1、12.3.2 双曲线的几何性质基础达标1已知双曲线 C1： 1( a0， b0)与双曲线 C2： 1 有相同的渐近线，x2a2 y2b2 x24 y216且 C1的右焦点为 F( ，0)，则 a_， b_.5解析：双曲线 1 的渐近线为 y2 x，则 2，即 b2 a，又x24 y216 bac ， a2 b2 c2，所以 a 1， b2.5答案：1 22双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则2双曲线的标准方程是_解析：由题意得 2a2 b2 c，即 a b c，又因为 a2，所以 b c2，所以2 2 2c2 a2 b24 b24( c2) 2，即 c2
2、4 c80，所以 c2 ， b2，所求的双曲2 2 2线的标准方程是 1.y24 x24答案： 1y24 x243已知双曲线 C 经过点(1,1)，它的一条渐近线方程为 y x，则双曲线 C 的标准方3程是_解析：设双曲线的方程为 y23 x2 ( 0)，将点(1,1)代入可得 2，故双曲线 C 的标准方程是 1.x223 y22答案： 1x223 y224已知双曲线 1 的右顶点为 A，右焦点为 F.过点 F 作平行于双曲线的一条渐x29 y216近线的直线与双曲线交于点 B，则 AFB 的面积为_解析：由题意求出双曲线中 a3， b4， c5，则双曲线渐近线方程为 y x，不43妨设直线
3、BF 斜率为 ，可求出直线 BF 的方程为 4x3 y200，将式代入双曲线方程43解得 yB ，则 S AFB AF|yB| (c a) .3215 12 12 3215 3215答案：32155已知双曲线 1( a0， b0)的两条渐近线均和圆 C： x2 y26 x50 相切，x2a2 y2b2且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为_解析：双曲线的渐近线方程为 bx ay0 和 bx ay0，圆心为(3,0)，半径 r2.由圆心到直线的距离为 r 2，所以 4a25 b2，又双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，|3b|a2 b2所以 c3，即 9 a2 b2， a25， b24
4、.故所求双曲线的方程为 1.x25 y24答案： 1x25 y2426如图，双曲线 1( a， b0)的两顶点为 A1， A2，虚轴两端点为 B1， B2，两焦x2a2 y2b2点为 F1， F2.若以 A1A2为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2，切点分别为 A， B， C， D.则(1)双曲线的离心率 e_；(2)菱形 F1B1F2B2的面积 S1与矩形 ABCD 的面积 S2的比值 _.S1S2解析：(1)由题意可得 a bc， a43 a2c2 c40， e43 e210， e2b2 c2， e .3 52 1 52(2)设 sin ，cos ， bb2 c2 cb2 c2 S1S2
5、 2bc4a2sin cos 2bc4a2bcb2 c2 e2 .b2 c22a2 12 2 52答案：(1) (2)1 52 2 527已知 F1、 F2是双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点，过 F1且垂直于 x 轴的直x2a2 y2b2线与双曲线的左支交于 A， B 两点，若 ABF2是正三角形，试求该双曲线的离心率解：由 ABF2是正三角形，则在 Rt AF1F2中，有 AF2F130， AF1 AF2，又12AF2 AF12 a， AF24 a， AF12 a，又 F1F22 c，又在 Rt AF1F2中有 AF F1F AF ，即 4a24 c216 a2， e .21 2 2
6、 38设双曲线 1( a1， b0)的焦距为 2c，直线 l 过( a,0)、(0， b)两点，且点x2a2 y2b2(1,0)到直线 l 的距离与点(1,0)到直线 l 的距离之和 s c，求双曲线的离心率 e 的取45值范围解：直线 l 过( a,0)、(0， b)两点，得到直线方程为 bx ay ab0.由点到直线的距离公式，且 a1，得点(1,0)到直线 l 的距离为 d1 ， a 1 ba2 b2同理得到点(1,0)到直线 l 的距离为 d2 ，由 s c 得到 c.将 a 1 ba2 b2 45 2abc 45b2 c2 a2代入式的平方，整理得 4c425 a2c225 a40，
7、两边同除以 a4后令 x，得到 4x225 x250，c2a2解得 x5，543又 e ，故 e .ca x 52 5能力提升1设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直， l 与 C 交于 A， B 两点， AB 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为_解析：设双曲线的标准方程为 1( a0， b0)，由于直线 l 过双曲线的焦点且与x2a2 y2b2对称轴垂直，因此直线 l 的方程为 x c 或 x c，代入 1 得x2a2 y2b2y2 b2 ， y ，故 AB ，(c2a2 1) b4a2 b2a 2b2a依题意 4 a， 2，2b2a b2a2 e212
8、， e .c2 a2a2 3答案： 32已知椭圆 C1： 1( ab0)与双曲线 C2： x2 1 有公共的焦点， C2的一条x2a2 y2b2 y24渐近线与以 C1的长轴为直径的圆相交于 A， B 两点，若 C1恰好将线段 AB 三等分，则b2_.解析： C2的一条渐近线为 y2 x，设渐近线与椭圆 C1： 1( ab0)的交点分别x2a2 y2b2为 C(x1,2x1)， D(x2,2x2)，则 OC2 x 4 x 2，即 x ，又由 C(x1,2x1)在21 21 (a3) 21 a245C1： 1 上，所以有 1，x2a2 y2b2 145 4a245b2又由椭圆 C1： 1( ab
9、0)与双曲线 C2： x2 1 有公共的焦点可得x2a2 y2b2 y24a2 b25，由可得 b2 .12答案：123已知双曲线的中心在原点，焦点 F1、 F2在坐标轴上，离心率为 ，且过点 M(4，2)10(1)求双曲线方程；(2)若点 N(3， m)在双曲线上，求证： 0；NF1 NF2 (3)求 F1NF2的面积解：(1) e ，故可设等轴双曲线的方程为 x2 y2 ( 0)，2过点 M(4， )，1610 ， 6.10双曲线方程为 1.x26 y26(2)证明：由(1)可知：在双曲线中， a b ， c2 .6 3 F1(2 ，0)， F2(2 ，0)3 3 (2 3， m)， (2
10、 3， m)NF1 3 NF2 3 (2 3)(2 3) m2NF1 NF2 3 33 m2.点 N(3， m)在双曲线上，9 m26， m23.4 0.NF1 NF2 (3) F1NF2的底 F1F24 ，高 h| m| ， F1NF2的面积 S6.3 34 P(x0， y0)(x0 a)是双曲线 E： 1( a0， b0)上一点， M， N 分别是双曲线x2a2 y2b2E 的左，右顶点，直线 PM， PN 的斜率之积为 .15(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A， B 两点， O 为坐标原点， C 为双曲线上一点，满足 ，求 的值OC O
11、A OB 解：(1)由点 P(x0， y0)(x0 a)在双曲线 1 上，有 1.x2a2 y2b2 x20a2 y20b2由题意有 ，可得 a25 b2， c2 a2 b26 b2， e .y0x0 a y0x0 a 15 ca 305(2)联立Error!得 4x210 cx35 b20.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error!设 ( x3， y3)， ，即Error!OC OC OA OB 又 C 为双曲线上一点，即 x 5 y 5 b2，有23 23(x 1 x2)25( y 1 y2)25 b2.化简得 2(x 5 y )( x 5 y )2 (x1x25 y1y2)5 b2.21 21 2 2又 A(x1， y1)， B(x2， y2)在双曲线上，所以 x 5 y 5 b2， x 5 y 5 b2.21 21 2 2由式又有 x1x25 y1y2 x1x25( x1 c)(x2 c)4 x1x25 c(x1 x2)5 c210 b2，式可化为 24 0，解得 0 或 4.
