1、12.3.1 双曲线的标准方程基础达标1双曲线 8kx2 ky28 的一个焦点为(0,3)，那么 k的值是_解析：焦点在 y轴上，所以双曲线的标准方程是 1， k0， b0)x2a2 y2b2由题意，得 B(2,0)， C(2,3)Error! ，解得Error! ，双曲线的标准方程为 x2 1.y23答案： x2 1y234设 P为双曲线 x2 1 上的一点， F1， F2是该双曲线的两个焦点，若y212PF1 PF232，则 PF1F2的面积为_解析：双曲线的 a1， b2 ， c .3 13设 PF13 r， PF22 r. PF1 PF22 a2， r2.于是 PF16， PF24.
2、PF PF 52 F1F ，故知 PF1F2是直角三角形，21 2 2 F1PF290. S PF1F2 PF1PF2 6412.12 12答案：125已知双曲线 x2 y21，点 F1， F2为其两个焦点，点 P为双曲线上一点，若PF1 PF2，则 PF1 PF2的值为_解析：不妨设点 P在双曲线的右支上，因为 PF1 PF2，所以(2 )2 PF PF ，又因2 21 2为 PF1 PF22，所以( PF1 PF2)24，可得 2PF1PF24，则( PF1 PF2)2 PF PF 21 222 PF1PF212，所以 PF1 PF22 .3答案：2 36已知 F是双曲线 1 的左焦点，
3、A(1,4)， P是双曲线右支上的动点，则x24 y212PF PA的最小值为_解析：设双曲线的右焦点为 F1，则由双曲线的定义可知 PF2 a PF14 PF1， PF PA4 PF1 PA.当 PF PA最小时需满足 PF1 PA最小由双曲线的图象可知当点 A、 P、 F1共线时，满足 PF1 PA最小，易求得最小值为 AF15，故所求最小值为 9.答案：97在 ABC中，已知 AB4 ，且 2sin Asin C2sin B，求顶点 C的轨迹方程2解：如图，以 AB所在的直线为 x轴， AB的垂直平分线为 y轴建立平面直角坐标系，则 A(2 ，0)， B(2 ，0)，2 2由正弦定理得
4、sin A ，sin B ，sin C (a， b， c分别为 A， B， Ca2R b2R c2R所对的边)，2sin Asin C2sin B，2 a c2 b，即 b a ，从而有 CA CB AB2 )x22 y26 28已知 P为椭圆 1 上一点， F1， F2是椭圆的焦点， F1PF260，求x225 4y275F1PF2的面积解：在 PF1F2中， F1F PF PF 2 PF1PF2cos 60，2 21 2即 25 PF PF PF1PF2，21 2由椭圆的定义得 10 PF1 PF2，即 100 PF PF 2 PF1PF2，21 2所以 PF1PF225，所以 S F1P
5、F2 PF1PF2sin 60 .12 2534能力提升1若椭圆 1( mn0)和双曲线 1( a0， b0)有相同的焦点 F1， F2， Px2m y2n x2a2 y2b2是两条曲线的一个交点，则 PF1PF2的值是_解析： PF1 PF22 ，| PF1 PF2|2 a，m所以 PF PF 2 PF1PF24 m， PF 2 PF1PF2 PF 4 a2，两式相减得：21 2 21 24PF1PF24 m4 a2， PF1PF2 m a2.答案： m a22已知双曲线的方程是 1，点 P在双曲线上，且到其中一个焦点 F1的距离为x216 y2810，另一个焦点为 F2，点 N是 PF1的
6、中点，则 ON的大小( O为坐标原点)为_3解析：连结 ON(图略)， ON是三角形 PF1F2的中位线，所以 ON PF2，因为12|PF1 PF2|8， PF110，所以 PF22 或 18，所以 ON PF21 或 9.12答案：1 或 93已知在周长为 48的 Rt MPN中， MPN90，tan PMN ，求以 M， N为焦点，34且过点 P的双曲线的标准方程解：由 Rt MPN的周长为 48，且 tan PMN ，设 PN3 k， PM4 k，则34MN5 k,3k4 k5 k48，得 k4，则 PN12， PM16， MN20.以 MN所在直线为 x轴，以线段 MN的中垂线为 y
7、轴，建立平面直角坐标系，由 PM PN42 a，得 a2， a24，由 MN20 得 2c20， c10，则 b2 c2 a296，所以所求双曲线方程为 1.x24 y2964在抗震救灾行动中，某部队在如图所示的 P处空降了一批救灾药品，急需把这批药品沿道路 PA， PB送到矩形灾民区 ABCD中去，已知 PA100 km， PB150 km， BC60 km， APB60，试在灾民区确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路 PA送药较近，而另一侧的点沿道路 PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程解：灾民区 ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路 PA送药较近，第二类沿道路 P
8、B送药较近，第三类沿道路 PA， PB送药一样远近，由题意可知，界线应该是第三类点的轨迹设 M为界线上的任意一点，则有 PA MA PB MB，即 MA MB PB PA50(定值)界线为以 A， B为焦点的双曲线的右支的一部分如图所示以 AB所在直线为 x轴，线段 AB的垂直平分线为 y轴，建立直角坐标系，设所求双曲线的标准方程为 1( a0， b0)，x2a2 y2b2 a25，2c AB 50 ，1002 1502 2100150cos 60 7 c25 ， b2 c2 a23 750，7双曲线方程为 1，因为 C的坐标为(25 ，60)，所以 y的最大值为x2625 y23 750 760，此时 x35.因此界线的曲线方程为 1(25 x35， y0)x2625 y23 750
