1、15 探究弹性势能的表达式学习目标1.知道探究弹性势能表达式的思路.2.理解弹性势能的概念，会分析决定弹性势能大小的相关因素.3.体会探究过程中的猜想、分析和转化的方法.4.领悟求弹力做功时通过细分过程化变力为恒力的思想方法.一、弹性势能1.定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能.2.弹簧的弹性势能：弹簧的长度为原长时，弹性势能为 0，弹簧被拉长或被压缩后，就具有了弹性势能.二、探究弹性势能的表达式1.猜想(1)弹性势能与弹簧被拉伸的长度有关，同一个弹簧，拉伸的长度越大，弹簧的弹性势能也越大.(2)弹性势能与弹簧的劲度系数有关，在拉伸长度 l 相同时，劲度系数
2、k 越大，弹性势能越大.2.探究思想：研究弹力做功与弹性势能变化的关系.3.“化变为恒”求拉力做功： W 总 F1 l1 F2 l2 Fn ln.4.“F l”图象面积的意义：表示 F 做功的值.判断下列说法的正误.(1)不同弹簧发生相同的形变时，弹力做功相同.( )(2)同一弹簧长度不同时，弹性势能一定不同.( )(3)发生弹性形变的物体都具有弹性势能.( )(4)弹性势能与弹簧的形变量和劲度系数有关.( )2(5)弹簧被压缩时，弹性势能为负；弹簧被拉伸时，弹性势能为正.( )(6)弹力做正功，弹性势能就增大；弹力做负功，弹性势能就减小.( )一、探究弹性势能的表达式1.如图 1 所示，在光
3、滑水平面上用物块向左压缩弹簧一定距离后，把物块静止释放，我们多做几次实验发现，同一根弹簧，压缩的长度越大，物体被弹开的速度越大.不同弹簧，在压缩量相同时，劲度系数越大，物体被弹开的速度越大.图 1(1)由此我们猜测，弹簧的弹性势能可能与哪些因素有关？(2)我们在研究重力势能的时候，是从分析重力做功入手的，由此你得到什么启发？答案 (1)与劲度系数和形变量有关(2)可以通过探究弹力做功来研究弹性势能.2.如图 2 所示，弹簧处于原长时，其右端位于 A 点.现将弹簧由 A 点缓慢拉到 B 点，使其伸长 l(仍处于弹性限度内)：图 2(1)在从 A 拉到 B 的过程中弹簧的弹性势能如何变化？弹性势能
4、与拉力做的功有什么关系？(2)拉力 F 是恒力吗？怎样计算拉力的功？(3)作出 F l 图象并类比 v t 图象中面积的含义，思考 F l 图象中“面积”有何物理意义？当 l x 时，其表达式是怎样的？答案 (1)弹簧的弹性势能变大.拉力做的功越多，弹簧储存的弹性势能越大且拉力做的功等于弹簧的弹性势能.(2)拉力 F 不是恒力，故不能用 W F l 计算拉力的功.若将从 A 到 B 的过程分成很多小段 l1、 l2、 l3，在各个小段上拉力可近似认为是不变的.各小段上拉力做的功分别是3F1 l1、 F2 l2、 F3 l3，拉力在整个过程中做的功 W F1 l1 F2 l2 F3 l3.(3)
5、根据胡克定律， F l 图象是一条过原点的倾斜直线，如图.阴影部分面积代表拉力做的功即弹性势能，当 l x 时， Ep kx2， k 为弹簧的劲度系数， x 为弹簧的形变量.121.对弹性势能的理解(1)弹性势能的产生原因Error!(2)弹性势能的影响因素Error!(3)系统性：弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量，因此弹性势能具有系统性.(4)相对性：弹性势能的大小与选定的零势能位置有关，对于弹簧，一般规定弹簧处于原长时的势能为零势能.2.弹性势能表达式的推导根据胡克定律 F kx，作出弹力 F 与弹簧形变量 x 关系的 F x 图线，根据 W Fx 知，图线
6、与横轴所围的面积应等于 F 所做的功，即 W kx2，所以 Ep kx2.kxx2 12 12例 1 关于弹性势能，下列说法中正确的是( )A.只有弹簧发生弹性形变时才具有弹性势能，其他物体发生弹性形变时是不会有弹性势能的B.弹簧伸长时有弹性势能，压缩时没有弹性势能C.在弹性限度范围内，同一个弹簧形变量越大，弹性势能就越大D.火车车厢底下的弹簧比自行车车座底下的弹簧硬，则将它们压缩相同的长度时，火车车厢底下的弹簧具有的弹性势能小答案 C解析 所有发生弹性形变的物体都具有弹性势能，A 错；弹簧伸长和压缩时都具有弹性势能，B 错；根据弹性势能的表达式 Ep kx2知，C 对；火车车厢底下的弹簧比自
7、行车车座12底下的弹簧劲度系数大，所以压缩相同长度时火车车厢底下的弹簧具有的弹性势能大，D错.4【考点】弹性势能的理解【题点】弹性势能的理解针对训练 1 关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是( )A.当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大B.当弹簧变短时，它的弹性势能一定减小C.若选弹簧自然长度时的弹性势能为 0，则其他长度的弹性势能均为正值D.若选弹簧自然长度时的弹性势能为 0，则伸长时弹性势能为正值，压缩时弹性势能为负值答案 C解析 如果弹簧原来处在压缩状态，当它变长且未恢复到原长前，它的弹性势能应该减小，当它变短时，它的弹性势能应该增大，在原长处它的弹性势能最小，A、B 错；由于弹簧处于自
8、然长度时的弹性势能最小，若选弹簧自然长度时的弹性势能为 0，则其他长度时的弹性势能均为正值，C 对，D 错.【考点】弹性势能的理解【题点】弹性势能的理解二、弹力做功与弹性势能变化的关系如图 3 所示，物体与弹簧相连，物体在 O 点时弹簧处于原长，把物体向右拉到 A 处静止释放，物体会由 A 向 A运动，则：图 3(1)物体由 A 向 O 运动的过程中，弹力做什么功？弹性势能如何变化？(2)物体由 O 向 A运动的过程中，弹力做什么功？弹性势能如何变化？答案 (1)正功 减少 (2)负功 增加1.弹力做功与弹性势能变化的关系(1)关系：弹力做正功时，弹性势能减少，弹力做负功时，弹性势能增加，并且
9、弹力做多少功，弹性势能就减少多少.5(2)表达式： W 弹 Ep Ep1 Ep2.2.使用范围：在弹簧的弹性限度内.注意：弹力做功和重力做功一样，也和路径无关，弹性势能的变化只与弹力做功有关.例 2 如图 4 所示，处于自然长度的轻质弹簧一端与墙接触，另一端与置于光滑地面上的物体接触，现在物体上施加一水平推力 F，使物体缓慢压缩弹簧，当推力 F 做功 100J 时，弹簧的弹力做功_J，以弹簧处于自然长度时的弹性势能为零，则此时弹簧的弹性势能为_J.图 4答案 100 100解析 在物体缓慢压缩弹簧的过程中，推力 F 始终与弹簧弹力等大反向，所以推力 F 做的功等于克服弹簧弹力所做的功，即 W
10、弹 WF100J.由弹力做功与弹性势能的变化关系知，弹性势能增加了 100J.【考点】弹力做功与弹性势能的关系【题点】弹力做功与弹性势能关系的应用针对训练 2 如图 5 所示，轻弹簧下端系一重物， O 点为其平衡位置(即重力和弹簧弹力大小相等的位置)，今用手向下拉重物，第一次把它直接拉到 A 点，弹力做功为 W1，第二次把它拉到 B 点后再让其回到 A 点，弹力做功为 W2，则这两次弹力做功的关系为( )图 5A.W1W2 B.W12 W2C.W22 W1 D.W1 W2答案 D解析 弹力做功与路径无关，只与初、末位置有关，两次初、末位置相同，故 W1 W2，D正确.【考点】弹力做功与弹性势能
11、的关系6【题点】弹力做功与弹性势能关系的应用7三、利用 F x 图象求解变力做功的问题例 3 弹簧原长 l015cm，受拉力作用后弹簧逐渐伸长(仍在弹性限度内)，当弹簧伸长到长度为 l120cm 时，作用在弹簧上的力为 400N，问：(1)弹簧的劲度系数 k 为多少？(2)在该过程中弹力做了多少功？答案 (1)8000N/m (2)10J解析 (1)根据胡克定律 F kx 得k N/m8 000 N/m.Fx Fl1 l0 4000.20 0.15(2)由于 F kx，作出 F x 图象如图所示，求出图中阴影部分的面积，即为弹力做功的绝对值，由于在伸长过程中弹力 F 的方向与位移 x 的方向相
12、反，故弹力 F 在此过程中做负功，W 0.05400J10J.12【考点】弹力做功与弹性势能的关系【题点】图象法或平均值法求弹力做功当力 F 与位移 x 成线性关系时，求该力做功的方法1.图象法： F x 图线与 x 坐标轴围成的面积，即为 F 在这段位移 x 上所做的功.2.平均值法：求出某段位移 x 上力的平均值 ，利用 W x 得出力 F 在这段位移 x 上所做的F F功.1.(对弹性势能的理解)(多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是( )A.任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能B.任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变C.物体只要发生形变，就一定具有弹性势能D.弹簧的弹性势能只
13、跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关8答案 AB解析 发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力作用而具有的势能，叫做弹性势能，所以，任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能，任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变.物体发生了形变，若是非弹性形变，无弹力作用，则物体就不具有弹性势能.弹簧的弹性势能除了跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关外，还跟弹簧的劲度系数有关.故选 A、B.【考点】弹性势能的理解【题点】弹性势能的理解2.(弹力做功与弹性势能变化的关系)(多选)如图 6 所示，一个物体以速度 v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，在此过程中，以下说法正确的是( )图 6A.弹簧对物体做
14、的功与弹簧的压缩量成正比B.物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等C.弹簧的弹力做正功，弹性势能增加D.弹簧的弹力做负功，弹性势能增加答案 BD解析 由 W kx2知，选项 A 错误；弹簧开始被压缩时弹力小，弹力做的功也少，弹簧的12压缩量变大时，物体移动相同的距离做的功多，故选项 B 正确；物体压缩弹簧的过程，弹簧的弹力与弹力作用点的位移方向相反，所以弹力做负功，弹性势能增加，故选项 C 错误，选项 D 正确.【考点】弹力做功与弹性势能的关系【题点】弹力做功与弹性势能关系的理解3.(弹力做功与弹性势能变化的关系)(多选)如图 7 所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端在水平力 F 作用下缓慢
15、拉伸了 x.关于拉力 F、弹性势能 Ep随伸长量 x 的变化图象正确的是( )图 79答案 AD解析 因为是缓慢拉伸、所以拉力始终与弹簧弹力大小相等，由胡克定律 F kx， F x 图象为倾斜直线，A 正确，B 错误.随着形变量的增大，弹力越来越大，拉相同距离时， F 做的功越来越大，因此弹性势能的增加量越来越大，故 D 正确，C 错误.【考点】弹力做功与弹性势能的关系【题点】弹力做功与弹性势能关系的应用4.(弹力做功、弹性势能的变化)如图 8 甲所示，一滑块沿光滑的水平面向左运动，与轻弹簧接触后将弹簧压缩到最短，然后反向弹回，弹簧始终处在弹性限度以内，图乙为测得的弹簧的弹力与弹簧压缩量之间的
16、关系图象，则弹簧的压缩量由 8cm 变为 4cm 时，弹簧所做的功以及弹性势能的变化量分别为( )图 8A.3.6J、3.6J B.3.6J、3.6JC.1.8J、1.8J D.1.8J、1.8J答案 C解析 F x 围成的面积表示弹力做的功. W 0.0860 J 0.0430 J1.8 J，根12 12据 W Ep知，弹性势能减少 1.8 J，C 正确.【考点】弹力做功与弹性势能的关系【题点】图象法或平均值法求弹力做功10一、选择题考点一 对弹性势能的理解1.某同学在桌面上用一个小钢球和一个弹簧来探究弹簧的弹性势能.弹簧一端固定(如图 1所示)，另一端用钢球压缩弹簧后静止释放，钢球被弹出后
17、落地.当他发现弹簧压缩得越多，钢球被弹出得越远，由此能得出的结论是( )图 1A.弹性势能与形变量有关，形变量越大，弹性势能越大B.弹性势能与形变量有关，形变量越大，弹性势能越小C.弹性势能与劲度系数有关，劲度系数越大，弹性势能越大D.弹性势能与劲度系数有关，劲度系数越大，弹性势能越小答案 A【考点】影响弹性势能大小的因素【题点】影响弹性势能大小的因素2.如图 2 所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力 F 的作用下物体处于静止状态，当撤去 F 后，物体将向右运动.在物体向右运动到最远的过程中，下列说法正确的是( )图 2A.弹簧的弹性势能逐渐减小B.弹簧
18、的弹性势能逐渐增大C.弹簧的弹性势能先增大后减小D.弹簧的弹性势能先减小后增大答案 D解析 由物体处于静止状态可知，弹簧处于被压缩状态，撤去 F 后物体在向右运动的过程11中，弹簧的弹力对物体先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能先减小后增大.故选 D.【考点】影响弹性势能大小的因素【题点】弹性势能与形变量关系的应用3.(多选)图 3 甲是玩家玩“蹦极”游戏的真实照片，玩家将一根长为 AB 的弹性绳子的一端系在身上，另一端固定在高处，然后从高处跳下，图乙是玩家到达最低点时的情况，其中AB 为弹性绳子的原长， C 点是弹力等于重力的位置， D 点是玩家所到达的最低点，对于玩家离开跳台至最低点的过程中
19、，下列说法正确的是( )图 3A.重力对人一直做正功B.人的重力势能一直减小C.玩家通过 B 点之后，绳子具有弹性势能D.从 A 到 D，弹性绳子的弹性势能一直增加答案 ABC解析 整个过程中，重力一直做正功，重力势能一直减小；人从高空落下到弹性绳子达到原长过程中，弹性绳子不做功，此后弹性绳子一直做负功，弹性势能一直增加.【考点】弹力做功与弹性势能的关系【题点】弹力做功与弹性势能关系的理解4.一竖直弹簧下端固定于水平地面上，小球从弹簧的正上方高为 h 的地方由静止下落到弹簧上端，如图 4 所示，经几次反弹以后小球最终在弹簧上静止于某一点 A 处，则( )图 4A.h 越大，弹簧在 A 点的压缩
20、量越大12B.弹簧在 A 点的压缩量与 h 无关C.h 越大，最终小球静止在 A 点时弹簧的弹性势能越大D.小球第一次到达 A 点时弹簧的弹性势能比最终小球静止在 A 点时弹簧的弹性势能大答案 B解析 最终小球静止在 A 点时，通过受力分析，小球受自身重力 mg 与弹簧的弹力 kx 大小相等，由 mg kx 得，弹簧在 A 点的压缩量 x 与 h 无关，弹簧的弹性势能与 h 无关.【考点】影响弹性势能大小的因素【题点】弹性势能与形变量关系的应用5.如图 5 所示，质量相等的两木块中间连有一弹簧，今用力 F 缓慢向上提 A，直到 B 恰好离开地面.开始时物体 A 静止在弹簧上面.设开始时弹簧的弹
21、性势能为 Ep1， B 刚要离开地面时，弹簧的弹性势能为 Ep2，则关于 Ep1、 Ep2的大小关系及弹性势能的变化 Ep，下列说法中正确的是( )图 5A.Ep1 Ep2 B.Ep1 Ep2C. Ep0 D. Ep0答案 A解析 开始时弹簧形变量为 x1，有 kx1 mg，设 B 刚要离开地面时弹簧形变量为 x2，有kx2 mg，由于 x1 x2所以 Ep1 Ep2， Ep0，A 对.【考点】影响弹性势能大小的因素【题点】弹性势能与形变量关系的应用6.如图 6 所示，质量不计的弹簧一端固定在地面上，弹簧竖直放置，将一小球从距弹簧自由端高度分别为 h1、 h2的地方先后由静止释放， h1 h2
22、，小球接触到弹簧后向下运动压缩弹簧，从开始释放小球到获得最大速度的过程中，小球重力做功 W1、 W2的关系及弹簧弹性势能的增加量 Ep1、 Ep2的关系中，正确的一组是( )13图 6A.W1 W2， Ep1 Ep2B.W1 W2， Ep1 Ep2C.W1 W2， Ep1 Ep2D.W1 W2， Ep1 Ep2答案 B解析 小球速度最大的条件是弹簧弹力等于小球重力，两种情况下，对应于同一位置，故 Ep1 Ep2，由于 h1 h2，所以 W1 W2，B 正确.【考点】弹力做功与弹性势能的关系【题点】弹力做功与弹性势能关系的理解考点二 弹力做功与弹性势能的变化7.(多选)如图 7 所示，一轻弹簧一
23、端固定于 O 点，另一端系一重物，将重物从与悬点 O 在同一水平面且使弹簧保持原长的 A 点无初速度释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由 A 点摆向最低点 B 的过程中( )图 7A.重力做正功，弹力不做功B.重力做正功，弹力做负功，弹性势能增加C.若用与弹簧原长相等的不可伸长的细绳代替弹簧后，重力做正功，弹力不做功D.若用与弹簧原长相等的不可伸长的细绳代替弹簧后，重力做功不变，弹力不做功答案 BC解析 用不可伸长的细绳拴住重物向下摆动时，重力做正功，弹力不做功，C 对；用弹簧拴住重物向下摆动时，弹簧要伸长，重物轨迹不是圆弧，弹力做负功，弹性势能增加，重力做正功，且做功多，所以 A、D
24、错，B 对.【考点】弹力做功与弹性势能的关系14【题点】弹力做功与弹性势能关系的理解8.一个小孩在蹦床上做游戏，他从高处落到蹦床上后又被弹起到原高度，小孩从高处开始下落到弹回的整个过程中，他运动的速度 v 随时间 t 变化的图象如图 8 所示，图中 Oa 段为直线，则根据该图象可知，蹦床的弹性势能增大的过程所对应的时间间隔为( )图 8A.仅在 t1到 t2的时间内B.仅在 t2到 t3的时间内C.在 t1到 t3的时间内D.在 t1到 t4的时间内答案 C解析 小孩从高处落下，在 0 t1时间内小孩只受重力作用；在 t1 t2时间内加速度减小，说明小孩又受到了弹力作用，蹦床受到压力； t3时
25、刻，小孩的速度为零，蹦床受到的压力最大，弹性势能也最大； t3时刻后小孩反弹，蹦床的弹性势能减小，故选项 C 正确.【考点】弹力做功与弹性势能的关系【题点】弹力做功与弹性势能关系的应用9.轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量 m0.5kg 的物块相连，如图 9 甲所示.弹簧处于原长状态，物块静止且与水平面间的动摩擦因数 0.2.以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立 x 轴.现对物块施加水平向右的外力 F， F 随 x 轴坐标变化的情况如图乙所示.物块运动至 x0.4m 处时速度为零.则此时弹簧的弹性势能为(取 g10m/s 2)( )图 9A.3.1J B.3.5JC.1.8J D.2.0
26、J答案 A15解析 物块与水平面间的滑动摩擦力为 Ff mg 1 N.现对物块施加水平向右的外力 F，由 F x 图象面积表示功可知 F 做功 W3.5 J，克服摩擦力做功 Wf Ffx0.4 J.外力所做的总功转化为弹簧的弹性势能，所以此时弹簧的弹性势能为 Ep3.1 J，选项 A 正确.【考点】弹力做功与弹性势能的关系【题点】弹力做功与弹性势能关系的应用二、非选择题10.(探究弹性势能的表达式)某同学利用自己设计的弹簧弹射器做“验证弹簧弹性势能Ep kx2(k 为弹簧的劲度系数， x 为弹簧的形变量)”的实验，装置如图 10(a)所示.水平放12置的弹射器将质量为 m 的小球弹射出去，测出
27、小球通过两个竖直放置的光电门的时间间隔为 t，用刻度尺测出弹簧的压缩量为 x，甲、乙光电门的间距为 L，忽略一切阻力.(已知动能的表达式 Ek mv2)12图 10(1)小球被弹射出的速度大小 v_，求得弹簧弹性势能 Ep_；(用题目中的字母表示)(2)该同学测出多组数据，计算并画出如图(b)所示 Ep与 x2的关系图线，从而验证了它们之间的关系.根据图线求得弹簧的劲度系数 k_N/m；(3)由于重力作用，小球被弹出去后运动轨迹会向下有所偏转，这对实验结果_影响(选填“有”或“无”).答案 (1) (2)200 (3)无Lt mL22t2解析 (1)由题图(a)可知，弹簧在小球进入光电门之前就
28、已经恢复形变，且此时弹簧的弹16性势能全部转化为小球的动能，故小球被弹射出的速度等于小球通过光电门时的水平速度，即 v ， Ep mv2 m 2 .Lt 12 12(Lt) mL22t2(2)由题图(b)读出数据并代入公式 Ep kx2，得 0.01 J k1104 m2，解得 k200 12 12N/m.(3)由力作用的独立性可知，重力不影响水平方向的分运动，无论有没有重力做功，小球的水平速度都不会变化.【考点】影响弹性势能大小的因素【题点】探究弹性势能的表达式11.(弹力做功与弹性势能的变化)如图 11 所示，在水平地面上竖直放置一轻质弹簧，弹簧上端与一质量为 2.0kg 的木块相连.若在
29、木块上再作用一个竖直向下的变力 F，使木块缓慢向下移动 0.1m 时，木块再次处于平衡状态，此时力 F 的大小为 50N.(取 g10m/s 2)求：图 11(1)弹簧的劲度系数；(2)在木块下移 0.1m 的过程中弹性势能的增加量.答案 (1)500N/m (2)4.5J解析 (1)设木块开始静止时，弹簧的压缩量为 l1，后来静止时，弹簧的压缩量为 l2，由胡克定律及平衡条件得，未施加力 F 时，弹力 F1 mg kl120N，施加力 F 后，弹力 F2 F mg kl270N，且 l2 l10.1m，联立以上各式得 k500N/m.(2)由以上方程得 l10.04m， l20.14m，根据
30、以上数据作出 F l 图象如图所示.在木块下移 0.1m 的过程中，弹力做负功，且 W S 阴影 (2070)0.1J4.5J.1217所以弹性势能的增加量 Ep W4.5J.【考点】弹力做功与弹性势能的关系【题点】弹力做功与弹性势能关系的应用12.(弹力做功与弹性势能的变化)通过探究得到弹性势能的表达式为 Ep kx2，式中 k 为弹12簧的劲度系数， x 为弹簧伸长(或缩短)的长度.请利用弹性势能表达式计算以下问题：图 12放在地面上的物体上端系在一劲度系数 k400N/m 的弹簧上，弹簧的另一端拴在跨过定滑轮的绳子上，如图 12 所示.手拉绳子的另一端，当往下拉 0.1m 时，物体开始离
31、开地面，继续拉绳，使物体缓慢升高到离地 h0.5m 高处.如果不计弹簧重力及滑轮与绳的摩擦，求整个过程中拉力所做的功以及此时弹簧弹性势能的大小.答案 22J 2J解析 物体刚离开地面时，弹簧的弹性势能Ep kx2 4000.12J2J12 12此过程中拉力做的功与克服弹力做的功相等，则有W1 W 弹 Ep2J物体刚好离开地面时，有G F kx4000.1N40N物体上升 h0.5m 过程中，拉力做的功等于克服重力做的功，则有W2 Gh400.5J20J在整个过程中，拉力做的功W W1 W22J20J22J此时弹簧的弹性势能仍为 2J.【考点】弹力做功与弹性势能的关系【题点】弹力做功与弹性势能关系的应用
