1、14 万有引力理论的成就学习目标 1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.2.了解“称量地球质量” “计算太阳质量”的基本思路，会用万有引力定律计算天体的质量.3.理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法.一、计算天体的质量1.称量地球的质量(1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力.(2)关系式： mg G .MmR2(3)结果： M ，只要知道 g、 R、 G 的值，就可计算出地球的质量.gR2G2.太阳质量的计算(1)思路：质量为 m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力.(2)关系式： m r.GMmr2 4 2
2、T2(3)结论： M ，只要知道行星绕太阳运动的周期 T 和半径 r 就可以计算出太阳的质4 2r3GT2量.(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期 T 和卫星与行星之间的距离 r，可计算行星的质量M.二、发现未知天体1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846 年 9 月 23 日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星 海王星.2.其他天体的发现：近 100 年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体.1.判断下列说法的正误.(1)地球表面的物体的重力必然等
3、于地球对它的万有引力.( )(2)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量.( )2(3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量.( )(4)海王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的.( )(5)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道.( )(6)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性.( )2.已知引力常量 G6.6710 11 Nm2/kg2，重力加速度 g9.8 m/s2，地球半径R6.410 6m，则可知地球的质量约为( )A.21018kg B.21020kgC.61022kg D.61024kg答案 D【考点】计算天体
4、的质量【题点】已知重力加速度求质量一、天体质量和密度的计算1.卡文迪许在实验室测出了引力常量 G 的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”.(1)他“称量”的依据是什么？(2)若还已知地球表面重力加速度 g，地球半径 R，求地球的质量和密度.答案 (1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力.(2)由 mg G 得， MMmR2 gR2G .MV M43 R3 3g4 GR2.如果知道地球绕太阳的公转周期 T 和它与太阳的距离 r，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？答案 由 m 地 r 知 M 太 ，可以求出太阳的质量.由密度公式 Gm地 M
5、太r2 4 2T2 4 2r3GT2可知，若要求太阳的密度还需要知道太阳的半径.M太43 R太 3天体质量和密度的计算方法3重力加速度法 环绕法情景已知天体(如地球)的半径 R 和天体( 如地球 )表面的重力加速度 g行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动思路物体在表面的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：mg GMmR2行星或卫星受到的万有引力充当向心力：G m( )2rMmr2 2T(G mMmr2 v2r或 G m 2r)Mmr2天体质量天体(如地球)质量：MgR2G 中心天体质量：M (M4 2r3GT2 rv2G或 M )r3 2G天体密度 M43 R3 3g4 RG (以 T
6、 为例)M43 R3 3 r3GT2R3说明利用 mg 求 M 是忽略了天体GMmR2自转，且 g 为天体表面的重力加速度由 F 引 F 向 求 M，求得的是中心天体的质量，而不是做圆周运动的天体质量例 1 假设在半径为 R 的某天体上发射一颗该天体的卫星.若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为 T1，已知引力常量为 G，忽略该天体的自转.(1)则该天体的密度是多少？(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为 h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为 T2，则该天体的密度又是多少？答案 (1) (2)3GT12 3 R h3GT22R3解析 设卫星的质量为 m，天体的质量为 M.(1)卫星贴近天体表
7、面运动时有 G m R， MMmR2 4 2T12 4 2R3GT12根据几何知识可知天体的体积为 V R3434故该天体的密度为 .MV 4 2R3GT1243 R3 3GT12(2)卫星距天体表面的高度为 h 时，忽略自转有G m (R h)MmR h2 4 2T22M4 2R h3GT22 MV 4 2R h3GT2243 R3 3 R h3GT22R3【考点】天体密度的计算【题点】已知周期、半径求密度求解天体质量和密度时的两种常见错误1.根据轨道半径 r 和运行周期 T，求得 M 是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)4 2r3GT2的质量.2.混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并
8、清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用 R 表示，轨道半径用 r 表示，这样就可以避免如 误3 r3GT2R3约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径 r 才可以认为等于天体半径 R.针对训练 1 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为 4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的 .该中心恒星与太阳的质量的比值约为( )120A. B.1C.5D.10110答案 B解析 由 G m r 得 MMmr2 4 2T2 r3T2已知 ，
9、 ，则 ( )3( )21，B 项正确.r51r地 120 T51T地 4365 M恒M太 120 3654【考点】计算天体的质量【题点】已知周期、半径求质量例 2 有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的 45倍，求：(1)星球半径与地球半径之比；(2)星球质量与地球质量之比.答案 (1)41 (2)641解析 (1)由 mg 得 M ，所以 ， R ， GMmR2 gR2G MVgR2G43 R3 3g4 GR 3g4 G RR地 3g4 G 4.4 G 地3g地 gg地(2)由(1)可知该星球半径是地球半径的 4 倍.根据 M 得 64.gR2G MM地 g
10、R2G Gg地 R地 2【考点】计算天体的质量【题点】已知重力加速度求质量二、天体运动的分析与计算1.基本思路：一般行星(或卫星)的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供，即 F 引 F 向.2.常用关系：(1)G man m m 2r m r.Mmr2 v2r 4 2T2(2)忽略自转时， mg G (物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：MmR2gR2 GM，该公式通常被称为“黄金代换式”.3.天体运动的物理量与轨道半径的关系(1)由 G m 得 v ， r 越大， v 越小.Mmr2 v2r GMr(2)由 G m 2r 得 ， r 越大， 越小
11、.Mmr2 GMr3(3)由 G m 2r 得 T2 ， r 越大， T 越大.Mmr2 (2T) r3GM(4)由 G man得 an ， r 越大， an越小.Mmr2 GMr2例 3 2009 年 2 月 11 日，俄罗斯的“宇宙2251”卫星和美国的“铱33”卫星在西伯利亚上空约 805km 处发生碰撞，这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件.碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境.假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是( )A.甲的运行周期一定比乙的长6B.甲距地面的高度一定比乙的高C.甲的向心力一定比乙的小D.甲的向心加速度一定
12、比乙的大答案 D解析 甲的运行速率大，由 G m ，得 v ，由此可知，甲碎片的轨道半径小，故 BMmr2 v2r GMr错；由 G mr ，得 T ，可知甲的周期小，故 A 错；由于未知两碎片的质量，Mmr2 4 2T2 4 2r3GM无法判断向心力的大小，故 C 错；由 man得 an ，可知甲的向心加速度比乙的大，GMmr2 GMr2故 D 对.【考点】人造卫星各物理量与半径的关系【题点】人造卫星各物理量与半径的关系针对训练 2 如图 1 所示， a、 b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是 R 和 2R(R 为地球半径).下列说法中正确的是( )图 1A.a、
13、 b 的线速度大小之比是 12B.a、 b 的周期之比是 12 2C.a、 b 的角速度大小之比是 3 46D.a、 b 的向心加速度大小之比是 92答案 C解析 两卫星均做匀速圆周运动， F 万 F 向.由 m 得， ，故 A 错误.GMmr2 v2r v1v2 r2r1 3R2R 32由 mr 2得 ，故 B 错误.GMmr2 (2T) T1T2 r13r23 2323由 mr 2得 ，故 C 正确.GMmr2 1 2 r23r13 364由 man得 ，故 D 错误.GMmr2 an1an2 r22r12 94【考点】人造卫星各物理量与半径的关系【题点】人造卫星各物理量与半径的关系71.
14、(天体质量的估算)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图 2 所示)，每 16 天绕土星一周，其公转轨道半径约为 1.2106km，已知引力常量 G6.6710 11 Nm2/kg2，则土星的质量约为( )图 2A.51017kg B.51026kgC.71033kg D.41036kg答案 B解析 “泰坦”围绕土星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力. G mr ，其中Mmr2 4 2T2T16243600s1.410 6s代入数据解得 M510 26kg.【考点】计算天体的质量【题点】天体质量的综合问题2.(天体密度的计算)一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要( )A
15、.测定飞船的运行周期 B.测定飞船的环绕半径C.测定行星的体积 D.测定飞船的运行速度答案 A解析 取飞船为研究对象，由 G mR 及 M R3 ，知 ，故选 A.MmR2 4 2T2 43 3GT2【考点】天体密度的计算【题点】已知周期、半径求密度3.(卫星各运动参量与轨道半径的关系)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.2018 年 5 月 9 日发射的“高分五号”轨道高度约为 705km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为 36000km，它们都绕地球做圆周运动.与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )A.周期 B.角速度C.线速度 D.向心加速度答案 A8解
16、析 “高分五号”的运动半径小于“高分四号”的运动半径，即 r 五 四 ，故 B 错；GMr3 1r3v ， v 五 v 四 ，故 C 错；GMr 1ran ， an 五 an 四 ，故 D 错.GMr2 1r2【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律4.(天体运动各参量的比较)如图 3 所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和 2M 的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )图 3A.甲的向心加速度比乙的小B.甲的运行周期比乙的小C.甲的角速度比乙的大D.甲的线速度比乙的大答案 A解析 甲、乙两卫星分别绕质量为 M 和 2M 的行星做匀速圆周运动，
17、万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力.由牛顿第二定律 G man m r m 2r m ，可得Mmr2 4 2T2 v2ran ， T2 ， ， v .由已知条件可得 a 甲 a 乙 ， T 甲 T 乙 ， 甲 乙 ，GMr2 r3GM GMr3 GMrv 甲 v 乙 ，故正确选项为 A.【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律5.(天体运动的分析与计算)如图 4 所示， A、 B 为地球周围的两颗卫星，它们离地面的高度分别为 h1、 h2，已知地球半径为 R，地球表面重力加速度为 g，求：9图 4(1)A 的线速度大小 v1；(2)A、 B 的角速度大小之比
18、1 2.答案 (1) (2)gR2R h1 R h23R h13解析 (1)设地球质量为 M， A 卫星质量为 m1，由万有引力提供向心力，对 A 有： m1 GMm1R h12 v12R h1在地球表面对质量为 m的物体有： m g G MmR2由得 v1gR2R h1(2)由 G m 2(R h)得， MmR h2 GMR h3所以 A、 B 的角速度大小之比 . 1 2 R h23R h13【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律一、选择题考点一 天体质量和密度的计算1.已知引力常量 G、月球中心到地球中心的距离 R 和月球绕地球运行的周期 T，仅利用这三个
19、数据，可以估算出的物理量有( )A.月球的质量 B.地球的质量C.地球的半径 D.地球的密度答案 B解析 由天体运动规律知 G m R 可得，地球质量 M ，由于不知地球的半径，MmR2 4 2T2 4 2R3GT2无法求地球的密度，故选项 B 正确.10【考点】计算天体的质量【题点】已知周期、半径求质量2.若地球绕太阳的公转周期及公转轨道半径分别为 T 和 R，月球绕地球的公转周期和公转轨道半径分别为 t 和 r，则太阳质量与地球质量之比为( )A. B.R3t2r3T2 R3T2r3t2C. D.R3t2r2T3 R2T3r2t3答案 A解析 由万有引力提供向心力得 m ，即 M ，所以
20、.GMmR02 4 2R0T02 R03T02 M日M地 R3t2r3T2【考点】计算天体的质量【题点】已知周期、半径求质量3.如图 1 所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达 7 年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道.若“卡西尼”号探测器在半径为 R 的土星上空离土星表面高 h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕 n 周飞行时间为 t，已知引力常量为 G，则下列关于土星质量 M 和平均密度 的表达式正确的是( )图 1A.M ， 4 2R h3Gt2 3 R h3Gt2R3B.M ， 4 2R h2Gt2 3 R h2Gt2R3C.M ， 4 2t2R h3Gn2 3 t2R h3Gn2R3D.
21、M ， 4 2n2R h3Gt2 3 n2R h3Gt2R3答案 D解析 设“卡西尼”号的质量为 m，它围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供， G m(R h)( )2，其中 T ，解得 M .又土星体积 VMmR h2 2T tn 4 2n2R h3Gt2 R3，所以 .43 MV 3 n2R h3Gt2R3【考点】天体密度的计算11【题点】已知周期、半径求密度4.2015 年 7 月 23 日，美国宇航局通过开普勒太空望远镜发现了迄今“最接近另一个地球”的系外行星开普勒452b，开普勒452b 围绕一颗类似太阳的恒星做匀速圆周运动，公转周期约为 385 天(约 3.3107
22、s)，轨道半径约为 1.51011m，已知引力常量G6.6710 11 Nm2/kg2，利用以上数据可以估算出类似太阳的恒星的质量约为( )A.1.81030kg B.1.81027kgC.1.81024kg D.1.81021kg答案 A解析 根据万有引力充当向心力，有 G mr ，则中心天体的质量 M mMr2 4 2T2 4 2r3GT2kg1.810 30 kg，故 A 正确.43.1421.5101136.6710 113.31072【考点】计算天体的质量【题点】已知周期、半径求质量5.2018 年 2 月，我国 500m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J03180253”
23、，其自转周期 T5.19ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.671011 Nm2/kg2.以周期 T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )A.5109 kg/m3 B.51012 kg/m3C.51015 kg/m3 D.51018 kg/m3答案 C解析 脉冲星自转，边缘物体 m 恰对星体无压力时万有引力提供向心力，则有 G mrMmr2，4 2T2又知 M r343整理得密度 kg/m3510 15 kg/m3.3GT2 33.146.6710 115.1910 32【考点】天体密度的计算【题点】已知周期、半径求密度6.已知地球半径为 R，地球质量为 m，太阳与地球中心间
24、距为 r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为 T，则太阳的质量为( )A. B.4 2r3T2R2g 4 2mr3T2R2gC. D.4 mgr3T2R3 T2R2g4 2mr3答案 B12解析 对地球绕太阳的圆周运动有 m rGMmr2 4 2T2对地球表面的物体有 m gGmmR2联立两式可得太阳质量 M ，B 正确.4 2mr3T2R2g考点二 天体的运动规律7.(多选)如图 2 所示，飞船从轨道 1 变轨至轨道 2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道 1 上，飞船在轨道 2 上的( )图 2A.速度大 B.向心加速度大C.运行周期长 D.角速度
25、小答案 CD解析 飞船绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即 F 引 Fn，所以 G man mr 2，Mmr2 mv2r 4 2mrT2即 an ， v ， T ， .GMr2 GMr 4 2r3GM GMr3因为 r1v2， an1an2， T1 2，选项 C、D 正确.【考点】人造卫星各物理量与半径的关系【题点】人造卫星各物理量与半径的关系8.a、 b、 c、 d 是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星.其中 a、 c 的轨道相交于 P， b、 d 在同一个圆轨道上， b、 c 轨道在同一平面上.某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图 3 所示，下列说法中正确的是( )图 3A
26、.a、 c 的加速度大小相等，且大于 b 的加速度B.b、 c 的角速度大小相等，且小于 a 的角速度C.a、 c 的线速度大小相等，且小于 d 的线速度13D.a、 c 存在在 P 点相撞的危险答案 A解析 由 G m m 2r m r man可知，选项 B、C 错误，A 正确；因 a、 c 轨道半Mmr2 v2r 4 2T2径相同，周期相同，由题图可知当 C 运动到 P 点不相撞，以后就不可能相撞了，选项 D 错误.【考点】人造卫星各物理量与半径的关系【题点】人造卫星各物理量与半径的关系9.伽利略用他自制的望远镜发现了围绕木星的四颗卫星，假定四颗卫星均绕木星做匀速圆周运动，它们的转动周期如
27、表所示，关于这四颗卫星，下列说法中正确的是( )名称 周期/天木卫一 1.77木卫二 3.65木卫三 7.16木卫四 16.7A.木卫一角速度最小B.木卫四线速度最大C.木卫四轨道半径最大D.木卫一受到的木星的万有引力最大答案 C10.(多选)地球半径为 R0，地面重力加速度为 g，若卫星在距地面 R0处做匀速圆周运动，则( )A.卫星的线速度为2R0g2B.卫星的角速度为g8R0C.卫星的加速度为g2D.卫星的加速度为g4答案 ABD解析 由 man m m 2(2R0)及 GM gR ，可得卫星的向心加速度 an ，角速GMm2R02 v22R0 02 g4度 ，线速度 v ，所以 A、B
28、、D 正确，C 错误.g8R0 2R0g214【考点】天体运动规律分析【题点】应用重力等于万有引力分析天体运动规律11.两颗行星 A 和 B 各有一颗卫星 a 和 b，卫星轨道接近各自行星的表面，如果两行星的质量之比为 p，两行星的半径之比为 q，则两个卫星的周期之比 为( )MAMB RARB TaTbA. B.qpq pC.p D.qpq qp答案 D解析 卫星做匀速圆周运动时，万有引力提供做匀速圆周运动的向心力，则有： G mR(MmR2)2，得 T ，解得： q ，故 D 正确，A、B、C 错误.2T 4 2R3GM TaTb qp【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力
29、分析天体运动规律二、非选择题12.(天体质量、密度的计算)若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地.若羽毛和铁锤是从高度为 h 处下落，经时间 t 落到月球表面.已知引力常量为 G，月球的半径为 R.求：(不考虑月球自转的影响)(1)月球表面的自由落体加速度大小 g 月.(2)月球的质量 M.(3)月球的密度 .答案 (1) (2) (3)2ht2 2hR2Gt2 3h2 RGt2解析 (1)月球表面附近的物体做自由落体运动 h g 月 t2，月球表面自由落体的加速度大12小 g 月 .2ht2(2)因不考虑月球自转的影响，则有
30、 G mg 月 ，月球的质量 M .MmR2 2hR2Gt2(3)月球的密度 .MV2hR2Gt243 R3 3h2 RGt2【考点】万有引力定律和力学其他问题的综合应用【题点】重力加速度和抛体运动的综合问题1513.(天体运动规律)我国在酒泉卫星发射中心用“长征二号丁”运载火箭，将“高分一号”卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，这是我国重大科技专项高分辨率对地观测系统的首发星.设“高分一号”轨道的离地高度为 h，地球半径为 R，地面重力加速度为 g，求“高分一号”在时间 t 内，绕地球运转多少圈？(忽略地球的自转)答案 t2 gR2R h3解析 在地球表面的物体 m gGMmR2“高分一号”
31、在轨道上 m(R h)GMmR h2 4 2T2所以 T2 2R h3GM R h3gR2故 n .tT t2 gR2R h3【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律一、选择题考点一 天体的运动规律1.把太阳系各行星的运动近似看成匀速圆周运动，则离太阳越远的行星( )A.周期越大 B.线速度越大C.角速度越大 D.向心加速度越大答案 A解析 行星绕太阳做匀速圆周运动，所需的向心力由太阳对行星的引力提供，由 G mMmr2得 v ，可知 r 越大，线速度越小，B 错误.由 G m 2r 得 ，可知 r 越大，v2r GMr Mmr2 GMr3角速度越小，C 错误.由
32、 k 知， r 越大，周期越大，A 对.由 G man得 an ，可知 rr3T2 Mmr2 GMr2越大，向心加速度越小，D 错误.【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律2.据报道， “嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行的圆形工作轨道距月球表面分别约为200km 和 100km，运行速率分别为 v1和 v2.那么， v1和 v2的比值为(月球半径取 1700km)( )16A. B.1918 1918C. D.1819 1819答案 C解析 根据卫星运动的向心力由万有引力提供，有 G m ，那么卫星的线速度跟Mmr h2 v2r h其轨道半径的平方根成反比，则有
33、 .v1v2 r h2r h1 1819【考点】人造卫星各物理量与半径的关系【题点】人造卫星的线速度与半径的关系3.(多选)火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转的轨道半径的 1.5 倍.根据以上数据，下列说法中正确的是( )A.火星表面重力加速度的数值比地球表面的小B.火星公转的周期比地球的长C.火星公转的线速度比地球的大D.火星公转的向心加速度比地球的大答案 AB解析 由 G m g 得 g G ，计算得 A 对；由 G m( )2r 得 T2 ，计算得mmR2 mR2 Mmr2 2T r3GMB 对；周期长的线速度小(或由 v 判
34、断轨道半径大的线速度小)，C 错；公转的向心加GMr速度 an G ，计算得 D 错.Mr2【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律4.(多选)土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度 v 与该层到土星中心的距离 R 之间的关系，则下列判断正确的是( )A.若 v2 R，则该层是土星的卫星群B.若 v R，则该层是土星的一部分C.若 v ，则该层是土星的一部分1RD.若 v2 ，则该层是土星的卫星群1R答案 BD17解析 若外层的环为土星的一部分，则它们各部分转动的角速度 相等，由 v R 知v R，B 正确，C 错误；
35、若是土星的卫星群，则由 G m ，得 v2 ，故 A 错误，D 正确.MmR2 v2R 1R【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律5.(多选)如图 1 所示， a、 b、 c 是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星， a 和 b 质量相等，且小于 c 的质量，则( )图 1A.b 所需向心力最小B.b、 c 的周期相同且大于 a 的周期C.b、 c 的向心加速度大小相等，且大于 a 的向心加速度D.b、 c 的线速度大小相等，且小于 a 的线速度答案 ABD解析 因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供，由 F 向 知 b 所受的引力最GMmr2小，故 A
36、 对.由 mr 2 mr( )2得 T2 ，即 r 越大， T 越大，所以 b、 c 的周期GMmr2 2T r3GM相等且大于 a 的周期，B 对.由 man，得 an ，即 an ，所以 b、 c 的向心加速度GMmr2 GMr2 1r2大小相等且小于 a 的向心加速度，C 错.由 ，得 v ，即 v ，所以 b、 c 的GMmr2 mv2r GMr 1r线速度大小相等且小于 a 的线速度，D 对.【考点】人造卫星各物理量与半径的关系【题点】人造卫星各物理量与半径的关系6.(多选)如图 2 所示，2018 年 2 月 2 日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界
37、上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一.通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度.若将卫星绕地球的运动看做是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )18图 2A.密度 B.向心力的大小C.离地高度 D.线速度的大小答案 CD解析 设卫星的周期为 T，轨道半径为 r，地球质量和半径分别为 M、 R，则在地球表面的物体： G m g， GM gR2MmR2对卫星：根据万有引力提供向心力，有G m 2rMmr2 (2T)联立式可求轨道半径 r，而 r R h，故可求得卫星离地高度.由 v r r ，从而可求得卫星的线
38、速度.2T卫星的质量未知，故卫星的密度不能求出，万有引力即向心力 Fn G 也不能求出.故选项Mmr2C、D 正确.7.(多选)科学探测表明，月球上至少存在丰富的氧、硅、铝、铁等资源，设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经长期的开采后月球与地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的轨道运动，则与开采前相比(提示： a b常量，则当 a b 时， ab乘积最大)( )A.地球与月球间的万有引力将变大B.地球与月球间的万有引力将变小C.月球绕地球运行的周期将变大D.月球绕地球运行的周期将变小答案 BD解析 万有引力公式 F 中， G 和 r 不变，因地球和月球的总质量不变，当 M 增
39、大而 mGMmr2减小时，两者的乘积减小，万有引力减小，故选项 A 错误，B 正确；又 mr ， TGMmr2 4 2T2， M 增大，则 T 减小，故选项 C 错误，D 正确.4 2r3GM19【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律8.如图 3 所示，甲、乙两颗卫星在同一平面上绕地球做匀速圆周运动，公转方向相同.已知卫星甲的公转周期为 T，每经过最短时间 9T，卫星乙都要运动到与卫星甲在地球同一侧且三者共线的位置上，则卫星乙的公转周期为( )图 3A. T B. T98 89C. T D. T109 910答案 A解析 由题意得，( )t22T 2T乙t9 T
40、联立得 T 乙 T，选项 A 正确.98【考点】卫星的“追赶”问题【题点】卫星的“追赶”问题考点二 天体质量和密度的计算9.(多选)2016 年 10 月 19 日凌晨， “神舟十一号”飞船与“天宫二号”成功实施自动交会对接.如图 4 所示，已知“神舟十一号”与“天宫二号”对接后，组合体在时间 t 内沿圆周轨道绕地球转过的角度为 ，组合体轨道半径为 r，地球表面重力加速度为 g，引力常量为 G，不考虑地球自转.则( )图 4A.可求出地球的质量B.可求出地球的平均密度20C.可求出组合体做圆周运动的线速度D.可求出组合体受到的地球的万有引力答案 ABC解析 组合体在时间 t 内沿圆周轨道绕地球
41、转过的角度为 ，则角速度 ，万有引力 t提供组合体做圆周运动的向心力，则 m 2r，所以 M ，A 正确.不考GMmr2 2r3G 2r3t2G虑地球的自转时，组合体在地球表面的重力等于地球对组合体的万有引力，则 mg G ，MmR2解得 R ，地球的密度 ( )32，将式代入即可求出平均密度，BGMg MV M43 R3 3M4 gGM正确.根据线速度与角速度的关系 v r 可知 v ，C 正确.由于不知道组合体的质量， rt所以不能求出组合体受到的万有引力，D 错误.【考点】天体质量和密度的计算【题点】天体质量和密度的计算10.(多选)若宇航员在月球表面附近自高 h 处以初速度 v0水平抛
42、出一个小球，测出小球的水平射程为 L.已知月球半径为 R，引力常量为 G.则下列说法中正确的是( )A.月球表面的重力加速度 g 月 2hv02L2B.月球的质量 m 月 2hR2v02GL2C.月球的自转周期 T2 Rv0D.月球的平均密度 3hv022 GL2答案 AB解析 根据平抛运动规律， L v0t， h g 月 t2，联立解得 g 月 ，选项 A 正确；由12 2hv02L2mg 月 G 解得 m 月 ，选项 B 正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，mm月R2 2hR2v02GL2选项 C 错误；月球的平均密度 ，选项 D 错误.m月43 R3 3hv022 GL2R【考点】
43、天体质量和密度的计算【题点】天体质量和密度的计算11.“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，21发现每经过时间 t 通过的弧长为 l，该弧长对应的圆心角为 (弧度)，如图 5 所示.已知引力常量为 G，由此可推导出月球的质量为( )图 5A. B.l3G t2 l3Gt2C. D.lG t2 l2G t2答案 A解析 根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的轨道半径 r ，根据转过的角度l和时间，可得 ，由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动 t的向心力，可得 G m 2r，由以上三式可得 M .Mmr2 l3G t2【考点】计算天
44、体的质量【题点】天体质量的综合问题二、非选择题12.(物体的运动与万有引力的结合)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间 t 小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处.(取地球表面重力加速度 g10m/s 2，空气阻力不计)(1)求该星球表面附近的重力加速度 g 星 的大小；(2)已知该星球的半径与地球半径之比为 ，求该星球的质量与地球质量之比 .R星R地 14 M星M地答案 (1)2m/s 2 (2)180解析 (1)在地球表面以一定的初速度 v0竖直上抛一小球，经过时间 t 小球落回原处，根据运动学公式可知 t .2v0g同理
45、，在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，经过时间 5t 小球落回原处，则5t2v0g星根据以上两式，解得 g 星 g2m/s 215(2)在天体表面时，物体的重力近似等于万有引力，即22mg ，所以 MGMmR2 gR2G由此可得， .M星M地 g星g R星 2R地 2 15 142 180【考点】万有引力定律和力学其他问题的综合应用【题点】重力加速度和抛体运动的综合问题13.(天体运动规律分析)某课外科技小组长期进行天文观测，发现某行星周围有众多小卫星，这些小卫星靠近行星且分布相当均匀，经查对相关资料，该行星的质量为 M.现假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动，已知引力常量为 G
46、.(1)若测得离行星最近的一颗卫星的运动轨道半径为 R1，忽略其他小卫星对该卫星的影响，求该卫星的运行速度 v1为多大？(2)在进一步的观测中，发现离行星很远处还有一颗卫星，其运动轨道半径为 R2，周期为T2，试估算靠近行星周围众多小卫星的总质量 m 卫 为多大？答案 (1) (2) MGMR1 4 2R23GT22解析 (1)设离行星最近的一颗卫星的质量为 m1，有 G m1 ，解得 v1 .Mm1R12 v12R1 GMR1(2)由于靠近行星周围的众多卫星分布均匀，可以把行星及靠近行星的小卫星看做一星体，其质量中心在行星的中心，设离行星很远的卫星质量为 m2，则有G m2R2M m卫 m2R22 4 2T22解得 m 卫 M.4 2R23GT22【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律
