1、数学奥林匹克高中训练题(181)第一试1、填空题（每小题 8分，共 64分）1. 在金属丝制作的 的长方体框架中放置一个球，则该球的半径的最大值为.3472. 双曲线的左、右两焦点分别为 ，一条过 的直线与双曲线的右支交于 两点.若12F、 2 AB、为正三角形，则双曲线的离心率为.1FAB3. 已知正实数 满足 .则 的最大值为.abc、 、 1c3abc4. 从九名同学中先出五名组成班选会，要求甲、乙两人要么同时入选，要么同时不入选，丙、丁两人不同时入选.则符合要求的选法共有种（用数字作答）.5. 在等腰 中，已知 ，点 分别在边 上，且ABC5BCDEF、 、 ABC、 、.若 ，则 的
2、取值范围是 .1DEF216DAA6. 圆周上每个点均被染为红、黄、蓝三色之一，并且三种颜色的点均出现.现从圆周上任取 个点.若其中总存在三个点构成三个顶点同色的钝角三角形，则 的最小可能值为.n n7. 已知 .则 的最大值为 .0,、 sin()sin8. 设 .若 ，则 的取值集合为.231nioaxx21二、解答题（共 56分）9.（16 分）求函数 的值域.22()43fxx10.（20 分）如图 1，在平面直角坐标系 中，以 为圆心的圆与双曲线 交于点xOyP1xy.记线段 的中点分别为 .证明：四边形 为平行四边形.ABCD、 、 、 ABC、 EF、 OEPF11. （20 分
3、）已知数列 满足 ，并且对任意的 取 或 的概率na101,na1na均为 .12（1）设 的值为随机变量 ，试求 的概率分布；2naX（2）求 的绝对值的数学期望 .XE加 试一、 （40 分）如图 2，在 中， ，圆 是 的外接圆，圆 过点 且与ABCABC1B切于点 ，圆 过点 且与 切于点 ，圆 与圆 交于 两点，射线 与AC12D、圆 交于点 ，射线 与圆 交于点 （点 均不与 重合） ，直线 与 交于2ED1FE、 FCE点 .证明： .PBCA二、 （40 分）设 为正整数数列,且对任意满足 的正整数 ,存在正整12c 1nimcn、数 ，使得 .试对每一个固定的 ,求 的最大值.12,na 1nicma()iZi三、 （50 分）证明：存在无穷多个正整数 ,使得 ，其中, 表示不超过n5nx实数 的最大整数.x四、(50 分)已知有 支足球队参加单循环赛,每两队赛一场,每场胜方得 3分,负方得(4)n0分,平局各得 1分.所有比赛结束后发现,各队的总分构成公差为 1的等差数列,求最后一名得分的最大值.
