1、1第 2课时 二次函数的实际应用命题点 1 二次函数在实物抛物线问题中的应用1(2011河北 T83分)一小球被抛出后，距离地面的高度 h(米)和飞行时间 t(秒)满足下面的函数关系式：h5(t1) 26，则小球距离地面的最大高度是(C)A1 米 B5 米 C6 米 D7 米命题点 2 二次函数在销售问题中的应用2(2012河北 T249分)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)，这些薄板的形状均为正方形，边长(单位：cm)在 550 之间每张薄板的成本价(单位：元)与它的面积(单位：cm 2)成正比例，每张薄板的出厂价(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固
2、定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例在营销过程中得到了表格中的数据薄板的边长(cm) 20 30出厂价(元/张) 50 70(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；(2)已知出厂一张边长为 40 cm的薄板，获得利润是 26元(利润出厂价成本价)求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式；当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？参考公式：抛物线 yax 2bxc(a0)的顶点坐标是( ， )b2a 4ac b24a解：(1)设一张薄板的边长为 x cm，它的出厂价为 y元/张，基础价为 n元，浮动价为 kx元，则 ykxn.由表格中的数据，得 解得50 20k
3、n，70 30k n， ) k 2，n 10.)y2x10.(2)设一张薄板的利润为 P元，它的成本价为 mx2元，由题意，得 Pymx 22x10mx 2.将 x40，P26 代入 P2x10mx 2中，得2624010m40 2，解得 m .125P x22x10.125a 0，x 在 550 之间，125当 x 25 时，P 最大值 35，即出厂一张边b2a 22（ 125） 4ac b24a4（ 125） 10 224（ 125）长为 25 cm的薄板，获得的利润最大，最大利润是 35元3(2013河北 T2512分)某公司在固定线路上运输，拟用运营指数 Q量化考核司机的工作业绩，QW
4、100，而 W的大小与运输次数 n及平均速度 x(km/h)有关(不考虑其他因素)，W 由两部分的和组成：一部分与 x的平方成正比，另一部分与 x的 n倍成正比试行中得到了表中的数据次数 n 2 1速度 x 40 60指数 Q 420 100(1)用含 x和 n的式子表示 Q；(2)当 x70，Q450 时，求 n的值；2(3)若 n3，要使 Q最大，确定 x的值；(4)设 n2，x40，能否在 n增加 m%(m0)同时 x减少 m%的情况下，而 Q的值仍为 420，若能，求出 m的值；若不能，请说明理由参考公式：抛物线 yax 2bxc(a0)的顶点坐标是( ， )b2a 4ac b24a解
5、：(1)设 Wk 1x2k 2nx，Qk 1x2k 2nx100.由表中数据，得解得 420 402k1 240k2 100，100 602k1 160k2 100， ) k1 110，k2 6. )Q x26nx100.4 分110(2)由题意，得450 702670n100.n2.6 分110(3)当 n3 时，Q x218x100.110由 a 6，这辆货车能安全通过223(3)令 y8，即 x22x48，可得 x212x240.16解得 x162 ，x 262 ，x 1x 24 .3 3 3答：两排灯的水平距离最小是 4 m.3【变式训练 1】(2018唐山乐亭县二模)足球运动员将足球
6、沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度 h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间 t(单位：s)之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 h 0 8 14 18 20 20 18 14 下列结论：足球距离地面的最大高度为 20 m；足球飞行路线的对称轴是直线 t ；足球被踢出929.5 s时落地；足球被踢出 7.5 s时，距离地面的高度是 11.25 m其中正确结论的个数是(B)A1 B2 C3 D4【变式训练 2】甲、乙两人进行羽毛球比赛，如图，甲在 O点正上方 1 m的 P处发出一球，羽毛球飞行的高度 y(m)与羽毛球到点 O
7、的水平距离 x(m)之间满足二次函数关系，当 x5 时，羽毛球达到最大飞行高度 3.5 m已知点 O到球网 Q的水平距离为 6 m，球网的高度为 1.55 m.(1)通过计算判断此球能否过网；(2)若乙没有接住球，羽毛球落地点为 R，求点 R到点 O的水平距离解：(1)由题意可知，该二次函数的顶点为(5，3.5)，且过 P(0，1)设 ya(x5) 23.5.将 P(0，1)代入，得 25a3.51，a .110y (x5) 23.5.110当 x6 时，y 13.53.4.11043.41.55，此球能过网(2)当 y0 时， (x5) 23.50.110解得 x15 (舍去)，x 25 .
8、35 35答：点 R到点 O的水平距离为(5 )m.35实物抛物线类型的题有三类：一是文字叙述的实物抛物线，如变式训练 1；二是有坐标系的实物抛物线，方 法 指 导如例 1；三是没有坐标系的实物抛物线，如变式训练 2.在解答此类问题时，需要注意将有实际意义的抛物线转化为数学中的抛物线，即将一些具有实际意义的量转化为某些点的坐标，从而求出解析式，进而解决实际问题在需要建立坐标系的问题中，建立的坐标系应使得计算简便，减少计算过程中的失误易 错 提 示重难点 2 二次函数的最值(2018安徽)小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各 50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是 160元，花卉的平均每
9、盆利润是 19元调研发现：盆景每增加 1盆，盆景的平均每盆利润减少 2元；每减少 1盆，盆景的平均每盆利润增加 2元；花卉的平均每盆利润始终不变小明计划第二期培植盆景与花卉共 100盆，设培植的盆景比第一期增加 x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为 W1，W 2(单位：元)(1)用含 x的代数式分别表示 W1，W 2；(2)当 x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润 W最大，最大总利润是多少？【思路点拨】(1)第二期培植的盆景比第一期增加 x盆，则第二期培植盆景(50x)盆，花卉(50x)盆，根据盆景每增加 1盆，盆景的平均每盆利润减少 2元；每减少 1盆，盆景的平均每盆利润
10、增加 2元，花卉的平均每盆利润始终不变，即可得到利润 W1，W 2与 x的关系式；(2)由 W 总 W 1W 2可得关于 x的二次函数，利用二次函数的性质即可得【自主解答】解：(1)设培植的盆景比第一期增加 x盆，则第二期盆景有(50x)盆，花卉有(50x)盆，W 1(50x)(1602x)2x 260x8 000，W219(50x)19x950.(2)根据题意，得WW 1W 22x 260x8 00019x9502x 241x8 9502(x )2 .414 73 281820，且 x为整数，当 x10 时，W 取得最大值，最大值为 9 160.答：当 x10 时，第二期培植的盆景与花卉售完
11、后获得的总利润 W最大，最大总利润是 9 160元【变式训练 3】 (2017潍坊)工人师傅用一块长为 10 dm，宽为 6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为 12 dm2时，裁掉的正方形边长多大？(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为 2元，当裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？解：(1)如图所示设裁掉的正方形边长为 x dm，由题意，得(102x)(62x)12，即
12、 x28x120.解得 x12 或 x26(舍去)答：长方体底面积为 12 dm2时，裁掉的正方形的边长为 2 dm.(2)长不大于底面宽的五倍，102x5(62x)解得 0x2.5.5设总费用为 W，由题意可知，W0.52x(164x)2(102x)(62x)4x 248x1204(x6) 224.对称轴为直线 x6，开口向上，当 0x2.5 时，W 随 x的增大而减小当 x2.5 时，W 有最小值，最小值为 25元答：当裁掉的正方形边长为 2.5 dm时，总费用最低，最低费用为 25元运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般方法是：(1)列出二次函数的解析式，并根据自方 法 指
13、导变量的实际意义，确定自变量的取值范围；(2)配方或利用公式求顶点；(3)检查顶点是否在自变量的取值范围内或检查所求最值是不是符合要求(例如抛物线开口向上求最小值，开口向下求最大值)若在，则函数在顶点处取得最大值或最小值；若不在，则在自变量的取值范围内，根据增减性确定因为有的题顶点处不是满足题意的最值点，因此求得顶点坐标后必须检查顶点横坐标是否在自变量的取易 错 提 示值范围内或检查所求最值是不是符合要求，请完成变式练习加深体会1(2014河北)某种正方形合金板材的成本 y(元)与它的面积成正比，设边长为 x厘米，当 x3 时，y18，那么当成本为 72元时，边长为(A)A6 厘米 B12 厘
14、米 C24 厘米 D36 厘米2(2018连云港)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h(m)与飞行时间 t(s)满足函数解析式ht 224t1，则下列说法中正确的是(D)A点火后 9 s和点火后 13 s的升空高度相同B点火后 24 s火箭落于地面C点火后 10 s的升空高度为 139 mD火箭升空的最大高度为 145 m3(2018北京)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度 y(单位：m)与水平距离 x(单位：m)近似满足函数关系 yax 2bxc(a0)下图记录了某运动员起跳后的 x与 y的三组数据，根据上述函数模型
15、和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为(B)A10 m B15 m C20 m D22.5 m4(2018唐山路北区二模)如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度 h(单位：m)与小球运动时间 t(单位：s)之间的解析式为 h30t5t 2，那么小球从抛出至落回到地面所需要的时间是 6s.5(2018武汉)飞机着陆后滑行的距离 y(单位：m)关于滑行时间 t(单位：s)的函数解析式是 y60t t2.在飞32机着陆滑行中，最后 4 s滑行的距离是 24m.6(2017常德)如图，正方形 EFGH的顶点在边长为 2的正方形的边上若设 AEx，正方形 EFGH的面积为 y，则
16、 y与 x的函数关系为 y2x 24x467(2018滨州)如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 y(单位：m)与飞行时间 x(单位：s)之间具有函数关系 y5x 220x，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15 m时，飞行时间是多少？(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？解：(1)当 y15 时，155x 220x，解得 x11，x 23.答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15 m时，飞行时间是 1 s或 3 s.(2)
17、当 y0 时，05x 220x，解得 x30，x 24.则 404.答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是 4 s.(3)y5x 220x5(x2) 220.当 x2 时，y 取得最大值，此时，y20.答：在飞行过程中，2 s 后小球飞行高度最大，最大高度是 20 m.8(2018石家庄一模)某食品厂生产一种半成品食材，产量 P(百千克)与销售价格 x(元/千克)满足函数关系式P x8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材的市场需求量 q(百千克)与销售价格 x(元/千克)满足一次函数12关系，如下表：销售价格 x(元/千克) 2 4 10市场需求量 q(百千克) 12 10 4已知按物价
18、部门销售价格 x不低于 2元/千克且不高于 10元/千克(1)求 q与 x的函数关系式；(2)当产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，求此时 x的取值范围；(3)当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃若该半成品食材的成本是 2元/千克求厂家获得的利润 y(百元)与销售价格 x的函数关系式；当厂家获得的利润 y(百元)随销售价格 x的上涨而增加时，直接写出 x的取值范围(利润售价成本)解：(1)设 qkxb(k，b 为常数，k0)当 x2 时，q12，当 x4 时，q10.代入解析式，得解得2k b 12，4k b 10， ) k 1，b 14.)qx14.(2)当产量小于或等于市场需求量时，有 Pq， x8x14，解得 x4.127又2x10，2x4.(3)当产量大于市场需求量时，可得 4x10，由题意，得厂家获得的利润是：yqx2Px 213x16(x )2 .132 1054当 x 时，y 随 x的增加而增加132又产量大于市场需求量时，有 4x10.当 4x 时，厂家获得的利润 y随销售价格 x的上涨而增加132
