1、滚动问题中弧长的计算湖北省黄石市下陆中学 陈 勇以几何图形的滚动为载体，求几何图形在滚动过程中某点所经过的路线长度的中考试题大量出现，成为中考试题的一大亮点，解答这类试题关键是搞清图形在滚动过程中某点所经过的各段路径，然后逐段求出各段路径的长度，再求出总的路线长度，现对其进行分类解析，供大家参考。一、三角形在桌面上滚动例 1（河南省中考题）如图，一块含有 30的直角三角板 ABC，在水平桌面上绕点C 按顺时针方向旋转到 AB C 的位置，若 BC 的长为 15cm，那么顶点 A 从开始到结束所经过的路径长为（ ）A.12 cm B.10 cm C. 15 cm D.20 cmx解析：三角板在旋
2、转过程中 点 A 从开始到结束所经过的路径是以点 C 为圆心，以 AC长为半径的圆上的一段弧，这段弧所对的圆心角是 120，由 BC=15 cm，A=30,可知AC=30 cm，所以可求得这段路径的长为： = 30 =20 。答案选 D。二、正方形在直线上滚动例 2.(黄冈市中考题) 将边长为 8cm 的正方形 ABCD 的四边沿直线 向右滚动(不滑动)，当正方形滚动两周时,正方形的顶点 A 所经过的路线的长是 cm解析：当正方形 ABCD 滚动一周时，所经过的路径是由三段圆弧组成。第一段是以第一个点 C（即第一次滚动时点 C 的位置）为圆心，以 AC 长为半径的一段弧，第二段是以第二个 D
3、点为圆心，以 AD 长为半径的一段弧，第三段是以第四个点 B 为圆心，以 AB 长为半径的一段弧，因为每次滚过的角度均为 90，所以其弧长均为弧所在的相应的圆的周长的 ，所以当正方形滚动两周时,正方形的顶点 A 所经过的路线的长是：2 （2 8 +28 +28 ）=16 +8 .三、矩形在直线上滚动例 3（济南市中考题）如图，矩形 ABCD 中，AB=8，AD=6，将矩形 ABCD 在直线上按顺时针方向不滑动的每秒转动 90，转动 3 秒后停止，则顶点 A 经过的路线长为 。解析：矩形 ABCD 在滚动过程中，顶点 A 经过的路线由三段圆弧组成，第一段是以点B 为圆心，以 AB 长为半径的一段
4、弧，第二段是以点 C 为圆心，以 AC 长为半径的一段弧，第三段是以点 D 为圆心，以 AD 长为半径的一段弧，因为每秒转动的角度均为 90，所以其弧长均为弧所在的相应圆的周长的 ，所以当滚动 3 秒后顶点 A 经过的路线长为： （28 +2 +26 ）=7 +5 =12 。四、圆在折线上滚动例 4(芜湖市中考题)一个小朋友在粗糙不滑动的“Z”字型平面轨道上滚动一个半径为 10cm 的圆盘，如图所示，AB 与 CD 是水平的，BC 与水平面的夹角为 60，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，请你作出该小朋友将圆盘从 A 点滚动到 D 点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的
5、长度。解析：如图所示，圆盘在滚动过程中圆心经过的路线由四段组成，第一段：线段OO ，第二段：线段 O O ，第三段：O 到 O 的一段圆弧，第四段：线段 O O 。由点 O 分别作 O EAB，O FBC ，可得O BE=O BF=60，在 Rt O BE 中，由 BE=O Ecot60= （cm） ，所以， OO =AB-BE =60-（cm）；由 BE = BF 得，O O =BC-BF=40- （cm）；由O CO =360-120-290=60，可求得圆弧 O O 的长 = = （cm ）；O O =CD=40 （cm）。所以，圆盘从 A 点滚动到 D 点其圆心所经过的路线的长度是（60- ）+（40- ）+ +40=140- + （cm）。
