1、1第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角A 级 基础巩固一、选择题1已知点 A(1,2)， B(2,3)， C(2,5)，则 等于( B )AB AC A1 B0 C1 D2解析 (2,3)(1,2)(1,1)， (2,5)(1,2)(3,3)，AB AC 1(3)130AB AC 2已知 a(2,3)， b(4,7)，则 a 在 b 上的投影为( C )A B13135C D655 65解析 a(2,3)， b(4,7)， ab2(4)3713，| a| ，| b|13， cos . a 在 b 上的射影为| a|cos 65ab|a|b| 55 13 55 6553
2、已知 a(1,3)， b(2，1)且( ka b)( a2 b)则 k( C )A B 43 43C D34 34解析 由题意知( ka b)(a2 b)0，而 ka b(2 k,3k1)，a2 b(5,5)，故5(2 k)5(3 k1)0，解得 k 344已知 a(1， n)， b(1， n)若 2a b 与 b 垂直，则| a|( C )A1 B 2C2 D4解析 由 2a b 与 b 垂直，得(2 a b)b0，即 2ab b20故 2(1 n2)(1 n2)0，解得 n232所以，| a| 21 n2 1 35已知向量 a(2,1)， ab10，| a b|5 ，则| b|等于( C
3、)2A B 5 10C5 D25解析 a(2,1)， ab10，| a b|5 ，( a b)250 a22 ab b2，可2得| b|56已知向量 a(1,2)， b(2，3)，若向量 c 满足(c a) b， c( a b)，则 c( D )A( ， ) B( ， )79 73 73 79C( ， ) D( ， )73 79 79 73解析 不妨设 c( m， n)，则 a c(1 m,2 n)， a b(3，1)，对于( c a) b，则有3(1 m)2(2 n)又 c( a b)，则有 3m n0， m ， n ，故选79 73D二、填空题7已知 a(1， )， b(2,0)，则| a
4、 b|_2_3解析 因为 a b(1， )，3所以| a b| 2 1 2 3 28若 a(3，1)， b( x，2)，且 a， b ，则 x_1_ 4解析 cos ，解得 x1 或 x4(舍) 4 3x 210x2 4三、解答题9已知 a(1,2)， b(3,2)，若 ka b 与 a3 b 垂直，求 k 的值解析 ka b k(1,2)(3,2)( k3,2 k2)，a3 b(1,2)3(3,2)(10，4)又 ka b 与 a3 b 垂直，故( ka b)(a3 b)0即( k3)10(2 k2)(4)0 得 k1910已知 a( ，1)， b(2,2 )3 3(1)求 ab；(2)求
5、a 与 b 的夹角 解析 (1) ab2 2 4 3 3 3(2)cos x1x2 y1y2x21 y21x2 y23 ，433 14 12 32又0 180， 30B 级 素养提升一、选择题1已知向量 a( ，1)， b 是不平行于 x 轴的单位向量，且 ab ，则 b 等于( 3 3B )A B(32， 12) (12， 32)C D(1,0)(14， 334)解析 方法 1：令 b( x， y)(y0)，则Error!将代入得 x2( x)21，即 2x23 x10，3 3 x1(舍去，此时 y0)或 x y 12 32方法 2：排除法，D 中 y0 不合题意；C 不是单位向量，舍去；代
6、入 A，不合题意，故选 B2(2016全国，文)已知向量 ( ， )， ( ， )，则 ABC( A )BA 12 32 BC 32 12A30 B45 C60 D120解析 由题意得 cos ABC ，所以 ABC30，BA BC |BA |BC |1232 32 1211 32故选 A3设 x、 yR，向量 a( x,1)， b(1， y)， c(2，4)且 a c， b c，则|a b|( B )A B 5 10C2 D105解析 由 a c，得 2x40 则 x2，由 b c 得42 y 则 y2，|a b| 2 1 2 1 2 2 104已知向量 a(2cos ，2sin )， b(
7、0，2)， ，则向量 a、 b 的夹( 2， )角为( A )4A B 32 2C D 2解析 由三角函数定义知 a 的起点在原点时，终点落在圆 x2 y24 位于第二象限的部分上( )，设其终点为 P，则 xOP ， 2 a 与 b 的夹角为 32二、填空题5已知两个单位向量 a、 b 的夹角为 60， c ta(1 t)b，若 bc0，则t_2_解析 | a| b|1， a， b60， ab ，| b|21，12 bc tab(1 t)b2 t(1 t)1 t0， t212 126 ABO 三顶点坐标为 A(1,0)、 B(0,2)、 O(0,0)、 P(x， y)是坐标平面内一点，满足
8、0， 0，则 的最小值为_3_AP OA BP OB OP AB 解析 ( x1， y)(1,0) x10，AP OA x1， x1， ( x， y2)(0,2)2( y2)0， y2BP OB ( x， y)(1,2)2 y x3OP AB 三、解答题7已知平面向量 a(3,4)， b(9， x)， c(4， y)，且 a b， a c(1)求 b 和 c；(2)若 m2 a b， n a c，求向量 m 与向量 n 的夹角的大小5解析 (1) a b，3 x360. x12 a c，344 y0. y3 b(9,12)， c(4，3)(2)m2 a b(6,8)(9,12)(3，4)，n
9、a c(3,4)(4，3)(7,1)，设 m， n 的夹角为 ，则 cos mn|m|n| 37 4 1 3 2 4 272 12 25252 22 0， ，即 m， n 的夹角为 34 348已知 a(1,0)， b(0,1)，当 k 为整数时，向量 m ka b 与 n a kb 的夹角能否为 60？证明你的结论解析 假设 m、 n 的夹角能为 60，则 cos60 ，mn|m|n| mn |m|n|. 12又 a(1,0)， b(0,1)，| a| b|1，且 ab0 mn ka2 ab k2ab kb22 k， |m|n| k21. k2a2 2kab b2 a2 2kab k2b2由
10、，得 2k (k21) k24 k1012该方程无整数解 m、 n 的夹角不能为 60C 级 能力拔高设( a2 b2)(m2 n2)( am bn)2，其中 mn0，求证： am bn解析 由题中所给式子联想到向量的夹角公式和模长公式，故可构造向量 c( a， b)，d( m， n)，然后用向量知识求解方法一 设 c( a， b)， d( m， n)，则| c|2 a2 b2，| d|2 m2 n2， cd am bn( a2 b2)(m2 n2)( am bn)2，6| c|2|d|2( cd)2，即 cd |c|d|， cd ， an bm0，即 an bm又 mn0， am bn方法二 设 c( a， b)， d( m， n)， c 与 d 的夹角为 ，则 cos2 ()2am bna2 b2m2 n2由条件知 1， am bn 2 a2 b2 m2 n2cos 2 1，即 0或 180，即 cd ，于是有 an bm0又 mn0， am bn
