1、数学奥林匹克高中训练题(194)第一试1、填空题（每小题 8 分，共 64 分）1. 如图 1，平行于 轴的直线分别与函数 及 的图像交于点y12logyx2logyx，点 为 函数 图像上一点.若 为正三角形，则 .BC、 (,)Amn2ABCnm2. 在 中，已知 所对的边长分别为 ，边 上的高B、 、 abc、 、 BC.则 的取值范围是.12Da2()bc3. 从 中选出三个不同的角度使其松成某个三角形的三个内角，一共有 种不00,79同的选法.4. 已知复数 满足 ，且 .则 的最小值 为.12z、 125arg6z12z12zt5. 方程 的解集为.43423(sini)(cos)
2、cosxxx6. 已知实数 满足 .则 的最小值为.y、 221y2y7. 如图 2，已知 为椭圆 上三点， 为原点 ，ABC、 、2(0)xabABO过右焦点 .若 ，且 则 椭圆的离心率为.CFAFC8. 设 . 则函数 的零点个数0 1()215,()()nnfxfxfZ2015()yfx为.二、解答题（共 56 分）9.（16 分）已知二次函数 满足 .当 时，求()fx(0)2,(),(2)fff2,x的最大值.()yfx10.（20 分）如图 3，中心在坐标原点和焦点分别在 轴、 轴上的椭圆 均过点xy12C、，且椭圆 的离心率均为 .过点 作两条斜率分别为 的直线，(0,2)M1
3、2C、 2Mk、分别与椭圆 交于点 .当 时，直线 是否过定点？若过定点，求出定点12、 PQ、 4kPQ坐标；若不过定点，请说明理由.11.（20 分）已知数列 满足 .证明：当na010,2()1()nn kkaanN时，有 .1n127n加 试1、 （40 分）如图 4，已知 为锐角 内一点， 在 上的投影分别为OABCOBCA、 、，过点 分别作 的垂线交于点 ， 在 上的投影为 .证明：1ABC、 、 、 11、 PH（1） ；1P（2） 四点共圆.1ABCH二、 （40 分）已知正实数 满足 .证明：abc、 、 cab.222113a三、 （50 分）在空间直角坐标系中，若一个点的三个坐标均为整数，则称该点为“格点”.若两个格点有两个对应的坐标相等，剩下的一个坐标恰相差 1，则称这两个格点是“相邻”的.最初在原点 处放置一枚棋子，进行如下操作：若一枚棋子所在的格点有三个未放置(0,)O棋子的相邻的格点，则可以将该棋子取走并在那三个未放置棋子的相邻的格点处各放上一枚棋子.问：能否经过有限次操作，使得所有棋子的坐标 满足 ？(,)xyz6xyz四、(50 分)给定素数 以及正整数 .求所有的正整数 ，满足p()kp(1)np中恰有 个数被 整除.11,(,21iinnCn
