1、- 1 -2.3 幂函数【选题明细表】知识点、方法 题号幂函数的定义 2,4,12幂函数的图象 3,6,7,10幂函数的性质 1,5,8,9,11,12,13,14,151.下列幂函数在(-,0)上为减函数的是( C )(A)y= (B)y=x3(C)y=x2 (D)y=x解析:y= ,y=x3,y=x在(-,0)上都是增函数,故选 C.2.幂函数 f(x)=(m2-4m+4) 在(0,+)为减函数,则 m的值为( C )(A)1或 3 (B)1 (C)3 (D)2解析:因为 f(x)=(m2-4m+4) 为幂函数,所以 m2-4m+4=1,解得 m=3或 m=1.由 x(0,+)时幂函数为减
2、函数,则 m2-6m+8m0(D)mn0解析:由题图及其单调性可得 mb=( ) .因为函数 f(x)= 在(0,+)上单调递减,所以 b=( ) c=( ) ,所以 abc.故选 B.6.已知幂函数 f(x)=x 的图象经过点(2, ),则 f(4)的值等于 . 解析:由 f(x)=x 的图象经过点(2, ),得 =2 ,所以 =- ,则 f(4)= =2-1= .答案:7.函数 y=x +2(x0)的图象恒过定点 . 解析:由 x=1,y=3得图象过定点(1,3).答案:(1,3)8.若幂函数 f(x)的图象过点(4, ),则 f(x)的值域为 . 解析:由题意设 f(x)=xm,由点(4
3、, )在函数图象上得 4m= ,解得 m=-2.所以 f(x)=x-2= ,故其值域为(0,+).答案:(0,+)9.已知(m 2+m (3-m ,求实数 m的取值范围.解:设函数 y= ,函数为 R上的单调递增函数,得 m2+m-m+3,即 m2+2m-30,得(m-1)(m+3)0,所以 m的取值范围为 m-3,1.10.下列结论中,正确的是( C )- 3 -(A)幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1)(B)幂函数的图象可以出现在第四象限(C)当幂指数 取 1,3, 时,幂函数 y=x 是增函数(D)当幂指数 =-1 时,幂函数 y=x 在定义域上是减函数解析:当幂指数 =-1 时,
4、幂函数 y=x-1的图象不通过原点,故选项 A不正确;因为所有的幂函数在区间(0,+)上都有定义,且 y=x (R), y0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项 B不正确;当 =-1 时,y=x -1在区间(-,0)和(0,+)上是减函数,但在它的定义域上不是减函数,故选项 D不正确.故选 C.11.幂函数 f(x)=(m2-m-1) 在(0,+)上为减函数,则 m的取值是( B )(A)m=2 (B)m=-1(C)m=2或 m=-1 (D)-3m1解析:因为函数 f(x)=(m2-m-1) 是幂函数,所以 m2-m-1=1,解得 m=2,或 m=-1.又 x(0,+)时 f(x)为
5、减函数,当 m=2时,m 2+2m-3=5,幂函数为 f(x)=x5,不满足题意;当 m=-1时,m 2+2m-3=-4,幂函数为 f(x)=x-4,满足题意.综上,m=-1.故选 B.12.已知幂函数 f(x)=(n2+2n-2) (nZ)的图象关于 y轴对称,且在(0,+)上是减函数,则n的值为 . 解析:由于 f(x)为幂函数,所以 n2+2n-2=1,解得 n=1或 n=-3,经检验只有 n=1适合题意.答案:113.已知,幂函数 f(x)= (mZ)为偶函数,且在(0,+)上是增函数,则 f(2)的值为 .解析:因为幂函数 f(x)= (mZ)为偶函数,且在(0,+)上是增函数,则指数是偶数且大于 0,因为-m 2-2m+3=-(m+1)2+44,因此指数等于 2或 4,当指数等于 2时,求得 m非整数,所以 m=-1,即 f(x)=x4.所以 f(2)=24=16.答案:1614.若不等式 x2-logmxx10,所以 x1+x20,x2-x10,(x1x2)20,所以 f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)f(x2),所以函数 f(x)在区间(0,+)上是减函数.(2)由(1)知函数 f(x)在区间1,3上是减函数,所以当 x=1时,取最大值,最大值为 f(1)=2,当 x=3时,取最小值,最小值为 f(3)= .
