1、1滚动小专题(九) 与圆有关的计算与证明类型 1 与切线有关的计算与证明1如图，O 中，AB 是O 的直径，G 为弦 AE的中点，连接 OG并延长交O 于点 D，连接 BD交 AE于点 F，延长AE至点 C，使得 FCBC，连接 BC.(1)求证：BC 是O 的切线；(2)O 的半径为 5， tanA ，求 FD的长34解：(1)证明：点 G是 AE的中点，ODAE.ODBDFG90.FCBC，CBFCFB.CFBDFG，CBFDFG.OBOD，ODBOBD.OBDCBFODBDFG90，即ABC90.又OB 是O 的半径，BC 是O 的切线(2)连接 AD. tanOAG ，OGAG 34设
2、 OG3x，则 AG4x.OA 5x5，解得 x1.OG2 AG2OG3，AG4.DGODOG2.AB 是O 的直径，ADF90.DAGADG90，ADGFDG90，DAGFDG.又AGDDGF，DAGFDG. ，即 .FG1.DGAG FGDG 24 FG2在 RtDFG 中，FD .DG2 FG2 52如图，四边形 ABCD内接于O，BAD90，过点 C作 CEAD，垂足为 E，且EDCBDC.(1)求证：CE 是O 的切线；(2)若 DECE4，AB6，求 BD的值2解：(1)证明：BAD90，BCD90.CEAD，E90.EDCDCE90，EDCBDC，BDCDCE90.ODOC，OD
3、COCD.OCDDCE90，即 OCCE.又OC 是O 的半径，CE 是O 的切线(2)过点 O作 OFAE，垂足为 F，则 AFDF，OF AB 63.12 12易证得四边形 OFEC为矩形，CEOF.DECE4，DE1.在 RtDCE 中，CD .12 32 10EDCBDC， RtBDC RtCDE. ，即 .BDCD CDDE BD10 101BD10.类型 2 与弧长及面积有关的计算3如图，在O 中，半径 OAOB，过 OA的中点 C作 FDOB 交O 于 D，F 两点，且 CD ，以 O为圆心，OC 为3半径作 ，交 OB于 E点CE (1)求O 的半径 OA的长；(2)计算阴影部
4、分的面积解：(1)连接 OD.FDOB，OAOB，OAFD.C 为 OA的中点，3OC OA OD.12 12在 RtOCD 中，ODC30.OCCD tan301.OD2OC2，即O 的半径 OA的长为 2.(2)S 阴影 S 扇形 BODS OCD S 扇形 COE 1 30 22360 12 3 90 12360 .12 324如图，风车的支杆 OE垂直于桌面 MN，风车中心 O到桌面的距离 OE为 25 cm，小风车在风吹动下绕着中心 O不停地转动，转动过程中，叶片端点 A，B，C，D 在同一圆 O上，已知O 的半径为 10 cm.(1)风车在转动过程中，当AOE45时，求点 A到桌面
5、的距离(结果保留根号)；(2)在风车转动一周的过程中，求点 A相对于桌面的高度不超过 20 cm所经过的路径长(结果保留 )备用图 1 备用图 2解：(1)如图 1，当点 A运动到点 A1的位置时，AOE45.作 A1FMN 于点 F，A 1GOE 于点 G，A 1FGE.在 RtA 1OG中，A 1OG45，OA 110，OGOA 1cos4510 5 .22 2OE25，GEOEOG255 .2A 1FGE255 .2答：点 A到桌面的距离是(255 )cm.2(2)如图 2，点 A在旋转过程中运动到点 A2，A 3的位置时，点 A到桌面的距离等于 20 cm.作 A2HMN 于点 H，则
6、 A2H20.作 A2DOE 于点 D，DEA 2H.OE25，ODOEDE25205.在 RtA 2OD中，OA 210， cosA 2OD .ODOA2 12A 2OD60.由圆的轴对称性可知，A 3OA22A 2OD120.点 A所经过的路径长为 .120 10180 203答：点 A所经过的路径长为 cm.2034图 1 图 25如图，有一直径 MN4 的半圆形纸片，其圆心为点 P，从初始位置开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置，其中，位置中的 MN平行于数轴，且半圆 P与数轴相切于原点 O；位置和位置中的 MN垂直于数轴；位置中的 MN在数轴上；位置中的点 N到数轴的距离为 3
7、，且半圆 P与数轴相切于点 A.解答下列问题：(1)位置中的 MN与数轴之间的距离为 2；位置中的半圆 P与数轴的位置关系是相切；(2)求位置中的圆心 P在数轴上表示的数；(3)纸片半圆 P从位置翻滚到位置时，求点 N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积；(4)求 OA的长(2)(3)(4)中的结果保留 解：(2)位置中 的长与数轴上线段 ON相等，ON 的长为 ，NP2，ON 90 2180位置中的圆心 P在数轴上表示的数为 2.(3)点 N所经过路径长为 2 ，90 4180S 半圆 2 ，S 扇形 4 .180 22360 90 42360半圆 P所扫过图形的面积为 2 4 6 .(4)作 NC垂直数轴于点 C，作 PHNC 于点 H，连接 PA，则四边形 PHCA为矩形在 RtNPH 中，PN2，NHNCHCNCPA1. sinNPH ，NPH30.NHPN 12MPA60. 的长为 .MA 60 2180 23OA 4 4.23 53
