方程 的解集为.sin1cos)36. 记 表示不超过实数 的最大整数， 则在这 100 个整数xx2014(,10)kak
2、中，不同的整数的个数为.7. 设 是集合 的两个不同子集，使得集合 不是集合 的子集， 也不AB、 ,abcdeAB是集合 的子集.则不同的有序集合对 的组数为.(,)AB8.函数 的最小值为 1，最大值为 6.则654222614mxnxnxy.二、解答题（共 56 分）9.（16 分）已知函数 记函数 的值域为 ，且实数321,;12()7,0,.6xf()fxA.证明： .abcA、 、 4abcca10.（20 分）已知点 ， 的周长为 6，动点 的轨迹为曲线 ， 是(1,0)(,MNQQCP圆 上任一点（不在 轴上） ， 分别与曲线 切于点 .求 面24xyxPAB、 CAB、 O积
3、的最大值（ 为坐标原点）.O11.（20 分）设 为正整数，数列 满足 .证明：rna211(1), ,)rnan对任意正整数 均为正整数.,na加 试一、 （40 分）如图 1，在等腰 中， ， 为斜边 的中点， 为直角边RtABC09MABN的中点，联结 ，过点 作 ，垂足为 .证明： .ACNHN2CH二、 （40 分）对一堆 100 粒的石子进行如下操作：每次任选石子数大于 1 的一堆任意分成不空的两堆，直到每堆 1 粒（100 堆）为止.证明：（1）无论如何操作，必有某个时刻存在 20 堆，其石子总数为 60；（2）可以进行适当地操作使得任何时刻不存在 19 堆，其石子总数为 60.三、 （50 分）记 表示不超过实数 的最大整数.证明：xx（1）方程 的解为整数；3223（2）方程 有非整数解.3223xx四、 （50 分）求所有正整数 使得多项式 在某三个相继整数处均取整数值.ab、5()xafb
