1、第10讲 一次函数,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一 一次函数的定义 1.一次函数的定义:一般地,形如 y=kx+b(k、b是常数,k0) 的函数叫做一次函数.特别地,当b=0时,一次函数y=kx+b变为y=kx (k为常数,k0),这时y叫做x的 正比例函数 . 2.一次函数的结构特征:(1)k0;(2)自变量x的次数是1;(3)常数b可以取任意实数. 温馨提示 正比例函数是一次函数,但一次函数y =kx +b (k、b是常数,k0)不一定是正比例函数,只有当b=0时,它才是正比例函数.,知识点二 一次函数的图象和性质 1.正比例函数y=kx(k是常数,k0)的图象是一条过点
2、(0,0)和点(1,k)的直线. 2.一次函数y=kx +b(k、b是常数,k0)的图象是一条过 ,(0,b) 的直线.,3.一次函数图象与k、b关系及增减性分析,4.一次函数的平移 (1)上下平移:一次函数y=kx+b(k0)的图象向上或向下平移a(a 0)个单位,则解析式变为y=kx+ba,简称为 “上加下减” ; (2)左右平移:一次函数y=kx+b(k0)的图象向左或向右平移a(a 0)个单位,则解析式变为y=k(xa)+b,简称为 “左加右减” .,知识点三 待定系数法求一次函数的解析式 1.用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤 (1)设:设一次函数解析式的一般式为y=kx+b(k
3、、b为常数,k0); (2)代:把已知两点的坐标代入一般式,得到关于k、b的二元一次 方程组; (3)解:解方程组,求出k、b的值; (4)写:把求得的k、b的值代入y=kx+b,写出函数解析式.,2.求一次函数解析式的常见类型 (1)利用点的坐标求函数解析式; (2)利用函数图象求函数解析式; (3)利用表格信息求函数解析式; (4)根据一次函数图象的平移求函数解析式.,知识点四 一次函数与方程(组)、不等式 1.一次函数与一元一次方程:一次函数y=kx+b的值为m解方程kx +b=m. 2.一次函数与一元一次不等式:(1)求使一次函数y =kx +b的值大于0的自变量x的取值范围解不等式k
4、x +b 0;(2)求使一次函数y =kx+b的值小于0的自变量x的取值范围解不等式kx +b0.,3.一次函数与二元一次方程组:一般地,每个二元一次方程都对应 一个一次函数,也对应一条直线.求两条直线的交点坐标,可转化 为求解两条直线的解析式组成的方程组. 温馨提示 函数值y 0时,对应的函数图象在x轴的上方;y0时,对应的函数图象在x轴的下方.,知识点五 一次函数的应用 1.用一次函数解决实际问题的一般步骤 (1)设实际问题中的变量; (2)建立一次函数关系式; (3)确定自变量的取值范围; (4)利用函数的性质解决问题.,2.一次函数的应用的常见题型 (1)根据实际问题中给出的数据列相应
5、的函数解析式,解决实际问 题; (2)利用一次函数对实际问题中的方案进行比较分析; (3)结合实际问题的函数图象解决问题. 温馨提示 应用一次函数相关知识解决实际问题时,要注意自变 量的取值范围是否会受到实际条件的限制.,泰安考点聚焦,考点一 一次函数的图象和性质 考向1 一次函数的图象和性质 例1 (2017泰安)已知一次函数y=kx-m-2x的图象与y轴的负半轴 相交,且函数值y随自变量x的增大而减小,则下列结论正确的是 ( A ) A.k0 B.k2,m0 D.k2,m0,解析 原式可变形为y=(k-2)x+(-m), 一次函数的图象与y轴的负半轴相交, -m 0. 函数值y随自变量x的
6、增大而减小, k-20,k2,故选A.,变式1-1 若一次函数y=(2m-1)x+3-2m的图象经过第一、二、四 象限,则m的取值范围是 m .,解析 因为一次函数的图象经过第二、四象限,所以2m-10,综上所述, 解得m0时,直线必经过第一、三象限,k0 时,直线与y轴的正半轴相交,b=0时,直线与原点相交,b0时,直线 与y轴的负半轴相交.,考向2 一次函数图象的平移 例2 将正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位,所得的直线不 经过第 四 象限.,解析 将正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位后得到的图象 所对应的函数解析式为y=2x+3.k=20,b=30,该一次函数的 图象经过第
7、一、二、三象限,即该一次函数的图象不经过第四象 限.,变式2-1 将一次函数y= x的图象向上平移2个单位后,若y0,则x 的取值范围是 ( B ) A.x4 B.x-4 C.x2 D.x-2,变式2-2 (2018济南)已知点P(1,2)关于x轴的对称点为P,且P在直线y=kx+3上,把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位后,所得直线的解析式为 y=-5x+5 .,解析 由题意得P(1,-2),将P(1,-2)代入y=kx+3得k=-5.y=-5x+3,将y=-5x+3的图象向上平移2个单位后得y=-5x+3+2,即y=-5x+5.,考点二 求参问题 例3 (2018枣庄)如图,直线l是一
8、次函数y=kx+b的图象,若点A (3,m)在直线l上,则m的值是 ( C )A.-5 B. C. D.7,解析 将(-2,0)、(0,1)代入y=kx+b,得解得 y= x+1,将点A(3,m)代入,得 +1=m, 即m= ,故选C.,变式3-1 一次函数y=kx+|k-1|的图象过点(0,2),且y随x的增大而增大,则k的值为 3 .解析 一次函数y=kx+|k-1|的图象过点(0,2),|k-1|=2,k -1=2或k-1=-2,解得k=3或k=-1,又y随x的增大而增大,k0,k=3.,考点三 一次函数与方程(组)、不等式的关系 考向1 一次函数与方程组 例4 以方程组 的解为坐标的点
9、,在第 二 象限.,解析 根据题意得2x+2=-x+1,解得x=- ,将x=- 代入y=-x+1得y=,故该点的坐标为 ,所以 在第二象限.,变式4-1 若正比例函数y=-x的图象与一次函数y=x+m的图象交 于点A,且点A的横坐标为-1. (1)求该一次函数的解析式; (2)直接写出方程组 的解.,解析 (1)将x=-1代入y=-x,得y=1,则点A的坐标为(-1,1). 将A(-1,1)代入y=x+m,得-1+m=1, 解得m=2, 所以一次函数的解析式为y=x+2. (2)方程组 的解为 考向2 一次函数与不等式,例5 (2017菏泽)如图,函数y1=-2x和y2=ax+3的图象相交于点
10、A(m,2),则关于x的不等式-2xax+3的解集是 ( D )A.x2 B.x-1 D.x-1,解析 函数y1=-2x的图象过点A(m,2),-2m=2,解得m=-1, A(-1,2),观察两个函数图象可知,当函数y1=-2x的图象在函数y2= ax+3的图象上方时,xax+3的解集为x-1.,变式5-1 如图,若一次函数y=-2x+b的图象交y轴于点A(0,3),交x 轴于点B,则不等式-2x+b0的解集为 ( C )A.x B.x3 C.x D.x3,解析 一次函数y=-2x+b的图象交y轴于点A(0,3), A(0,3)在一次函数y=-2x+b的图象上,将点A(0,3)代入y=-2x+
11、b得b =3,令y=0,则-2x+3=0,解得x= , B , 观察函数图象知,当x0的解集为x ,故选C.,考点四 一次函数的应用 中考解题指导 用一次函数解决实际问题常见的三种题型:(1)建 立函数模型,然后借助方程、不等式或函数图象来解决方案选择 问题;(2)利用一次函数的性质,如增减性等来解决生活中的优化 问题,它常与方程(组)或不等式(组)一起考查;(3)利用一次函数图 象描述事物的变化规律,此问题要仔细分析图中各点以及每条直 线(或线段)表示的意义,并善于从图象中获取有效信息.,例6 (2017临沂)某市为节约水资源,制定了新的居民用水收费标准.按照新标准,用户每月缴纳的水费y(元
12、)与每月用水量x(m3)之 间的关系如图所示. (1)求y关于x的函数解析式; (2)若某用户二、三月份共用水40 m3(二月份用水量不超过 25 m3),缴纳水费79.8元,则该用户二、三月份的用水量各是多少?,解析 (1)当0x15时,设y与x的函数关系式为y=kx(k0),则15k=27,得k=1.8, 即当0x15时,y与x的函数关系式为y=1.8x, 当x15时,设y与x的函数关系式为y=ax+b(a0),得 即当x15时,y与x的函数关系式为y=2.4x-9, 则y与x的函数关系式为 y= (2)设二月份的用水量是x m3,当15x25时,2.4x-9+2.4(40-x)-9=79
13、.8,无解; 当0x15时,1.8x+2.4(40-x)-9=79.8,解得x=12,40-x=28, 答:该用户二、三月份的用水量分别是12 m3、28 m3.,变式6-1 甲、乙两人利用不同的交通工具,沿同一路线从A地出 发前往B地.甲出发1 h后,乙出发.设甲与A地相距y甲(km),乙与A地 相距y乙(km),甲离开A地的时间为x(h),y甲,y乙与x之间的函数图象如 图所示. (1)甲的速度是 60 km/h; (2)当1x5时,求y乙关于x的函数解析式; (3)当乙与A地相距240 km时,甲与A地相距 220 km.,解析 (1)60. (2)解法一:当1x5时,设y乙关于x的函数
14、解析式为y乙=kx+b(k 0). 点(1,0),(5,360)在其图象上, 解得 y乙关于x的函数解析式为y乙=90x-90(1x5). 解法二:由图象得v乙=90 km/h. y乙=90(x-1)=90x-90(1x5). (3)220.,一、选择题 1.(2018辽宁沈阳)在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象 如图所示,则k和b的取值范围是 ( C )A.k0,b0 B.k0,b0 D.k0,b0,随堂巩固训练,2.若一次函数y=(m-3)x+5的函数值y随x的增大而增大,则( C ) A.m0 B.m3 D.m33.已知直线y=x+b过点(1,2),则b的值为 ( B ) A
15、.0 B.1 C.2 D.3,4.某社区有一块空地需要绿化,某绿化组承担了此项任务,绿化组 工作一段时间后,提高了工作效率.该绿化组完成的绿化面积S(单 位:m2)与工作时间t(单位:h)之间的函数关系如图所示,则该绿化 组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是 ( B ),A.300 m2 B.150 2 C.330 m2 D.450 m2,二、填空题 5.如图,已知函数y=2x+b与函数y=kx-3的图象交于点P,则不等式kx -32x+b的解集是 x4 .,解析 由题图可知,当x2x+b的解集是x4.,6.把直线y=-x-1沿x轴向右平移2个单位,所得直线的解析式为 y=-x+1 .解析
16、把直线y=-x-1沿x轴向右平移2个单位,所得直线的解析式 为y=-(x-2)-1,即y=-x+1.,三、解答题 7.(2018河北)如图,直角坐标系xOy中,一次函数y=- x+5的图象l1 分别与x,y轴交于A,B两点,正比例函数的图象l2与l1交于点C(m,4). (1)求m的值及l2的解析式; (2)求SAOC-SBOC的值; (3)一次函数y=kx+1的图象为l3,且l1,l2,l3不能围成三角形,直接写出k的值.,解析 (1)C(m,4)在直线y=- x+5上,4=- m+5,得m=2. 设l2的解析式为y=k1x(k10), C(2,4)在l2上,4=2k1,k1=2. l2的解析式为y=2x. (2)把y=0代入y=- x+5,得x=10, OA=10. 把x=0代入y=- x+5,得y=5, OB=5, SAOC= 104=20,SBOC= 52=5,SAOC-SBOC=20-5=15. (3)- ,2 , .,
