1、12.3.2 离散型随机变量的方差学习目标：1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题(重点)3.掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差(难点)自 主 预 习探 新 知1离散型随机变量的方差、标准差(1)定义：设离散型随机变量 X 的分布列为X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn则( xi E(X)2描述了 xi(i1,2， n)相对于均值 E(X)的偏离程度，而 D(X)为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平ni 1 xi E X 2pi均偏离程
2、度称 D(X)为随机变量 X 的方差，其算术平方根 为随机变量 X 的标准D X差(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小2随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差3服从两点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若 X 服从两点分布，则 D(X) p(1 p)；(2)若 X B(n， p)，则 D(X) np(1 p)4离散型随机变量方差的线性运算性质设 a， b
3、为常数，则 D(aX b) a2D(X)基础自测1判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)离散型随机变量 的期望 E( )反映了 取值的概率的平均值； ( )(2)离散型随机变量 的方差 D( )反映了 取值的平均水平； ( )(3)离散型随机变量 的方差 D( )反映了 取值的波动水平 ( )(4)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定 ( )解析 (1) 因为离散型随机变量 的期望 E( )反映了 取值的平均水平(2) 因为离散型随机变量 的方差 D( )反映了随机变量偏离于期望的平均程2度(3) 由方差的意义可知(4) 离散型随机变量的方差越大，说明随机变量的稳定性越差，方差越小，稳
4、定性越好答案 (1) (2) (3) (4)2若随机变量 X 服从两点分布，且在一次试验中事件 A 发生的概率 P0.5，则 E(X)和 D(X)分别为( )【导学号：95032190】A0.25 0.5 B0.5 0.75C0.5 0.25 D1 0.75C E(X)0.5， D(X)0.5(10.5)0.25.3已知随机变量 ， D( ) ，则 的标准差为_19 的标准差 .13 D 19 134已知随机变量 的分布列如下表： 1 0 1P 12 13 16则 的均值为_，方差为_. 【导学号：95032191】 均值 E( ) x1p1 x2p2 x3p3(1) 0 1 ；13 59 1
5、2 13 16 13方差 D( )( x1 E( )2p1( x2 E( )2p2( x3 E( )2p3 .59合 作 探 究攻 重 难求随机变量的方差与标准差已知 X 的分布列如下：X 1 0 1P 12 14 a(1)求 X2的分布列；(2)计算 X 的方差；(3)若 Y4 X3，求 Y 的均值和方差3解 (1)由分布列的性质，知 a1，故 a ，从而 X2的分布列为12 14 14X2 0 1P 14 34(2)法一：(直接法)由(1)知 a ，所以 X 的均值 E(X)(1) 0 1 .14 12 14 14 14故 X 的方差 D(X) .( 114)2 12 (0 14)2 14
6、 (1 14)2 14 1116法二：(公式法)由(1)知 a ，所以 X 的均值 E(X)(1) 0 1 ， X214 12 14 14 14的均值 E(X2)0 1 ，所以 X 的方差 D(X) E(X2) E(X)2 .14 34 34 1116(3)因为 Y4 X3，所以 E(Y)4 E(X)32， D(Y)4 2D(X)11.规律方法 方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量 X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式 D(X) E(X2) E(X)2不失为一种比较实用的方法另外注意方差性质的应用，如 D(aX b) a2D(X)跟踪训练1已知 的分布列为： 0 1
7、0 20 50 60P 13 25 115 215 115(1)求 的方差及标准差；(2)设 Y2 E( )，求 D(Y)解 (1) E( )0 10 20 50 60 16，13 25 115 215 115D( )(016) 2 (1016) 2 (2016) 2 (5016) 2 (6016) 213 25 115 215384，115 8 .D 6(2) Y2 E( )， D(Y) D(2 E( )2 2D( )43841 536.两点分布与二项分布的方差4设 X 的分布列为 P(X k)C (k0,1,2,3,4,5)，则 D(3X)( )k5(13)k (23)5 k 【导学号：9
8、5032192】A10 B30C15 D5A 由 P(X k)C (k0,1,2,3,4,5)可知随机变量服从二项分布 X Bk5(13)k (23)5 k (5， 13)所以 D(X)5 ，13 (1 13) 109D(3X)9 D(X)10.母题探究：1.(变换条件、改变问法)本例题改为随机变量 X 服从二项分布 B(n， p)，且 E(3X2)9.2， D(3X2)12.96，求二项分布的参数 n， p 的值解 由 E(3X2)9.2， D(3X2)12.96 及 X B(n， p)知Error!即Error! 解得Error!所以二项分布的参数 n6， p0.4.2(改变问法)本例题条
9、件不变，求 E(3X2)解 由例题可知 X B(5，13)所以 E(X)5 .13 53故 E(3X2)3 E(X)27.规律方法 求离散型随机变量的均值与方差的关注点(1)写出离散型随机变量的分布列(2)正确应用均值与方差的公式进行计算(3)对于二项分布，关键是通过题设环境确定随机变量服从二项分布，然后直接应用公式计算均值、方差的实际应用探究问题1 A， B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：5A 机床次品数 X1 0 1 2 3P 0.7 0.2 0.06 0.04B 机床次品数 X2 0 1 2 3P 0.8 0.06 0.04 0.10试求 E(X1
10、)， E(X2)提示 E(X1)00.710.220.0630.040.44.E(X2)00.810.0620.0430.100.44.2在探究 1 中，由 E(X1)和 E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？提示 不能因为 E(X1) E(X2)3在探究 1 中，试想利用什么指标可以比较 A、 B 两台机床加工质量？提示 利用样本的方差方差越小，加工的质量越稳定甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量 ， ，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于 6 环，且甲射中 10,9,8,7 环的概率分别为0.5，3 a， a,0.1，乙射中 10,9,8 环的概率分别
11、为 0.3,0.3,0.2.(1)求 ， 的分布列；(2)求 ， 的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术. 【导学号：95032193】思路探究 (1)由分布列的性质先求出 a 和乙射中 7 环的概率，再列出 ， 的分布列(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的均值，然后再看其方差值解 (1)由题意得：0.53 a a0.11，解得 a0.1.因为乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3,0.3,0.2.所以乙射中 7 环的概率为1(0.30.30.2)0.2.所以 ， 的分布列分别为 10 9 8 7P 0.5 0.3 0.1 0.1 10 9 8 7P 0.3 0
12、.3 0.2 0.2(2)由(1)得：E( )100.590.380.170.19.2；6E( )100.390.380.270.28.7；D( )(109.2) 20.5(99.2) 20.3(89.2) 20.1(79.2)20.10.96；D( )(108.7) 20.3(98.7) 20.3(88.7) 20.2(78.7) 20.21.21.由于 E( )E( )， D( )D(X2)，则自动包装机_的质量较好乙 因为 E(X1) E(X2)， D(X1)D(X2)，故乙包装机的质量稳定5为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物某人一次种植了 n 株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为 p，设 X 为成活沙柳的株数，已知 E(X)4， D(X) ，求 n， p 的值.43【导学号：95032195】解 由题意知， X 服从二项分布 B(n， p)，由 E(X) np4， D(X) np(1 p) ，43得 1 p ，13 p ， n6.23
