1、13.1.1 空间向量及其线性运算基础达标给出下列命题：1.将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；零向量没有方向；空间中任意两个单位向量必相等其中假命题的个数是_答案：3化简：( )( )_2. AB CD AC BD 解析：法一：将向量减法转化为向量加法进行化简( )( ) ( )( )AB CD AC BD AB CD AC BD AB DC CA BD AB BD DC CA 0.AD DA 法二：利用 ， 进行化简AB AC CB DC DB BC ( )( ) ( )( ) 0.AB CD AC BD AB CD AC BD AB AC DC DB CB
2、BC 法三：利用 的关系进行化简MN ON OM 设 O 为平面内任意一点，则有( )( ) ( )( )( )( )AB CD AC BD AB CD AC BD OB OA OD OC OC OA OD OB 0.OB OA OD OC OC OA OD OB 答案：0已知正方体 ABCD A B C D的中心为 O，则下列命题中正确的共有_3.个 与 是一对相反向量；OA OD OB OC 与 是一对相反向量；OB OC OA OD 与 是一对相反向量；OA OA OC OC 与 是一对相反向量OA OB OC OD OA OB OC OD 解析：如图，对于， ( )，故正确；OA OD
3、 C O B O OB OC 对于， ， ，因 ，故不正确；OB OC CB OA OD D A CB DA 对于， ， ，因 ，故正确；OA OA AA OC OC C C AA C C 对于， OA OB OC OD C O D O A O B O 2( )，故正确OA OB OC OD 答案：3如图所示，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， M 为 AC 与 BD 的交点，若 a，4. A1B1 b， c，则下列向量中与 为相反向量的是_(填序号)A1D1 A1A B1M a b c；12 12 a b c；12 12 a b c；12 12 a b c.12 12解析：因为 (
4、 ) c ( a b) a b c，所以与B1M B1B BM A1A 12BA BC 12 12 12为相反向量的是 a b c.B1M 12 12答案：四面体 O ABC 中， a， b， c， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，则5. OA OB OC _(用 a， b， c 表示)OE 解析：如图所示：由三角形法则，得 b a，AB OB OA c b，BC OC OB 所以 (c b)，BD 12BC 12 b c a，AD AB BD 12 12故 b c a，AE 12AD 14 14 12所以 a b c.OE OA AE 12 14 14答案： a b c12 1
5、4 14已知点 G 是正方形 ABCD 的中心， P 是正方形 ABCD 所在平面外一点，则6.3 等于_PA PB PC PD 解析： 2 ， 2 ，所以 4 .PA PC PG PB PD PG PA PB PC PD PG 答案：4 PG 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，设 a， b， c，则向量 可用7. AB AD AA1 D1B a， b， c 表示为_解析：如图， ( ) a b c.D1B BD1 BA BC BB1 AB BC BB1 AB AD AA1 答案： a b c8.如图，四棱柱的上底面 ABCD 中， ，下列向量相等的一组是_(填序号)AB DC 与
6、； 与 ； 与 ； 与 .AD CB OA DC AC DB DO OB 解析： ，| | |，且 AB DC.即四边形 ABCD 为平行四边形，由平行四AB DC AB DC 边形的性质知 .DO OB 答案：9.如图，在空间四边形 A BCD 中，点 M、 G 分别是 BC、 CD 的中点化简：(1) ( )；AB 12BC BD (2) ( )AG 12AB AC 解：(1)原式 ；AB BM MG AG (2)原式 ( )AB BM MG 12AB AC ( ) .BM MG 12AB AC BM MG MB MG 已知四面体 ABCD 中， G 为 BCD 的重心， E、 F、 H
7、分别为边 CD、 AD 和 BC 的中点，10.化简下列各式：4(1) ；(2) ( )AG 13BE 12CA 12AB AC AD 解：(1)如图所示，由 G 是 BCD 的重心知， .又 E、 F 为中点，GE 13BE EF AC， .12 12CA EF .AG 13BE 12CA AG GE EF AF (2)由向量加法的平行四边形法则及几何意义知( ) ， ，12AB AC AH 12AD AF ( ) .12AB AC AD AH AF FH 能力提升1.如图，平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， E、 F 分别在 B1B 和 D1D 上，且BE BB1， DF DD1，
8、若 x y z ，则 x y z_13 23 EF AB AD AA1 解析：在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，有 ，AA1 BB1 CC1 于是 ( )( )EF AF AE AD DF AB BE AB AD 23DD1 13BB1 ，AB AD 13AA1 又 x y z ，EF AB AD AA1 x1， y1， z ， x y z .13 13答案：13已知空间四边形 ABCD， E， F 分别是 AB 与 AD 边上的点， M， N 分别是 BC 与 CD 边上2.的点，若 ， ， ， ，则向量 与 的关系为_AE AB AF AD CM CB CN CD EF MN 解
9、析： ，即 ，同理 ，因为 ，AE AF AB AD DB FE DB NM DB DB DB 所以 ，即 .又 与 不一定相等，故| |不一定等于| |，所以 .FE NM EF MN MN EF EF MN 5答案： EF MN 已知： a3 m2 n4 p0， b( x1) m8 n2 yp，且 m， n， p 不共面，若 a b，3.求 x， y 的值解： a b，且 a0， b a，( x1) m8 n2 yp3 m2 n4 p.又 m， n， p 不共面， ， x13， y8.x 13 8 2 2y 4(创新题)已知六面体 ABCD A B C D是平行六面体4.(1)化简 ，并在
10、图中标出其结果；12AA BC 23AB (2)设 M 是底面 ABCD 的中心， .设 ，试求BN 34BC MN AB AD AA 、 、 的值解：(1)如图，取 AA的中点为 E，则 ，又 ， ，取 F 为12AA EA BC A D AB D C D C的一个三等分点使 ，则 ，所以 D F 23D C D F 23AB 12AA BC 23AB EA (说明：表示法不惟一)A D D F EF (2) ( ) ( ) ( ) ( )MN MB BN 12DB 34BC 12DA AB 34BC CC 12 AD AB 34AD AA ，所以 ， ， .12AB 14AD 34AA 12 14 34
