1、1（分类）第 28 讲 概率知识点 1 事件的分类与概率的意义知识点 2 概率公式知识点 3 用频率估计概率知识点 4 用列表法或树状图求概率知识点 1 事件的分类与概率的意义（2018 南充）答案：A3.下列说法正确的是（ ）A调查某班学生的身高情况，适宜采用全面调查B篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中，这是不可能事件C天气预报说明天的降水概率为 ，意味着明天一定下雨95%D小南抛掷两次硬币都是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的概率是 1（2018 衡阳）答案：A5.已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为 ，下列说法错误的是（ ）12A连续抛一枚均匀硬币 2 次必有 1 次正面朝上B连续抛一枚均匀
2、硬币 10 次都可能正面朝上C大量反复抛一枚均匀硬币，平均每 100 次有 50 次正面朝上D通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的（2018 长沙）答案：C8、下面说法正确的是A、任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次,一定有 5 次正面朝上B、天气预报说”明天降水概率为4 0% ”,表示明天有4 0% 的时间在下雨 C“篮球队员在罚球线上投筐一次,投中”为随机事件D“ a 是实数, a 0 ”是不可能事件（2018 宿迁）答案：116. 小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有 7 根火柴棒，每次取 1 根或 2 根，最后取完者获胜。若由小明先取，且小明获胜是必然事件， ，则小明第一次
3、取走火柴棒的根数是 .（2018 达州）5下列说法正确的是（ ）A “打开电视机，正在播放达州新闻 ”是必然事件 B天气预报“明天降水概率 ，是指明天有一半的时间会下雨”%50C甲、乙两人在相同的条件下各射击 10 次，他们成绩的平均数相同，方差分别是 ， ，则甲的20.3S、2.4、2成绩更稳定D数据 6，6，7，7，8 的中位数与众数均为 7（2018 南通）答案：C5.下列说法中，正确的是（ ）A.个游戏中奖的概率是 ，则做 10次这样的游戏一定会中奖10B.为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用全面调查的方式C. 一组数据 8，8，7，10，6，8，9 的众数是 8D. 若甲组数据的方差是
4、 0.1，乙组数据的方差是 0.2，则乙组数据比甲组数据波动小（2018 泰州）答案：C4.小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为 ，他明天将参加一场比赛，下面几种说10%法正确的是( )A.小亮明天的进球率为 B.小亮明天每射球 10 次必进球 1 次10%C.小亮明天有可能进球 D.小亮明天肯定进球（2018 淄博）2. 下列语句描述的事件中，是随机事件的为（ ）A水能载舟，亦能覆舟 B只手遮天，偷天换日 C瓜熟蒂落，水到渠成 D心想事成，万事如意（2018 德阳）答案：D（2018 孝感）答案：D5.下列说法正确的是（ ）A了解“孝感市初中生每天课外阅读书籍时间的情况
5、”最适合的调查方式是全面调查B甲乙两人跳绳各 10 次，其成绩的平均数相等， ，则甲的成绩比乙稳定2S甲 乙C三张分别画有菱形，等边三角形，圆的卡片，从中随机抽取一张，恰好抽到中心对称图形卡片的概率是 13D “任意画一个三角形，其内角和是 ”这一事件是不可能事件3603（2018 襄阳）答案：D8 下列语句所描述的事件是随机事件的是( ) A任意画一个四边形，其内角和为 180 B经过任意两点画一条直线C任意画一个菱形，是中心对称图形 D过平面内任意三点画一个圆（2018 福建）答案：D（2018 怀化）答案：A（2018 齐齐哈尔）答案：A（2018 沈阳）（2018 烟台）答案：A4（2
6、018 昆明）答案：D（2018 包头）（2018 广安）答案：D（2018 徐州）5知识点 2 概率公式（2018绵阳）答案：15.现有长分别为 1，2，3，4，5 的木条各一根，从这 5 根木条中任取 3 根，能够构成三角形的概率是 （2018 成都）答案：612.在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共 16 个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为 ，则该盒子中装有黄色兵乓球的个数是 38（2018 内江）答案： 2514. 有五张卡片(形状、大小、质地都相同)，正面分别画有下列图形：线段；正三角形；平行四边形；等腰梯形；圆.将卡片背面朝上洗匀，从中任取一张，其
7、正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 （2018 金华丽水）答案：B6.如图，一个游戏转盘中 ，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为 60，90，210. 让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是（ ）A B C D 61413127红黄蓝(2018 柳州)答案：B（2018 东营）答案： 5413. 有五张背面完全相同的卡片，其正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形，将这五张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是 . 6（2018 聊城）答案：B9.小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（ ）
8、A B C D12132316（2018 宁波）答案：C4.有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字 1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（ ）A B C D453515（2018 岳阳）13.在-2，1，4，-3，0 这 5 个数字中，任取一个数是负数的概率是 （2016 长沙）答案： 1216、 掷 一 枚 质 地 均 匀 的 正 方 体 骰 子 ， 骰 子 的 六 个 面 上 分 别 有 1 到 6 的 点数 ，掷 得面 朝上 的点 数为 偶数 的概 率为 （2018 连云港）答案：D5如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动
9、时，指针指向大于 3 的数的概率是A B C D23162（2018 扬州）答案： 4311.有 4 根细木棒，长度分别为 2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选 3 根，恰好能搭成一个三角形的概率是 （2018 天津）答案： 6115.不透明袋子中装有 11 个球，其中有 6 个红球，3 个黄球，2 个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是 （2018 杭州）答案：B7.一个两位数，它的十位数字是 3，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别有数字 16）朝上一面的7数字。任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是 3 的倍数的概率等于（ ）A. B.
10、 C. D. 613213（2018 绍兴义乌）答案：A4.抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，则朝上一面的数字为2 的概率是（ ）A B C D161312（2018 温州）答案：D5.在一个不透明的袋中装有 10 个只有颜色不同的球，其中 5 个红球、3 个黄球和 2 个白球.从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（）A. B. C. D.12133101（2018 湘潭）（2018 株洲）答案：A6、从 这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为105,6,2,3A B C D2774757（2018 盐城）答案： 4912.一只蚂蚁在
11、如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格形状大小完全相同，当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为 （2018 荆州）88.如图,将块菱形 硬纸片固定后进行投针训练已知纸片上 于 , 于 , .若ABCDAEBCFAD45sin随意投出一针命中了菱形纸片,则命中矩形区域的概率是（ ）A B C. D1525345（2018 随州）答案：A（2018 巴中）15. 从下列图形中任选一个恰好是轴对称图开的概率为 .（2018 北京）答案：C14. 从甲地到乙地有 A，B，C 三条不同的公交线路为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了 500 个班次的公交车
12、，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：早高峰期间，乘坐 （填“A” “B”或“C” ）线 路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过 45 分钟”的可能性最大9（2018 深圳）答案： 1214.一个正六面体的骰子投掷一次得到正面向上的数字为奇数的概率： （2018 黔东南、黔西南、黔南）14.若 个产品中有 个正品， 个次品，从中随机抽取一个，抽到次品的概率是 10982（2018 宜昌）答案：B5.在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉子，这个字是“绿”的概率为( )A B C. D31010918（2018 仙桃潜江天门江汉油田）11在“Wish you succ
13、ess”中，任选一个字母，这个字母为“s”的概率为 （2018 张家界）答案：1011.在一个不透明的袋子里装有 个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，若从这个袋子里随机摸岀一个乒乓球，恰好3是黄球的概率为 ,则袋子内共有乒乓球的个数为 .107（2018 贵阳）8. 如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两个 棋子不在同一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是（ A ）A B C. D1210625（2018 海南）答案：A（2018 上海）10（2018 哈尔滨）答案： 13（2018 怀化）答案： 35（2018 乌鲁木齐）答案： 58（2018 龙东地区）答
14、案： 16（2018 通辽）答案： 13（2018 铜仁）（2018 资阳）11（2018 苏州）答案：C知识点 3 用频率估计概率（2018 永州）15.在一个不透明的盒子中装有 个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有 个红球，每次摸球前，将n 3盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中.通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在 ，那么可以推算出 的值大约是 03（2018 呼和浩特）答案：D12（2018 武汉）答案：0.912下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活情况移植总数 n 400 1500 3500 7000 9000 14000成活数 m 325 1
15、336 3203 6335 8073 12628成活的频率（精确到0.01）0.813 0.891 0.915 0.905 0.897 0.902由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是_（精确到 0.1）（2018 郴州）14.某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨实验，结果如下表所示：抽取瓷砖数 n100 300 400 600 1000 2000 3000合格品数 m96 282 382 570 949 1906 2850合格品频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.949 0.953 0.950则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是 （精确到 ）0.1（2018
16、 淮安）答案：0.9011某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下：该射手击中靶心的概率的估计值是 （精确到 0.01） （2018 玉林）13知识点 4 用列表法或树状图求概率（2018滨州）答案： 1316.若从-1，1，2 这三个数中，任取两个分别作为点 的横、纵坐标，则点 在第二象限的概率是 MM（2018 自贡）10.从 这四个数中任取两数，分别记为 ，那么点 在函数 图象的概率是 36、 mn、,n6yx（ ）A. B. C. D.12131418（2018 衢州）答案：B6某班共有 42 名同学，其中有 2 名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，老师随机请 1 名同学解
17、答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是（ ）A0 B C D1124（2018 嘉兴舟山）答案： 不公平13.小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次.小明说:“如果两次都是正面、那么你赢;如果两次是一正一反.则我赢.”小红赢的概率是 .据此判断该游戏 .（填“公平”或“不公平” ）.14（2018 聊城）答案： 2514.某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启 30 秒后关闭，紧接着黄灯开启 3 秒后关闭，再紧接着绿灯开启 42 秒，按此规律循环下去.如果不考虑其他因素，当一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到红灯的概率是 （2018 白银武威张掖）23.如图，在
18、正方形方格中，阴影部分是涂黑 3 个小正方形所形成的图案.（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？（2）现将方格内空白的小正方形（ ， ， ， ， ， ）中任取 2 个涂黑，得到新图案.请用列表或画树ABCDEF状图的方法求新图案是轴对称图形的概率.23.解：（1）米粒落在阴影部分的概率为 ； 319（2）列表：第二次 第一次 A B C D E FA (A，B) (A，C) (A，D) (A，E) (A，F)B（B , A）(B，C) (B，D) (B，E) (B，F)C (C , A) (C，B) (C，D) (C，E) (C，F)D (D , A）
19、 (D，B) (D，C) (D，E) (D，F)15E (E , A) (E，B) (E，C) (E，D) (E，F)F (F , A) (F , B) (F , C) (F , D) (F，E)共有 30 种等可能的情况，其中图案是轴对称图形的有 10 种，故图案是轴对称图形的概率为 ； 103（2018 广州）答案：C6.甲袋中装有 2 个相同的小球，分别写有数字 1 和 2，乙袋中装有 2 个相同的小球，分别写有数字 1 和 2，从两个口袋中各随机取出 1 个小球，取出的两个小球上都写有数字 2 的概率是（ ）A. B. C. D. 1346（2018 娄底）答案： 115.从 2018
20、 年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物 6 个科目中，自主选择3 个科日参加等级考试.学生 已选物理，还从思想政治、历史、地理 3 个文科科目中选 1 科，再从化学、生物 2A个理科科日中选 1 科.若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为 .（2018 连云港）21 （本题满分 10 分）汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的
21、队获胜假如甲、乙两队每局获胜的机会相同（1）若前四局双方战成 2：2，那么甲队最终获胜的概率是；（2）现甲队在前两局比赛中已取得 2：0 的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？16（2018 南京）22.甲口袋中有 个白球、 个红球，乙口袋中有 个白球、 个红球，这些球除颜色外无其他差别.分别从每个口211袋中随机摸出 个球.（1）求摸出的 个球都是白球的概率.（2）下列事件中，概率最大的是（ ）.A摸出的 个球颜色相同 B摸出的 个球颜 色不相同2C摸出的 个球中至少有 个红球 D摸出的 个球中至少有 个白球1 1解：（1）将甲口袋中 个白球、 个红球分别记为 、 、 ，将乙口袋中 个白球、
22、 个红球分别记为 、21白 2白 红 13白，分别从每个口袋中随机摸出 个球，所有可能出现的结果有： 、 、 、2红 13白 白 ,2白 红 ,3白 白 ,、 、 ，共有 种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“摸出的 个球都白 红 ,13红 白 ,12红 红 ,6 2是白球” （记为事件 ）的结果有 种，即 、 ，所以 .A13白 白 ,23白 白 ,163PA（2）D.（2018 无锡）23、某校组织一项公益知识竞赛，比赛规定：每个班级由 2 名男生、2 名女 生及 1 名班主任老师组成代表队。但参赛时，每班只能有 3 名队员上场参赛，班主任老师必须参加，另外 2 名队员分别在 2
23、名男生和 2 名女生中各随机抽出 1 名。初三（1）班由甲、乙 2 名男生和丙、丁 2 名女生及 1 名班主任组成了代表队，求恰好抽到由男生甲、女生丙和这位班主任一起上场参赛的概率。（请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程）【解答】 4方法一：17总共的个数是 4，符合条件的个数是 11P方法二：（2018 宿迁）23. （本题满分 10 分）有 2 部不同的电影 A、B，甲、乙、丙 3 人分别从中任意选择 1 部观看 求甲选择 A 部电影的概率； 求甲、乙、丙 3 人选择同一部电影的概率（请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果）（2018 扬州）22.4 张相同的卡片上分
24、别写有数字-1、-3、4、6，将卡片的背面朝上，并洗匀.（1）从中任意抽取 1 张，抽到的数字是奇数的概率是 ；18（2）从中任意抽取 1 张，并将所取卡片上的数字记作一次函数 中的 ；再从余下的卡片中任意抽取 1ykxb张，并将所取卡片上的数字记作一次函数 中的 .利用画树状图或列表的方法，求这个一次函数的图象ykxb经过第一、二、四象限的概率.解：（1）总共有四个，奇数有两个，所以概率就是 214（2）根据题意得：一次函数图形过第一、二、四象限，则 0,bk64316341图象经过第一、二、四象限的概率是 .324（2018 江西）16.今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志
25、愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从 4 名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定 2 名女生去参加.抽签规则：将 4 名女班干部姓名分别写在 4 张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的 3 张卡片中随机抽取第二张，记下姓名.（1）该班男生“小刚被抽中”是_事件， “小悦被抽中”是_事件（填“不可能”或“必然”或“随机” ） ；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为_；（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率.解：（1）不可能 随机 14（2） 共 12 种可能，
26、“小惠被抽中”的概率是: =612=12倩倩倩倩倩 倩倩 倩倩倩倩（2018 临沂）8.2018 年某市初中学业水平实验操作考试.要求每名学生从物理.化学.生物三个学科中随机抽取一科参加测试，小华和小强都抽到物理学科的概率是（ ）19A B C. D1314619（2018 威海）答案：B7.一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是 ， ， ，1，卡片除数字不同外20其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是( )A. B. C. D.14131234（2018 湖州）答案：C（2018 台州）13.一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，
27、把它们分别标号为 1，2，3.随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号相同的概率是 （2018 湘潭）（2018 南通）22.四张扑克牌的点数分别是 2, 3, 4, 8，除点数不同外，其余都相同，将它们洗匀后 背面朝上放在桌上.（1）从中随机抽取一张牌，求这张牌的点数是偶数的概率；（2）随机抽取一张牌不放回，接着再抽取一张牌，求这两张牌的点数都是偶数的概率.20解：（1） ；（2） 341（2018 泰州）19.泰州具有丰富的旅游资源，小明利用周日来泰州游玩，上午从 ， 两个景点中任意选择一个游玩，下午从 、ABC、 三个景点中任意选择一个游玩，用列表或画树状图的方
28、法列出所有等可能的结果.并求小明恰好选中景点DE和 的概率.BC解： 16（2018 盐城）20.端午节是我国传统佳节.小峰同学带了 4 个粽子（除粽馅不同外，其它均相同） ，其中有两个肉馅粽子、一个红枣馅粽子和一个豆沙馅粽子，准备从中任意拿出两个送给他的好朋友小悦.（1）用树状图或列表的方法列出小悦拿到两个粽子的所有可能结果；（2）请你计算小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率.（2018 呼和浩特）答案： 512（2018 青岛）17.小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动.小明想参加敬老服务活动，小亮想参加文明 礼仪宣传活动.他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是
29、：在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6 三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动.你认为这个游戏公平吗？请说明理由.21解：（2018 武汉）答案：C8一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字 1、2、3、4随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是（ ）A B C D41214365（2018 山西）答案：A7. 在 一 个 不
30、透 明 的 袋 子 里 装 有 两 个 黄 球 和 一 个 白 球 ， 它 们 除 颜 色 外 都 相 同 ， 随 机 从 中 摸 出一 个 球 ， 记 下 颜 色 后 放 回 袋 子 中 ， 充 分 摇 匀 后 ， 再 随 机 摸 出 一 个 球 ， 两 次 都 摸 到 黄 球的概 率 是 （ ）A. B.C.D.49132919（2018 咸宁）答案：12.个不透明的口袋中有 3 个完全相同的小球，它们的标号分別为 1，2，3.随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球.两次摸出的小球标号相同的概率是_.（2018 黄冈）答案： 1614.在 ， ， ， 四个数中，随机取两个数分別作为函
31、数 中 ， 的值，则该二次函数图像42 21yaxba恰好经过第一、二、四象限的概率为 （2018 黄石）答案： 315、在一个不透明的布袋中装有标着数字 2，3，4，5 的 4 个小球，这 4 个小球的材质、大小和形状完全相同，现从中随机摸出两个小球，这两个小球上的数字之积大于 9 的概率为_（2018 淮安）21 （本题满分 8 分）一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字 1、2、3，搅匀后先从中任意摸出一个小球（不放回） ，记下数字作为点 A 的横坐标，再从余下的两个小球中任意摸出一个小球，记下数字作为点A 的纵坐标（1）用画树状图或列表等方法列出所有可能出现
32、的结果；（2）求点 A 落在第四象限的概率解：（1）六种：（1，2） 、 （1，3） 、 （2，1） 、 （2，3） 、 （3，1） 、 （3，2） ；（2）点 A 落在第四象限的概率为 22（2018 新疆）答案： 12（2018 河南）答案：D8.现有 4 张卡片,其中 3 张卡片正面上的图案是“”,1 张卡片正面上的图案是“ ”,它们除此之外完全相同，把这 4 张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，则这两张卡片正面图案相同的概率是（）A.169B. 4C.83 D. 21（2018 广西六市）答案：C（2018 遵义）23（2018 兰州）（2018 包头）24（2018 陕西）（2018 长春）25（2018 吉林）（2018 沈阳）（2018 昆明）26（2018 曲靖）（2018 云南）（2018 苏州）27（2018 湘西州）（2018 徐州）28
