1、1第三章概率检测( B)(时间:90 分钟 满分:120 分)一、选择题(本大题共 10小题,每小题 5分,共 50分 .在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1掷一枚质地均匀的骰子,观察所得的点数 a,设事件 A=“a为 3”,B=“a为 4”,C=“a为奇数”,则下列结论正确的是( )A.A与 B为互斥事件B.A与 B为对立事件C.A与 C为对立事件D.A与 C为互斥事件解析 事件 A与 B不可能同时发生,但也可能都不发生,因此 A与 B为互斥事件,但不是对立事件 .答案 A2某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其男婴数如下表:时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数5 5
2、449 01313 52017 191男婴数 2 716 4 899 6 812 8 590这一地区男婴出生的概率约是( )A.0.4 B.0.5C.0.6 D.0.7解析 由表格可知,男婴出生的频率依次为 0.49,0.54,0.50,0.50,故这一地区男婴出生的概率约为0.5.故选 B.答案 B3从 1,2,3,4这 4个数中,任意抽取两个数,则抽到的两个数都是偶数的概率是( )A.16.14C.13.12解析 不放回地抽取 2个数,共有 6种取法,两个数字均为偶数只有(2,4)这一种情况,因此所求概率A.为 16,故 选答案 A24若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,
3、这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为 ( )A.23.25.35.910解析 五人录用三人共有 10种不同方式,分别为:丙,丁,戊,乙,丁,戊,乙,丙,戊,乙,丙,丁,甲,丁,戊,甲,丙,戊,甲,丙,丁,甲,乙,戊,甲,乙,丁,甲,乙,丙 .其中含甲或乙的情况有 9种,故选 D.答案 D5从一批产品中随机抽两次,每次抽 1件 .以 A表示事件“两次都抽得正品”, B表示事件“至少抽得一件次品”,则下列关系式中正确的是( )A.AB B.BAC.A=B D.A=解析 事件 B的对立事件为至多抽到 0件次品,即两次都抽到正品,因此选项 D正确 .答案 D6袋里装有大小相同的黑、白两色的手
4、套,黑色手套 3只,白色手套 2只 .现从中随机地取出两只手套,如果两只是同色手套则甲获胜,两只手套颜色不同则乙获胜,则甲、乙获胜的机会是( )A.一样大B.甲大C.乙大D.不能确定解析 共有 10种取法,两只手套颜色不同的情况共有 6种,因此乙获胜的概率.故选 C.为 35,甲 获胜 的概率 为 25,乙 获胜 的概率大于甲 获胜 的概率答案 C7从正六边形的 6个顶点中随机选择 4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A.110.18C.16.15解析 如图所示,正六边形 ABCDEF,从 6个顶点中随机选择 4个顶点有ABCD,ABCE,ABCF,ABDE,ABDF,AB
5、EF,ACDE,ACDF,ACEF,ADEF,BCDE,BCDF,BCEF,BDEF,CDEF,共 15种选法,基本事件总数为 15,其中四边形是矩形的有 ABDE,BCEF,ACDF 3种,故所求概率为 PD.=315=15.故 选答案 D38将一枚骰子投掷两次,第一次出现的点数记为 a,第二次出现的点数记为 b,设两条直线l1:ax+by=2,l2:x+2y=3平行的概率为 P1,相交的概率为 P2,则点 P(36P1,36P2)与圆 C:x2+y2=1 098的位置关系是( )A.点 P在圆 C上B.点 P在圆 C外C.点 P在圆 C内D.不能确定解析 因为 l1 l2,所以 b=2a,
6、满足此条件的( a,b)有(1,2),(2,4),(3,6),故 P1=336=112.又因为两直线 l1 l2与 l1与 l2相交是对立事件,所以 P2=1-P1=1112=1112,所以 P(3,33).因为 32+332=9+1 089=1 098,所以点 P在圆 C上 .答案 A9如图所示,在矩形区域 ABCD的 A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域 ADE和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常) .若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是( )A.14B.21C.22D.4来源:Z 而所求事件“两串彩灯同时通电后,第一次
7、闪亮相差不超过 2秒” =(x,y)|x-y|2,由图示得,该事件概率 P=阴影正方形 =16-416=34.答案 C二、填空题(本大题共 5小题,每小题 5分,共 25分 .把答案填在题中的横线上)11利用计算机产生 01之间的均匀随机数 a,则事件“3 a-10”发生的概率为 . 解析 由题意知 0 a1,事件“3 a-10”发生时, a 0 a,取区间长度为测度,由几何概型的概13,且率公式得其概率 P=131=13.答案 1312若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为 . 解析 甲、乙、丙三人随机站在一排有:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共 6种
8、 .若甲、乙两人相邻而站则有甲乙丙、丙甲乙、乙甲丙、丙乙甲,共 4种,故所求的概率为 46=23.答案 23513在区间 -2,4上随机地取一个数 x,若 x满足 |x| m的概率为 56,则 = . 解析 由题意 -2,4的区间长度为 6,而满足条件的 x取值范围的区间长度为 5,故 m取 3,x -2,3.答案 314抛掷甲、乙两枚质地均匀,且四面上分别标有 1,2,3,4的正四面体,其底面落于桌面,记底面上的数字分别为 x,y,则 为 整数的概率是 . 解析 基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),
9、(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共 16种情况 .,则若 为 整数当 x=1时, y=1;当 x=2时, y=1,2;当 x=3时, y=1,3;当 x=4时, y=1,2,4.共有 8种情况 .使 为 整数故所求概率为 816=12.答案 1215如图所示,图中实线围成的部分是长方体(图)的平面展开图,其中四边形 ABCD是边长为1的正方形 .若向图中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是 14,则 此 长 方体的体 积 是 . 解析 设长方体的高为 h,由几何概型的概率计算公式可知,质点落在长方体的平面展开图内的概率 P=
10、 2+4(2+2)(2+1)=14,解得 h=3或 h= ),12(舍去故长方体的体积为 113=3.答案 36三、解答题(本大题共 5小题,共 45分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出 1到 5根手指头,若和为偶数则算甲赢,否则算乙赢 .(1)若以 A表示和为 6的事件,求 P(A).(2)现连玩三次,以 B表示“甲至少赢一次”的事件, C表示“乙至少赢两次”的事件,试问: B与 C是否为互斥事件?为什么?(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由 .解 (1)基本事件空间与点集 S=(x,y)|xN +,yN +,1 x5,1 y5中
11、的元素一一对应 .123451234562345673456784567895678910因为 S中点的总数为 25,所以基本事件总数 n=25.事件 A包含的基本事件数共 5个,即(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),故 P(A)=525=15.(2)B与 C不是互斥事件 .因为事件 B与 C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次的事件即符合题意 .(3)这种游戏规则不公平 .由(1)知和为偶数的基本事件数为 13个,即甲赢的概率.为 1325,乙 赢 的概率 为 1225,故 这 种游 戏规则 不公平17(8分)下图是某市 3月 1日至 14日的空气质量指数趋势图,空气质
12、量指数小于 100表示空气质量优良,空气质量指数大于 200表示空气重度污染 .某人随机选择 3月 1日至 3月 13日中的某一天到达该市,并停留 2天 .(1)求此人到达当日空气质量优良的概率;(2)求此人在该市停留时间只有 1天时空气重度污染的概率;(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结果不要求证明)解 (1)在 3月 1日至 3月 13日这 13天中,1 日、2 日、3 日、7 日、12 日、13 日共 6天的空气质量优良,所以此人到达当日空气质量优良的概率是 613.7(2)根据题意,事件“此人在该市停留期间只有 1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是 4
13、日,或 5日,或 7日,或 8日” .所以此人在该市停留期间只有 1天空气重度污染的概率为 413.(3)从 3月 5日开始连续三天的空气质量指数方差最大 .18(9分)某人在如图所示的直角边长为 4 m的等腰直角三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物 .根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量 Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数 X之间的关系如下表所示:X1 2 3 4Y51 48 45 42这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 m.(1)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;Y 51 48 45 42频数 4(2)在所
14、种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为 48 kg的概率 .解 (1)所种作物的总株数为 1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株数为 1的作物有 2株,“相近”作物株数为 2的作物有 4株,“相近”作物株数为 3的作物有 6株,“相近”作物株数为 4的作物有 3株 .列表如下:Y 51 48 45 42频数 2 4 6 3所种作物的平均年收获量为 512+484+456+42315=102+192+270+12615=69015=46.8(2)由(1)知,P(Y=51)=215,(=48)=415.故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为 48 kg的概率为P(Y48) =P(
15、Y=51)+P(Y=48)=215+415=25.19(10分)有一个不透明的袋子,装有三个完全相同的小球,球上分别标有数字 1,2,3.(1)若逐个不放回取球两次,求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被 3整除的概率;(2)若先从袋中随机取一个球,该球的编号为 a,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为 b,求直线 ax+by+1=0与圆 x2+y2=19有公共点的概率 .解 (1)用( a,b)(a表示第一次取到球的编号, b表示第二次取到球的编号)表示先后两次取球构成的基本事件,则基本事件有(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),共
16、 6个 .设“第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被 3整除”为事件 A,则事件 A包含的基本事件有(2,1),共 1个,故 P(A)=16.(2)由题意得,所有基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3, 3),共 9个 .设“直线 ax+by+1=0与圆 x2+y2 B,由题意 a2+b29,=19有公共点 ”为 事件 知 12+213,即则事件 B包含的基本事件有(1,3),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共 5个,故 P(B)=59.20(10分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量 x在
17、1,2,3,24这 24个整数中等可能随机产生 .(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y的值为 i的概率 Pi(i=1,2,3).(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行 n次后,统计记录了输出 y的值为 i(i=1,2,3)的频数,以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据 .甲的频数统计表(部分)运行次数输出 y的值输出 y的值输出 y的值9n 为 1的频数为 2的频数为 3的频数30 14 6 10 2 100 1 027 376 697乙的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为 1的频数输出y的值为 2的频数输出 y的值为 3的频数30 12 11 7 2
18、1001 051696 353当 n=2 100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出 y的值为 i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大 .解 (1)变量 x是在 1,2,3,24这 24个整数中随机产生的一个数,共有 24种可能 .当 x从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这 12个数中产生时,输出 y的值为 1,故 P1=12;当 x从 2,4,8,10,14,16,20,22这 8个数中产生时,输出 y的值为 2,故 P2=13;当 x从 6,12,18,24这 4个数中产生时,输出 y的值为 3,故 P3=16.所以,输出 y的值为 1的概率 y的值为 2的概率 y的值为 3的概率为 12,输 出 为 13,输 出 为 16.(2)当 n=2 100时,甲、乙所编程序各自输出 y的值为 i(i=1,2,3)的频率如下:输出 y的值为 1的频率输出 y的值为 2的频率输出 y的值为 3的频率甲 1 0272 100 3762 100 6972 100乙 1 0512 100 6962 100 3532 100比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大 .
