1、第6讲 一元二次方程,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一 一元二次方程的相关概念,1.一元二次方程:只含有 一个 未知数,并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0(a0) ,其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数,bx 叫做一次项,b叫做一次项系数,c叫做 常数项 . 温馨提示 判定一个方程是不是一元二次方程时要注意以下三 点:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)方程是整式方程. 一元二次方程的一般形式要注意二次项系数a0这一条件.,2.一元二次方程的解:使方程左右两边 相等 的未知数的值叫做一元二
2、次方程的解,也叫做一元二次方程的根.,知识点二 一元二次方程的解法,温馨提示 解一元二次方程时,要根据方程的特点灵活选择合适 的方法,一般优先考虑直接开平方法,然后考虑因式分解法,再次 考虑公式法、配方法,公式法和配方法可以解所有判别式大于或 等于零的一元二次方程.,知识点三 一元二次方程的根的判别式及其应用 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式为 b2-4ac ,一般用符号表示. (1)b2-4ac0方程ax2+bx+c=0(a0)有 两个不相等 的实数根; (2)b2-4ac=0方程ax2+bx+c=0(a0)有 两个相等 的实数根; (3)b2-4ac0方程ax2
3、+bx+c=0(a0) 没有 实数根; (4)b2-4ac0方程ax2+bx+c=0(a0)有 两个 实数根.,温馨提示 (1)运用一元二次方程根的判别式时,先要把原方程化为一般形式,再确定a、b、c的值;(2)使用判别式的前提:方程是一元二次方程,即二次项系数a0.,知识点四 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2= - ,x1x2= . 温馨提示 应用一元二次方程根与系数的关系时,应注意: (1)当一元二次方程不是一般形式时,要先化成一般形式; (2)一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件是b2-4ac0.,知识点五
4、一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的步骤 (1)审:读懂题目,弄清题意,明确已知量和未知量以及它们之间的 等量关系; (2)设:设元,也就是设未知数; (3)列:列方程; (4)解:解方程; (5)验:检验未知数的值的准确性及合理性; (6)答:写出答案.,泰安考点聚焦,考点一 一元二次方程的解 中考解题指导 根据一元二次方程的根的定义进行求值或化简 是近年来泰安中考的常考题型,解答此类问题的一般思路:先把方 程的根代入已知的一元二次方程,得出一个等式,然后对这个等式 进行适当的变形,将其代入待求值的式子中进行化简或计算.,例1 (2017泰山模拟)已知m是关于x的方程x2-2x-3=
5、0的一个根,则2m2-4m = 6 .,解析 m 是关于x的方程x2-2x -3=0的一个根, m2-2m -3=0,m2-2m =3, 2m2-4m =6.,变式1-1 已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b, 则a -b的值为 ( A ) A.1 B.-1 C.0 D.-2,解析 把x=-b代入原方程得b2-ab+b=0,因为-b0,所以b0,方程两边同除以b,得b-a +1=0,即a-b=1.故选A.,考点二 一元二次方程的解法 中考解题指导 解一元二次方程要根据题目特点选择适当的方 法.当方程为(x+m)2=n(n0)的形式时,可直接开方求解;当一元二 次方程的一边
6、为0,另一边为易于分解成两个一次因式的积时,可 用因式分解法求解;而公式法是一种万能的方法,但使用时一定要 把一元二次方程化为一般形式,确定a,b,c的值,在b2-4ac0的条件 下代入公式求解.任何一个有解的一元二次方程都可以用配方法 和公式法求解.,例2 (2017泰安)一元二次方程x2-6x-6=0配方后化为( A ) A.(x -3)2=15 B.(x -3)2=3 C.(x +3)2=15 D.(x +3)2=3,解析 x2-6x-6=0,移项得x2-6x=6,即x2-6x+9=15,亦即(x-3)2=15,故选A.,变式2-1 (2018临沂)一元二次方程y2-y - =0配方后可
7、化为 ( B ) A. =1 B. =1C. = D. =,解析 y2-y - =0, y2-y = , 即y2-y + =1,即 =1.故选B.,变式2-2 方程3(x-5)2=2(x-5)的根是 x1=5,x2= .,解析 移项得3(x-5)2-2(x-5)=0, 提取公因式得(x-5)3(x-5)-2=0, 整理得(x-5)(3x-17)=0, 则x-5=0或3x-17=0, 所以x1=5,x2= . 方法技巧 解一元二次方程要遵循一看二选三做四验的步骤, 即先观察方程的特点,然后选择合适的解法,运用规范的步骤求 解,最后代入原方程或运用根与系数的关系检验方程的解是否正 确.,考点三 一
8、元二次方程根的判别式 中考解题指导 (1)判断一元二次方程根的情况时,只需判断出根 的判别式的符号;若一元二次方程中含有字母系数,常将根的判别 式化为一个完全平方式与一个非负数和的形式.(2)根据一元二次 方程的根的情况求字母系数的取值时,不要漏掉二次项系数不为 0这个隐含条件.,例3 (2018泰安)一元二次方程(x+1)(x -3)=2x -5根的情况是 ( D ) A.无实数根 B.有一个正根,一个负根 C.有两个正根,且都小于3 D.有两个正根,且有一根大于3,变式3-1 (2016泰安)一元二次方程(x +1)2-2(x -1)2=7的根的情况是 ( C ) A.无实数根 B.有一正
9、根一负根 C.有两个正根 D.有两个负根,解析 (x+1)2-2(x-1)2=7, x2+2x+1-2(x2-2x+1)=7, 整理得-x2+6x-8=0, 即x2-6x+8=0, 即(x-4)(x-2)=0, 解得x1=4,x2=2, 故方程有两个正根. 故选C.,变式3-2 (2017泰安)关于x的一元二次方程x2+(2k -1)x+(k2-1)=0无实数根,则k的取值范围是 k .,解析 关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+(k2-1)=0无实数根, =b2-4ac , 故k的取值范围是k . 易错警示 若一元二次方程有实数根,则应该包括有两个不相 等的实数根和有两个相等的实数根两
10、种情况,同时满足二次项系 数不能为零,要注意考虑问题的全面性.,考点四 一元二次方程根与系数的关系 中考解题指导 (1)已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的 两根,求关于x1,x2的某个代数式的值,先把这个代数式变形为含有 x1+x2和x1x2的式子,再把x1+x2和x1x2的值整体代入. (2)若给出了关于x1和x2的某个代数式的值或范围,要求未知字母 系数的值或范围,先把这个代数式进行变形,转化为用x1+x2和x1x2 表示的式子,然后根据所给的值或取值范围构造方程或不等式,从 而求出未知字母系数的值或范围.,例4 (2018潍坊)已知关于x的一元二次方程mx2-(m
11、+2)x + =0有两个不相等的实数根x1,x2,若 + =4m,则m的值是 ( A ) A.2 B.-1 C.2或-1 D.不存在,解析 由题意得=-(m+2)2-4m =4m+40,且m0,解得m-1且m0, 由题意知x1+x2= ,x1x2= ,所以 + = = =4m,化简得m2-m -2=0, 解得m1=2,m2 =-1(舍去),所以m 的值为2,故选A.,变式4-1 (2017泰山模拟)一元二次方程x2-3x -2=0的两根为x1,x2,则下列结论正确的是 ( C ) A.x1=-1,x2=2 B.x1=1,x2=-2 C.x1+x2=3 D.x1x2=2,解析 方程x2-3x -
12、2=0的两根为x1,x2, x1+x2=3,x1x2=-2,C选项正确.,考点五 一元二次方程的应用 中考解题指导 列方程解实际问题的关键:(1)找到等量关系.(2) 在得到方程的解后,要检验它是否符合实际意义. 考向1 列方程解决实际问题,例5 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3 株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元, 要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?设每盆多植x株,则 可以列出的方程是 ( A ) A.(x+3)(4-0.5x)=15 B.(x+3)(4+0.5x)=15 C.(x+4)(3-0.5x)=15 D.(x+1)(4-0
13、.5x)=15,解析 由题意得每盆有这种花卉(x+3)株,平均每株盈利(4-0.5x) 元,所以可列出的方程为(x+3)(4-0.5x)=15. 考向2 增长率(降低率)问题的考查,例6 烟台市某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成 本,其中固定成本每年均为4万元,可变成本逐年增长,已知该养殖 户第1年的可变成本为2.6万元,设可变成本平均每年增长的百分 率为x. (1)第3年的可变成本用含x的代数式表示为 2.6(1+x)2 万元; (2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元,求可变成本平均 每年增长的百分率x.,解析 (1)2.6(1+x)2.由第1年的可变成本为2.6万元可以
14、表示出第2 年的可变成本,为2.6(1+x)万元,则第3年的可变成本为2.6(1+x)2万 元. (2)由养殖成本=固定成本+可变成本,得4+2.6(1+x)2=7.146,解得x1 =0.1,x2=-2.1(不符合题意,舍去). 所以可变成本平均每年增长的百分率为10%.,考向3 利润问题的考查 例7 某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低 档次)的产品每天生产76件,每件利润为10元.调查表明:生产的蛋 糕产品每提高一个档次,该产品每件的利润增加2元. (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,则此批次蛋糕属于第几 档次的产品? (2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次
15、,一天产量会减 少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元,则该烘焙店 生产的是第几档次的蛋糕产品?,解析 (1)根据生产的蛋糕产品每提高一个档次,每件产品的利润 增加2元得(14-10)2+1=3, 所以每件利润14元的蛋糕为第三档次产品. (2)设烘焙店生产的是第x档次的蛋糕产品,根据题意得 2(x -1)+1076-4(x -1)=1 080, 整理得x2-16x+55=0, 解得x1=5,x2=11(不合题意,舍去). 答:该烘焙店生产的是第五档次的蛋糕产品.,考向4 几何问题的考查 例8 王叔叔从市场上买了一块长80 cm、宽70 cm的矩形铁皮, 准备制作一个工具箱.如图
16、,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边 长为x cm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000 cm2的无盖长方体工具箱,根据题意列方程为 ( C )A.(80-x)(70-x)=3 000 B.8070-42=3 000 C.(80-2x)(70-2x)=3 000 D.8070-42-(70+80)x =3 000,解析 由题意得剩余部分围成的工具箱的底面是长(80-2x)cm,宽 (70-2x)cm的长方形, 则由题意得(80-2x)(70-2x)=3 000.,考向5 单(双)循环问题的考查 例9 学校要组织足球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间赛一 场).计划安排21场比赛,
17、应邀请多少支球队参赛?设邀请x支球队 参赛.根据题意,下面所列方程正确的是 ( B ) A.x2=21 B. x(x -1)=21 C. x2=21 D.x(x -1)=21,解析 邀请x个队参赛,则每个队都要进行(x -1)场比赛,但两队之 间只有一场比赛,由题意得: x(x -1)=21.方法技巧 列一元二次方程解决实际问题时,首先是将问题进 行归类,明确其中的等量关系,其次是判断所求的解是否符合题 意,舍去不合题意的解.,一、选择题 1.(2017岱岳二模)将一元二次方程x2-6x -5=0配方后可变形为 ( A ) A.(x-3)2=14 B.(x-3)2=4 C.(x+3)2=14
18、D.(x+3)2=4,随堂巩固训练,2.(2017肥城一模)下列选项中,使关于x的一元二次方程ax2-4x+c= 0一定有实数根的是 ( D ) A.a0 B.a=0 C.c0 D.c=0,3.(2017烟台)若x1,x2是方程x2-2mx +m2-m-1=0的两个根,且x1+x2=1-x1x2,则m的值为 ( D ) A.-1或2 B.1或-2 C.-2 D,二、填空题,4.(2018德州)若x1,x2是一元二次方程x2+x -2=0的两个实数根,则x1+x2+x1x2= -3 .,5.(2017新泰模拟)已知关于x的一元二次方程(a -1)x2-2x +1=0有两个不相等的实数根,则a的取
19、值范围是 a2且a1 .,解析 关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根, =4-4(a-1)10,解得a2, 又二次项系数不为0, a-10,即a1. 故a的取值范围是a2且a1.,6.若一元二次方程ax2=b(ab0)的两个根分别为m +1和2m -4, 则 = 4 .,解析 易知x2= (ab0),所以x = ,所以方程的两个根互为相反 数,即m+1+2m-4=0,解得m=1,所以方程的两个根为2和-2,所以 = 2,故 =4.,三、解答题 7.2016年某市某楼盘以每平方米6 500元的均价对外销售,因为楼 盘滞销,房地产开发商为了加快资金周转,决定进行降价
20、促销,经 过连续两年下调,2018年的均价为每平方米5 265元. (1)求平均每年下调的百分率; (2)假设2019年的均价仍然下调相同的百分率,张强准备购买一套 100平方米的住房,他持有现金20万元,可以在银行贷款30万元,张 强的愿望能否实现?(房价每平方米按照均价计算),解析 (1)设平均每年下调的百分率为x,根据题意得,6 500(1-x)2= 5 265,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去).故平均每年下调的百分率为 10%. (2)由题意可知2019年的均价为每平方米5 265(1-10%)=4 738.5 元,则100平方米的住房总房款为1004 738.5=47.385万元,因 20+3047.385,所以张强的愿望能够实现.,
