1、12.4.1 抛物线的标准方程基础达标1已知抛物线的准线方程是 x7，则抛物线的标准方程是_解析：由题意，设抛物线的标准方程为 y22 px(p0)，准线方程是 x ，则p2 7，解得 p14，故所求抛物线的标准方程为 y228 x.p2答案： y228 x2已知抛物线 y22 px(p0)的准线与圆 x2 y26 x70 相切，则 p 的值为_解析：抛物线的准线为 x ，p2将圆的方程化简得到( x3) 2 y216，准线与圆相切，则 1 p2.p2答案：23以双曲线 1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_x216 y29解析：双曲线的方程为 1，x216 y29右顶点为(4,0)设抛物线
2、的标准方程为 y22 px(p0)，则 4，即 p8，p2抛物线的标准方程为 y216 x.故填 y216 x.答案： y216 x4抛物线 x24 ay(a0)的准线方程为_解析：抛物线的焦点在 y 轴上，准线方程为 y ，即 y a.4a4答案： y a5过抛物线 y24 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A， B 两点若 AF3，则BF_.解析：抛物线 y24 x 的准线为 x1，焦点为 F(1,0)，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)由抛物线的定义可知 AF x113，所以 x12，所以 y12 ，由抛物线关于 x 轴对称，2假设 A(2,2 )由 A， F， B 三点共线
3、可知直线 AB 的方程为 y02 (x1)，代入抛物线2 2方程消去 y 得 2x25 x20，求得 x2 或 ，所以 x2 ，故 BF .12 12 32答案：326已知 F 是拋物线 y2 x 的焦点， A， B 是该抛物线上的两点， AF BF3，则线段 AB的中点到 y 轴的距离为_解析：过 A， B 分别作准线 l 的垂线 AD， BC，垂足分别为 D， C， M 是线段 AB 的中点，MN 垂直准线 l 于 N，由于 MN 是梯形 ABCD 的中位线2所以 MN .AD BC2由抛物线的定义知 AD BC AF BF3，所以 MN ，又由于准线 l 的方程为32x ，所以线段 AB
4、 中点到 y 轴的距离为 ，故填 .14 32 14 54 54答案：547平面上动点 P 到定点 F(1,0)的距离比 P 到 y 轴的距离大 1，求动点 P 的轨迹方程解：设 P(x， y)，则有 | x|1，两边平方并化简得 y22 x2| x|. x 1 2 y2 y2Error!故点 P 的轨迹方程为 y24 x(x0)或 y0( x0)上一点 A(m,4)到其焦点的距离为 ，求 p 与 m 的值174解：(1)抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，抛物线的方程为标准方程又点 P(4,2)在第一象限，抛物线的方程设为 y22 px， x22 py(p0)当抛物线为 y22 px 时
5、，则有 222 p4，故 2p1， y2 x；当抛物线为 x22 py 时，则有 422 p2，故 2p8， x28 y.综上，所求的抛物线的方程为 y2 x 或 x28 y.(2)由抛物线方程得其准线方程 y ，根据抛物线定义，点 A(m,4)到焦点的距离等p2于它到准线的距离，即 4 ，解得 p ；抛物线方程为： x2 y，将 A(m，4)代入p2 174 12抛物线方程，解得 m2.能力提升1在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y24 x 的焦点 F，且与该抛物线相交于A， B 两点其中点 A 在 x 轴上方，若直线 l 的倾斜角为 60，则 OAF 的面积为_解析：直线 l
6、的方程为 y (x1)，即 x y1，代入抛物线方程得333y2 y40，解得 yA 2 (yB0， b0)的一个焦点，并与双x2a2 y2b2曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为 ，求抛物线与双曲线的方程(32， 6)解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点， p2 c.设抛物线方程为 y24 cx，抛物线过点 ，6 4c . c1，(32， 6) 32故抛物线方程为 y24 x.又双曲线 1 过点 ，x2a2 y2b2 (32， 6) 1.又 a2 b2 c21， 1.94a2 6b2 94a2 61 a2 a2 或 a29(舍去)14 b2 ，故双曲线方程
7、为：4 x2 1.34 4y234设抛物线 C： x22 py(p0)的焦点为 F，准线为 l， A 为 C 上一点，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B， D 两点(1)若 BFD90， ABD 的面积为 4 ，求 p 的值及圆 F 的方程；2(2)若 A， B， F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m， n 距离的比值解：(1)由已知可得 BFD 为等腰直角三角形， BD2 p，圆 F 的半径 FA p.2由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d FA p.2因为 ABD 的面积为 4 ，所以 BDd4 ，2
8、12 2即 2p p4 ，解得 p2(舍去)或 p2.12 2 2所以 F(0,1)，圆 F 的方程为 x2( y1) 28.(2)因为 A、 B、 F 三点在同一直线 m 上，所以 AB 为圆 F 的直径， ADB90.由抛物线定义知 AD FA AB，12所以 ABD30， m 的斜率为 或 .33 33当 m 的斜率为 时，由已知可设 n： y x b，代入 x233 332py 得 x2 px2 pb0.233由于 n 与 C 只有一个公共点，故 p28 pb0，434解得 b .p6因为 m 的截距 b1 ， 3，p2 |b1|b|所以坐标原点到 m， n 距离的比值为 3.当 m 的斜率为 时，由图形对称性可知，坐标原点到 m、 n 距离的比值为 3.33综上，坐标原点到 m， n 距离的比值为 3.
