1、1微型专题 2 平抛运动规律的应用学习目标 1.能熟练运用平抛运动规律解决问题.2.会分析平抛运动与其他运动相结合的问题.3.会分析类平抛运动.一、平抛运动的两个重要的推论及应用平抛运动的两个推论(1)某时刻速度、位移与初速度方向的夹角 、 的关系为 tan 2tan .(2)做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点.例 1 如图 1 所示，一物体自倾角为 的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角 满足(空气阻力不计)( )图 1A.tan sin B.tan cos C.tan tan D.tan 2tan 答案 D解析
2、物体从抛出至落到斜面的过程中，位移方向与水平方向夹角为 ，落到斜面上时速度方向与水平方向夹角为 ，由平抛运动的推论知 tan 2tan ，选项 D 正确.【考点】平抛运动推论的应用【题点】平抛运动推论的应用二、与斜面有关的平抛运动与斜面有关的平抛运动，包括两种情况：(1)物体从空中抛出落在斜面上；(2)物体从斜面上抛出落在斜面上.在解答该类问题时，除要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度的关系，从而使问题得到顺利解决.2两种情况的特点及分析方法对比如下：方法 内容 斜面 飞行时间 总结分解速度水平方向： vx v0竖直方向： vy gt特点：tan v
3、xvy v0gttv0gtan分解速度，构建速度三角形分解位移水平方向： x v0t竖直方向： y gt212特点：tan yx gt2v0t2v0tang 分解位移，构建位移三角形例 2 如图 2 所示，以 9.8m/s 的水平初速度 v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为 30的固定斜面上，这段飞行所用的时间为(不计空气阻力， g 取 9.8 m/s2)( )图 2A. s B. s23 223C. s D.2s3答案 C解析 如图所示，把末速度分解成水平方向的分速度 v0和竖直方向的分速度 vy，则有tan30 ， vy gt，联立得 t s，故 C 正确.v0vy v0gta
4、n30 3v0g 3【考点】平抛运动与斜面的结合问题【题点】对着斜面水平抛物问题本题中物体垂直落到斜面上，属于知道末速度方向的题目.此类题目的分析方法一般是将物体的末速度进行分解，由速度方向确定两分速度之间的关系.3例 3 如图 3 所示， AB 为固定斜面，倾角为 30，小球从 A 点以初速度 v0水平抛出，恰好落到 B 点.求：(空气阻力不计，重力加速度为 g)图 3(1)A、 B 间的距离及小球在空中飞行的时间；(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？答案 (1) (2) 4v023g 23v03g 3v03g 3v0212g解析 (1)设飞行时间为 t，则
5、水平方向位移 lABcos30 v0t，竖直方向位移 lABsin30 gt2，12解得 t tan30 ， lAB .2v0g 23v03g 4v023g(2)方法一(常规分解)如图所示，小球的速度方向平行于斜面时，小球离斜面的距离最大，设经过的时间为t，则此时有 tan30 vyv0 gtv0故运动时间为 t v0tan30g 3v03g此时小球的水平位移为 x v0t3v023g又此时小球速度方向的反向延长线交横轴于 处，故小球离斜面的最大距离为x2H xsin30 .12 3v0212g方法二(结合斜抛运动分解)4如图所示，把初速度 v0、重力加速度 g 都分解成沿斜面和垂直斜面的两个
6、分量.在垂直斜面方向上，小球做的是以 v0y为初速度、 gy为加速度的“竖直上抛”运动.小球到达离斜面最远处时，速度 vy0，由 vy v0y gyt可得t tan30v0ygy v0sin30gcos30v0g 3v03g小球离斜面的最大距离 y .v0y22gy v02sin2302gcos30 3v0212g【考点】平抛运动与斜面的结合问题【题点】从斜面顶端水平抛物问题1.物体从斜面抛出后又落到斜面上，属已知位移方向的题目，此类题的解题方法一般是把位移分解，由位移方向确定两分位移的关系.2.从斜面上开始又落于斜面上的过程中，速度方向与斜面平行时，物体到斜面的距离最大，此时已知速度方向，需
7、将速度进行分解.针对训练 两相同高度的固定斜面倾角分别为 30、60，两小球分别由斜面顶端以相同水平速率 v 抛出，如图 4 所示，不计空气阻力，假设两球都能落在斜面上，则分别向左、右两侧抛出的小球下落高度之比为( )图 4A.12 B.31C.19 D.91答案 C解析 根据平抛运动的规律以及落在斜面上的特点可知， x v0t， y gt2，tan ，分12 yx别将 30、60代入可得左、右两球平抛所经历的时间之比为 13，两球下落高度之比为19，选项 C 正确.【考点】平抛运动与斜面的结合问题【题点】从斜面顶端水平抛物问题5三、类平抛运动类平抛运动是指物体做曲线运动，其运动可以分解为互相
8、垂直的两个方向的分运动：一个方向做匀速直线运动，另一个方向是在恒定合外力作用下的初速度为零的匀加速直线运动.(1)类平抛运动的受力特点物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直.(2)类平抛运动的运动规律初速度 v0方向上： vx v0， x v0t.合外力方向上： a ， vy at， y at2.F合m 12例 4 如图 5 所示的光滑固定斜面长为 l、宽为 b、倾角为 ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点 P 水平射入，恰好从底端 Q 点离开斜面，试求：(重力加速度为 g，不计空气阻力)图 5(1)物块由 P 运动到 Q 所用的时间 t；(2)物块由 P 点水平射入时的初速度 v0；
9、(3)物块离开 Q 点时速度的大小 v.答案 (1) (2) b (3)2lgsin gsin2l b2 4l2gsin2l解析 (1)沿斜面向下的方向有 mgsin ma， l at212联立解得 t .2lgsin(2)沿水平方向有 b v0tv0 b .bt gsin2l(3)物块离开 Q 点时的速度大小v .v02 at2b2 4l2gsin2l【考点】类平抛物体的运动【题点】类平抛物体的运动61.(平抛运动规律的推论)如图 6 所示，从倾角为 的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为 v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为 1；当抛出速
10、度为 v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为 2，不计空气阻力，则( )图 6A.当 v1v2时， 1 2B.当 v1v2时， 1 2C.无论 v1、 v2关系如何，均有 1 2D. 1、 2的关系与斜面倾角 有关答案 C解析 小球从斜面某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移与水平方向的夹角等于斜面倾角 ，即 tan ，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角的正切值yx 12gt2v0t gt2v0tan ，故可得 tan 2tan ，只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向夹角vyvx gtv0就总是 ，则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是 ，故速度方向与斜面的夹角就总是相等，与 v1
11、、 v2的关系无关，C 选项正确.【考点】平抛运动与斜面的结合问题【题点】从斜面顶端水平抛物问题2.(类平抛运动) A、 B 两个质点以相同的水平速度 v0抛出， A 在竖直平面内运动，落地点为P1.B 沿光滑斜面运动，落地点为 P2，不计阻力，如图 7 所示，下列关于 P1、 P2在 x 轴上远近关系的判断正确的是( )图 7A.P1较远 B.P2较远C.P1、 P2一样远 D.A、B 两项都有可能7答案 B解析 A 质点水平抛出后，只受重力，做平抛运动，在竖直方向有 h gt12.B 质点水平抛12出后，受重力和支持力，在斜面平面内所受合力为 mgsin ，大小恒定且与初速度方向垂直，所以
12、 B 质点做类平抛运动.在沿斜面向下方向上 gsin t22，由此得hsin 12t2 t1，由于二者在水平方向( x 轴方向)上都做速度为 v0的匀速运动，由 x v0t 知 x2 x1.【考点】类平抛物体的运动【题点】类平抛物体的运动3.(与斜面有关的平抛运动)如图 8 所示，运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上(未画出)获得一速度后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆.设一位运动员由斜坡顶的 A 点沿水平方向飞出的速度 v020 m/s，落点在斜坡底的 B 点，斜坡倾角 37，斜坡可以看成一斜面，不计空气阻力.( g 取 10 m/s2，sin 370.6，cos370.8)求：图 8
13、(1)运动员在空中飞行的时间 t；(2)A、 B 间的距离 s.答案 (1)3s (2)75m解析 (1)运动员由 A 点到 B 点做平抛运动，则水平方向的位移 x v0t竖直方向的位移 y gt212又 tan ，联立得 t 3syx 2v0tang(2)由题意知 sin ys 12gt2s得 A、 B 间的距离 s 75m.gt22sin【考点】平抛运动与斜面的结合问题【题点】从斜面顶端水平抛物问题4.(与斜面有关的平抛运动)如图 9 所示，小球以 15 m/s 的水平初速度向一倾角为 37的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上.不计空气阻力，在这一过程中，求：(g 取 10 m/
14、s2，sin 370.6，cos 370.8)8图 9(1)小球在空中的飞行时间；(2)抛出点距撞击点的竖直高度.答案 (1)2s (2)20m解析 (1)将小球垂直撞在斜面上时的速度分解，如图所示.由图可知 37，tan ，则 t 2s.v0gt v0gtan(2)h gt2 1022m20m.12 12【考点】平抛运动与斜面的结合问题【题点】对着斜面水平抛物问题一、选择题考点一 平抛运动推论的应用1.如图 1 所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间 t 到达地面时，速度与水平方向的夹角为 ，不计空气阻力，重力加速度为 g，下列说法正确的是( )图 1A.小球水平抛出时的初速度大小为 gtt
15、anB.小球在 t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为 2C.若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长9D.若小球初速度增大，则 减小答案 D解析 速度、位移分解如图所示， vy gt， v0 ，故 A 错.设位移方向与水平vytan gttan方向夹角为 ，则 tan 2tan ， ，故 B 错.平抛运动的落地时间由下落高度决定， 2与水平初速度无关，故 C 错.由 tan 知， v0增大则 减小，D 正确.vyv0【考点】平抛运动推论的应用【题点】平抛运动推论的应用2.某军区某旅展开的实兵实弹演练中，某火箭炮在山坡上发射炮弹，所有炮弹均落在山坡上，炮弹轨迹简化为平抛运动，如图 2 所示，则下
16、列选项说法正确的是( )图 2A.若将炮弹初速度减为 ，炮弹落在斜面上速度方向与斜面夹角不变v02B.若将炮弹初速度减为 ，炮弹落在斜面上速度方向与斜面夹角变小v02C.若将炮弹初速度减为 ，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面夹角变大v02D.若将炮弹初速度减为 ，炮弹位移变为原来的v02 12答案 A解析 因为炮弹落在斜面上的位移方向不变，所以落在斜面上的速度方向不变，B、C 项错误，A 项正确.由 tan 得： t ，而 h gt2，故 h v02，若将炮弹初速度12gt2v0t 2v0tang 12减为 ，则炮弹下落高度变为原来的 ，位移也变为原来的 ，D 项错误.v02 14 14【考点】
17、平抛运动推论的应用【题点】平抛运动推论的应用10考点二 与斜面有关的平抛运动3.如图 3 所示，在斜面顶端先后水平抛出同一小球，第一次小球落到斜面中点，第二次小球落到斜面底端，从抛出到落至斜面上(忽略空气阻力)( )图 3A.两次小球运动时间之比 t1 t21 2B.两次小球运动时间之比 t1 t212C.两次小球抛出时初速度之比 v01 v0212D.两次小球抛出时初速度之比 v01 v0214答案 A解析 平抛运动竖直方向为自由落体运动， h gt2，由题意可知两次平抛的竖直位移之比12为 12，所以运动时间之比为 t1 t21 ，A 对，B 错；水平方向为匀速直线运动，由2题意知水平位移
18、之比为 12，即 v01t1 v02t212，所以两次抛出时的初速度之比v01 v021 ，选项 C、D 错.2【考点】平抛运动与斜面的结合问题【题点】从斜面顶端水平抛物问题4.如图 4 所示，从斜面上的 A 点以速度 v0水平抛出一个物体，飞行一段时间后，落到斜面上的 B 点，已知 75m， 37，不计空气阻力， g10m/s 2，下列说法正确的是( )AB图 4A.物体的位移大小为 60mB.物体飞行的时间为 6sC.物体的初速度 v0大小为 20m/sD.物体在 B 点的速度大小为 30m/s答案 C解析 物体的位移等于初、末位置的距离，位移大小 l 75m，A 错误.平抛运动的竖直AB
19、位移 h sin 750.6m45m，根据 h gt2得，物体飞行的时间AB1211t s3s，B 错误.物体的初速度 v0 m/s20 m/s，C2hg 24510 ABcost 750.83正确.物体落到 B 点的竖直分速度 vBy gt103m/s30 m/s，根据平行四边形定则知，物体落在 B 点的速度 vB m/s10 m/s，D 错误.v02 vBy2 400 900 13【考点】平抛运动与斜面的结合问题【题点】从斜面顶端水平抛物问题5.在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以 v 和 的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在v2该斜面上.甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )A
20、.2 倍 B.4 倍C.6 倍 D.8 倍答案 A解析 如图所示，可知：x vt，xtan gt2，12则 x v2，即 x v2，2tangvy gt2tan v甲、乙两球抛出速度为 v 和 ，则相应水平位移之比为 41，由相似三角形知，下落高度v2之比也为 41，由自由落体运动规律得，落在斜面上竖直方向速度之比为 21，则可得落至斜面时速率之比为 21.6.斜面上有 P、 R、 S、 T 四个点，如图 5 所示， PR RS ST，从 P 点正上方的 Q 点以速度 v水平抛出一个物体，物体落于 R 点，若从 Q 点以速度 2v 水平抛出一个物体，不计空气阻力，则物体落在斜面上的( )图 5
21、A.R 与 S 间的某一点B.S 点12C.S 与 T 间的某一点D.T 点答案 A解析 平抛运动的时间由下落的高度决定，下落的高度越高，运动时间越长.如果没有斜面，增大速度后物体下落至与 R 等高时恰位于 S 点的正下方，但实际当中斜面阻碍了物体的下落，物体会落在 R 与 S 点之间斜面上的某个位置，A 项正确.【考点】平抛运动与斜面的结合问题【题点】对着斜面水平抛物问题7.如图 6 所示， B 点位于斜面底端 M 点的正上方，并与斜面顶端 A 点等高，且高度为 h，在A、 B 两点分别以速度 va和 vb沿水平方向抛出两个小球 a、 b(可视为质点)，若 a 球落到 M点的同时， b 球恰
22、好落到斜面的中点 N，不计空气阻力，重力加速度为 g，则( )图 6A.va vbB.va vb2C.a、 b 两球同时抛出D.a 球比 b 球提前抛出的时间为( 1)22hg答案 B解析 据题意，由于 a 球落到斜面底端 M 点时 b 球落到斜面中点，则可知 a 球的水平位移和竖直位移都是 b 球的两倍，即 xa2 xb， ha2 hb，由 h gt2和 x vt 得 v x ，故12 g2h ， va vb，故选项 A 错误，选项 B 正确；由于抛出时两球所在的高度相同，下落vavb 21 2高度不同，如果同时抛出， b 球应该先到达斜面中点，故选项 C 错误； a 球的运动时间为：ta
23、， b 球的运动时间为： tb ， a 球先运动， t ta tb( 1) ，故选项 D 错2hg hg 2 hg误.【考点】平抛运动与斜面的结合问题【题点】对着斜面水平抛物问题考点三 平抛运动规律的综合应用138.如图 7 所示， B 为竖直圆轨道的左端点，它和圆心 O 的连线与竖直方向的夹角为 .一小球在圆轨道左侧的 A 点以速度 v0平抛，恰好沿 B 点的切线方向进入圆轨道.已知重力加速度为 g，则 A、 B 之间的水平距离为( )图 7A. B.v02tang 2v02tangC. D.v02gtan 2v02gtan答案 A解析 如图所示，对在 B 点时的速度进行分解，小球运动的时间
24、 t ，则vyg v0tangA、 B 间的水平距离 x v0t ，故 A 正确，B、C、D 错误.v02tang【考点】平抛运动规律的综合应用【题点】平抛运动和圆的结合9.如图 8 所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆， O 为圆心， AB 为沿水平方向的直径.若在 A 点以初速度 v1沿 AB 方向平抛一小球，小球将击中坑壁上的最低点 D 点；而在C 点以初速度 v2沿 BA 方向平抛的小球也能击中 D 点.已知 COD60，则两小球初速度大小之比为(小球视为质点)( )图 8A.12 B.13C. 2 D. 33 6答案 D解析 小球从 A 点平抛击中 D 点： R v1t1， R
25、 gt12；小球从 C 点平抛击中 D 点：1214Rsin60 v2t2， R(1cos60) gt22，联立解得 ，D 正确.12 v1v2 63【考点】平抛运动规律的综合应用【题点】平抛运动和圆的结合10.(多选)如图 9 所示，从半径为 R1m 的半圆 AB 上的 A 点水平抛出一个可视为质点的小球，经 t0.4s 小球落到半圆上，已知当地的重力加速度 g10m/s 2，则小球的初速度 v0可能为( )图 9A.1 m/s B.2 m/sC.3 m/s D.4 m/s答案 AD解析 由于小球经 0.4s 落到半圆上，下落的高度 h gt20.8m，位置可能有两处，如图12所示，第一种可
26、能：小球落在半圆左侧， v0t R 0.4m， v01m/s，第二种可能：R2 h2小球落在半圆右侧， v0 t R 1.6m， v04m/s，选项 A、D 正确.R2 h2【考点】平抛运动推论的应用【题点】平抛运动推论的应用二、非选择题11.(平抛运动规律的综合应用)如图 10 所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在平台前一倾角为 53的固定斜面顶端并刚好沿斜面下滑，已知平台到斜面顶端的高度为h0.8m，不计空气阻力， g10m/s 2，sin530.8，cos530.6，求：图 10(1)小球水平抛出的初速度大小 v0；(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离 x.答案 (1)3m/s (2)1
27、.2m15解析 小球从平台运动到斜面顶端的过程中做平抛运动，由平抛运动规律有： x v0t， hgt2， vy gt12由题图可知：tan vyv0 gtv0代入数据解得： v03m/s， x1.2m.【考点】平抛运动规律的综合应用【题点】平抛运动规律的综合应用12.(与斜面有关的平抛运动)如图 11 所示，在倾角为 37的斜面上从 A 点以 6m/s 的初速度水平抛出一个小球，小球落在 B 点，求：( g 取 10 m/s2，sin370.6，cos370.8，不计空气阻力)图 11(1)A、 B 两点间的距离和小球在空中飞行的时间；(2)小球刚碰到斜面时的速度方向与水平方向夹角的正切值.答
28、案 (1)6.75m 0.9s (2)32解析 (1)如图所示，设小球落到 B 点时速度的偏转角为 ，运动时间为 t.则 tan37 thx 12gt2v0t 56又因为 tan37 ，解得 t0.9s34所以 x v0t5.4m则 A、 B 两点间的距离 l 6.75mxcos37(2)在 B 点时，tan .vyv0 gtv0 3213.(与斜面有关的平抛运动)如图 12 所示，一个小球从高 h10m 处以水平速度 v010m/s抛出，撞在倾角 45的斜面上的 P 点，已知 5m. g10m/s 2，不计空气阻力，求：AC16图 12(1)P、 C 之间的距离；(2)小球撞击 P 点时速度
29、的大小和方向.答案 (1)5 m (2)10 m/s 方向垂直于斜面向下2 2解析 (1)设 P、 C 之间的距离为 L，根据平抛运动规律有 Lcos v0t， h Lsin gt2AC12联立解得 L5 m， t1s2(2)小球撞击 P 点时的水平速度 v010m/s竖直速度 vy gt10m/s所以小球撞击 P 点时速度的大小 v 10 m/sv02 vy2 2设小球撞击 P 点时的速度方向与水平方向的夹角为 ，则 tan 1vyv0解得 45故小球撞击 P 点时速度方向垂直于斜面向下.【考点】平抛运动与斜面的结合问题【题点】对着斜面水平抛物问题14.(平抛运动规律的综合应用)如图 13
30、所示，斜面体 ABC 固定在地面上，小球 p 从 A 点静止下滑.当小球 p 开始下滑时，另一小球 q 从 A 点正上方的 D 点水平抛出，两球同时到达斜面底端的 B 处.已知斜面 AB 光滑，长度 l2.5m，斜面倾角 30.不计空气阻力， g 取10m/s2，求：图 13(1)小球 p 从 A 点滑到 B 点的时间.(2)小球 q 抛出时初速度的大小.答案 (1)1s (2) m/s534解析 (1)设小球 p 从斜面上下滑的加速度为 a，由牛顿第二定律得：a gsin mgsinm17设下滑所需时间为 t1，根据运动学公式得l at 12 12由得t1 2lgsin解得 t11s(2)对小球 q：水平方向位移 x lcos v0t2依题意得 t2 t1由得v0 m/s.lcost1 534【考点】平抛运动和直线运动的物体相遇问题【题点】平抛运动和直线运动的物体相遇问题
