1、1专题 15 电磁导轨模型（2）模型演练1.如图，足够长的 U 型光滑金属导轨平面与水平面成 角（0 90),其中 MN 平行且间距为 L，导轨平面与磁感应强度为 B 的匀强磁场垂直，导轨电阻不计。金属棒 ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触， ab棒接入电路的电阻为 R，当流过 棒某一横截面的电量为 q 时，棒的速度大小为 v，则金属棒 在这一过程中A.运动的平均速度大小为 12 B.平滑位移大小为 qRBLC.产生的焦耳热为 qBL D.受到的最大安培力大小为2sin【答案】B2.如图所示，水平放置的 U 形金属框架中接有电源，电动势为 ，内阻为 r.框架上放置一质量
2、为 m，电阻为 R 的金属杆，它可以在框架上无摩擦地滑动，框架两边相距为 L，匀强磁场的磁感应强度为 B，方向竖直向上.当 ab 杆受到水平向右足够大的恒力 F 时，求：練 1 图练 2 图2（1）从静止开始向右滑动，起动时的加速度；（2）ab 可以达到的最大速度 vmax;（3）ab 达到最大速度 vmax时，电路中每秒钟放出的热量 Q.【答案】：（1） 0FRrBLfm（2） 2FRrBL（3） 2FRr（3）此时电路中每秒放出的热量：Q=I 2(R+r)= 2FRrBL.3.如图所示，水平固定的光滑 U 形金属框架宽为 L，足够长，其上放一质量为 m 的金属棒 ab，左端连接有一阻值为
3、R 的电阻（金属框架、金属棒及导线的电阻匀可忽略不计），整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为 B现给棒 ab 一个初速度 0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图甲所示3（1）金属棒从开始运动到达到稳定状态的过程中，求通过电阻 R 的电量和电阻 R 中产生的热量；（2）金属棒从开始运动到达到稳定状态的过程中求金属棒通过的位移；（3）如果将 U 形金属框架左端的电阻 R 换为一电容为 C 的电容器，其他条件不变，如图乙所示求金属棒从开始运动到达到稳定状态时电容器的带电量和电容器所储存的能量（不计电路向外界辐射的能量）【答案】（1） ， （2） （3） ，（2） 所以（3）当金属棒 a
4、b 做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器 C 将被充电， ab 棒中有充电电流存在， ab 棒受到安培力的作用而减速，当 ab 棒以稳定速度 v 匀速运动时，有：CQUBLv而对导体棒 ab 利用动量定理可得： 0mvBLQC 由上述二式可求得： 4.如图所示，水平面内有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计。匀强磁场与导轨一闪身垂直。阻值为 R的导体棒垂直于导轨静止放置，且与导轨接触。T=0 时，将形状 S 由 1 掷到 2。Q、i、v 和 a 分别表示电容器所带的电荷量、棒中的电流、棒的速度和加速度。下列图象正确的是4【答案】D5.电阻可忽略的光滑平行金属导轨长S=1.15m，两
5、导轨间距 L=0.75 m，导轨倾角为30，导轨上端ab接一阻值R=1.5的电阻，磁感应强度B=0.8T的匀强磁场垂直轨道平面向上。阻值r=0.5，质量m=0.2kg的金属棒与轨道垂直且接触良好，从轨道上端ab处由静止开始下滑至底端，在此过程中金属棒产生的焦耳热 0.1rQJ。(取 20/gms)求：(1)金属棒在此过程中克服安培力的功 W安 ；(2)金属棒下滑速度 2/vs时的加速度 a(3)为求金属棒下滑的最大速度 m，有同学解答如下：由动能定理 21-=mWv重 安 ，。由此所得结果是否正确？若正确，说明理由并完成本小题；若不正确，给出正确的解答。练 4 图5【答案】 （1）0.4J （
6、2）3.2m/s 2（3）正确，2.74m/s【解析】 （1）下滑过程中安培力的功即为在电阻上产生的焦耳热，由于 3Rr，因此30.()RrQJ =.4()RrW安（3）此解法正确。 金属棒下滑时舞重力和安培力作用，其运动满足 2sin0BLmgvmaRr上式表明，加速度随速度增加而减小，棒作加速度减小的加速运动。无论最终是否达到匀速，当棒到达斜面底端时速度一定为最大。由动能定理可以得到棒的末速度，因此上述解法正确。 21sin30mgSQv 120.42i0.57(/)mv ms 6. 如图，两根足够长的金属导轨 ab、cd 竖直放置，导轨间距离为 L，电阻不计。在导轨上端并接两个额6定功率
7、均为 P、电阻均为 R 的小灯泡。整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度方向与导轨所在平面垂直。现将一质量为 m、电阻可以忽略的金属棒 MN 从图示位置由静止开始释放。金属棒下落过程中保持水平，且与导轨接触良好。已知某时刻后两灯泡保持正常发光。重力加速度为 g。求：（1）磁感应强度的大小：（2）灯泡正常发光时导体棒的运动速率。【答案】 （1） 2mgRBLP（2） vg（2）设灯泡正常发光时，导体棒的速率为 v，由电磁感应定律与欧姆定律得EBL0RI联立式得 2Pvmg7.如图所示，两条平行的光滑金属导轨固定在倾角为 的绝缘斜面上，导轨上端连接一个定值电阻。导体棒 a 和 b 放在导轨上，与导轨垂
8、直开良好接触。斜面上水平虚线 PQ 以下区域内，存在着垂直穿过斜面向上的匀强磁场。现对 a 棒施以平行导轨斜向上的拉力，使它沿导轨匀速向上运动，此时放在导轨下端的b 棒恰好静止。当 a 棒运动到磁场的上边界 PQ 处时，撤去拉力，a 棒将继续沿导轨向上运动一小段距离后7再向下滑动，此时 b 棒已滑离导轨。当 a 棒再次滑回到磁场上边界 PQ 处时，又恰能沿导轨匀速向下运动。已知 a 棒、b 棒和定值电阻的阻值均为 R，b 棒的质量为 m，重力加速度为 g，导轨电阻不计。求（1）a 棒在磁场中沿导轨向上运动的过程中，a 棒中的电流强度 Ia 与定值电阻中的电流强度 Ic 之比；（2）a 棒质量
9、ma；（3）a 棒在磁场中沿导轨向上运动时所受的拉力 F。【答案】 （1） 2abI（2） 3am（3） 7sinsi2gFBL（2）由于 a棒在上方滑动过程中机械能守恒，因而 a棒在磁场中向上滑动的速度大小 1v与在磁场中向下滑动的速度大小 2v相等，即 12v，设磁场的磁感应强度为 B，导体棒长为 L，在磁场中运动时产生的感应电动势为EBL，当 a棒沿斜面向上运动时， 32bIR， sinbILmg，向上匀速运动时， a棒中的电流为 aI，则2aEIR， sinBILg，由以上各式联立解得： 32am。8（3）由题可知导体棒 a沿斜面向上运动时，所受拉力7sinsi2amgFBIL。8.如
10、图所示，两足够长的光滑金属导轨竖直放置，相距为 L, 一理想电流表与两导轨相连，匀强磁场与导轨平面垂直。一质量为 m、有效电阻为 R 的导体棒在距磁场上边界 h 处静止释放。导体棒进入磁场后，流经电流表的电流逐渐减小，最终稳定为 I。整个运动过程中，导体棒与导轨接触良好，且始终保持水平，不计导轨的电阻。求： （1）磁感应强度的大小 B；（2）电流稳定后， 导体棒运动速度的大小 v；（3）流经电流表电流的最大值 mI【答案】 （1） gIL（2） R（3） 2ghI（3）由题意知，导体棒刚进入磁场时的速度最大，设为 vm机械能守恒 12mvm mgh感应电动势的最大值 Em VLvm9感应电流的
11、最大值 Im ER解得 Im 2gh9.如图所示，竖直平面内有一半径为 r、内阻为 R1、粗细均匀的光滑半圆形金属环，在 M、 N 处与相距为2r、电阻不计的平行光滑金属轨道 ME、 NF 相接， EF 之间接有电阻 R2，已知 R112 R， R24 R。在 MN 上方及 CD 下方有水平方向的匀强磁场 I 和 II，磁感应强度大小均为 B。现有质量为 m、电阻不计的导体棒ab，从半圆环的最高点 A 处由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平，与半圆形金属环及轨道接触良好，设平行轨道足够长。已知导体棒 ab 下落 r/2 时的速度大小为 v1，下落到 MN 处的速度大小为 v2。（1）求导
12、体棒 ab 从 A 下落 r/2 时的加速度大小。（2）若导体棒 ab 进入磁场 II 后棒中电流大小始终不变，求磁场 I 和 II 之间的距离 h 和 R2上的电功率P2。（3）若将磁场 II 的 CD 边界略微下移，导体棒 ab 刚进入磁场 II 时速度大小为 v3，要使其在外力 F 作用下做匀加速直线运动，加速度大小为 a，求所加外力 F 随时间变化的关系式。【答案】 （1） 2134BrvagmR= （2）22493vghr，2916mgRBr（3）2234()()BrraFt tmagR【解析】：（1）以导体棒为研究对象，棒在磁场 I 中切割磁感线，棒中产生感应电动势，导体棒 ab
13、从 A下落 r/2 时，导体棒在重力与安培力作用下做加速运动，由牛顿第二定律，得mg BIL ma，式中 l 3r1BlvIR总式中 84R总 （ ） （ ） 4 R由以上各式可得到 213Brvagm=练 9 图10导体棒从 MN 到 CD 做加速度为 g 的匀加速直线运动，有2tvgh得 22493vmRBr此时导体棒重力的功率为 24GtgPvr根据能量守恒定律，此时导体棒重力的功率全部转化为电路中的电功率，即 12G电234mgRBr所以， 2P296（3）设导体棒 ab 进入磁场 II 后经过时间 t 的速度大小为 tv，此时安培力大小为24tBrvFR由于导体棒 ab 做匀加速直线
14、运动，有 3tvat根据牛顿第二定律，有F mg F ma即 234()BrvatmgmR由以上各式解得1122 233 44()()3BrvBrraFatvmgtmagRR10.如图（a）所示，水平放置的两根平行金属导轨，间距 L=0.3m. 导轨左端连接 R=0.6 的电阻。区域abcd 内存在垂直与导轨平面的 B=0.6T 的匀强磁场，磁场区域宽 D=0.2m. 细金属棒 A1和 A2用长为 2D=0.4m的轻质绝缘杆连接，放置在导轨平面上，并与导轨垂直。每根金属棒在导轨间的电阻均为 r=0.3，导轨电阻不计。使金属棒以恒定的速度 v=1.0m/s 沿导轨向右穿越磁场。计算从金属棒 A1
15、进入磁场（t=0）到A2离开磁场的时间内，不同时间段通过电阻 R 的电流强度，并在图（b）中画出。【答案】：t 1t 2:I2=0，t 2t 3：I 3=0.12A11.如图所示，电阻不计的平行金属导轨固定在一绝缘斜面上，两相同的金属导体棒 a、b 垂直于导轨静止放置，且与导轨接触良好，匀强磁场垂直穿过导轨平面。现用一平行于导轨的恒力 F 作用在 a 的中点，使其向上运动。若 b 始终保持静止，则它所受摩擦力可能12A变为 0 B . 先减小后不变 C . 等于 F D先增大再减小【答案】AB12.如图（a）所示，一端封闭的两条平行光滑导轨相距 L，距左端 L 处的中间一段被弯成半径为 H 的
16、 1/4圆弧，导轨左右两段处于高度相差 H 的水平面上。圆弧导轨所在区域无磁场，右段区域存在磁场 B0，左段区域存在均匀分布但随时间线性变化的磁场 B（t） ，如图（b）所示，两磁场方向均竖直向上。在圆弧顶端，放置一质量为 m 的金属棒 ab，与导轨左段形成闭合回路，从金属棒下滑开始计时，经过时间 t0滑到圆弧顶端。设金属棒在回路中的电阻为 R，导轨电阻不计，重力加速度为 g。（1）问金属棒在圆弧内滑动时，回路中感应电流的大小和方向是否发生改变？为什么？（2）求 0 到时间 t0内，回路中感应电流产生的焦耳热量。（3）探讨在金属棒滑到圆弧底端进入匀强磁场 B0的一瞬间，回路中感应电流的大小和方
17、向。【答案】：（）见解析（） RtLIQ0242（）I.当 02tLgH时， I=0；II.当 02tLgH时， 0tgBI，方向为 ab；练 12 图13III.当 02tLgH时， gHtLRBI20，方向为 ba。【解析】：（1）感应电流的大小和方向均不发生改变。因为金属棒滑到圆弧任意位置时，回路中磁通量的变化率相同。 （3）设金属进入磁场 B0一瞬间的速度变 v，金属棒在圆弧区域下滑的过程中，机械能守恒：21mvgH在很短的时间 t内，根据法拉第电磁感应定律，金属棒进入磁场 B0区域瞬间的感应电动势为 E，则：txE, )(20tBL由闭合电路欧姆定律及，求得感应电流： 002tgHR
18、I根据讨论：I.当 02tLg时， I=0；II.当 0tH时， 002tLgHRBI，方向为 ab；III.当 02tLg时， tI0，方向为 。13.如图所示，在坐标 xoy平面内存在 B=2.0T的匀强磁场， OA与 OCA为置于竖直平面内的光滑金属导轨，其14中 OCA满足曲线方程 )(5sin0.myx， C为导轨的最右端，导轨 OA与 OCA相交处的 O点和 A点分别接有体积可忽略的定值电阻 R1和 R2，其 R1=4.0、 R2=12.0。现有一足够长、质量 m=0.10kg的金属棒 MN在竖直向上的外力 F作用下，以 v=3.0m/s的速度向上匀速运动，设棒与两导轨接触良好，除
19、电阻 R1、 R2外其余电阻不计， g取10m/s 2，求：（1）金属棒 MN在导轨上运动时感应电流的最大值；（2）外力 F的最大值；（3）金属棒 MN滑过导轨 OC段，整个回路产生的热量。【答案】：（1）.（）.（）.【解析】：（1）金属棒 MN沿导轨竖直向上运动，进入磁场中切割磁感线产生感应电动势。当金属棒 MN匀速运动到 C点时，电路中感应电动势最大，产生的感应电流最大。金属棒 MN接入电路的有效长度为导轨 OCA形状满足的曲线方程中的 x值。因此接入电路的金属棒的有效长度为 yxL5sin.0Lm=xm=0.5mvBEmEm=3.0V并RI且 21R并 0.1mACM N练 13 图1
20、5（3）金属棒 MN在运动过程中，产生的感应电动势ye5sin0.有效值为 2mE有金属棒 MN滑过导轨 OC段的时间为 tvytoc25m65ts 滑过 OC 段产生的热量 tREQ并有225.1J14.如图所示，间距l=0.3m的平行金属导轨a 1b1c1和a 2b2c2分别固定在两个竖直面内，在水平面a 1b1b2a2区域内和倾角 = 37的斜面c 1b1b2c2区域内分别有磁感应强度B 1=0.4T、方向竖直向上和B 2=1T、方向垂直于斜面向上的匀强磁场。电阻R=0.3 、质量m 1=0.1kg、长为 l 的相同导体杆K、S、Q分别放置在导轨上，S杆的两端固定在b 1、b 2点，K、
21、Q杆可沿导轨无摩擦滑动且始终接触良好。一端系于K杆中点的轻绳平行于导轨绕过轻质滑轮自然下垂，绳上穿有质量m 2=0.05kg的小环。已知小环以a=6 m/s 2的加速度沿绳下滑，K杆保持静止，Q杆在垂直于杆且沿斜面向下的拉力F作用下匀速运动。不计导轨电阻和滑轮摩擦，绳不可伸长。取g=10 m/s2，sin 37=0.6，cos 37=0.8。求16（1）小环所受摩擦力的大小；（2）Q 杆所受拉力的瞬时功率【答案】：（）.（）（2）设经过 K 杆的电流为 I1，由 K 杆受力平衡得到1fBIL设回路总电流为 I,总电阻为 R 总， 有12I 3=2总 设 Q 杆下滑速度大小为 v，产生的感应电动
22、势为 E，有EIR总. 2EBL.12sinFmgI拉力的瞬时功率为 PFv联立以上方程得到 W.15.如图，水平平面内固定两平行的光滑导轨，左边两导轨间的距离为 2L，右边两导轨间的距离为 L，左右部分用导轨材料连接，两导轨间都存在磁感应强度为 B、方向竖直向下的匀强磁场.ab、cd 两均匀的导17体棒分别垂直放在左边和右边导轨间，ab 棒的质量为 2m，电阻为 2r，cd 棒的质量为 m，电阻为 r，其他部分电阻不计.原来两棒均处于静止状态,cd 棒在沿导轨向右的水平恒力 F 作用下开始运动，设两导轨足够长，两棒都不会滑出各自的轨道.（1）试分析两棒最终达到何种稳定状态？此状态下两棒的加速
23、度各多大？（2）在达到稳定状态时 ab 棒产生的热功率多大？【答案】：（1）匀加速运动， 2F3m、 （2）2Fr9BLF1、F 2也不变，两棒以不同的加速度匀加速运动.将式代入可得两棒最终做匀加速运动的加速度：a 1=3m，a 2= .(2)两棒最终处于匀加速运动状态时 a1=2a2,代入式得:I= F3BL此时 ab 棒产生的热功率为：P=I 22r= 2Fr9BL.16.如图所示，光滑的足够长的平行水平金属导轨 MN、PQ 相距 l，在 M 、P 点和 N、Q 点间各连接一个额定电压为 U、阻值恒为 R 的灯泡，在两导轨间 cdfe 矩形区域内有垂直导轨平面竖直向上、宽为 d 的有界匀强
24、18磁场，磁感应强度为 B0，且磁场区域可以移动。一电阻也为 R、长度也刚好为 l 的导体棒 ab 垂直固定在磁场左边的导轨上，离灯 L1足够远。现让匀强磁场在导轨间以某一恒定速度向左移动，当棒 ab 刚处于磁场时两灯恰好正常工作。棒 ab 与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计。（1）求磁场移动的速度；（2）求在磁场区域经过棒 ab 的过程中灯 L1所消耗的电能；（3）若保持磁场不移动（仍在 cdfe 矩形区域） ，而是均匀改变磁感应强度，为保证两灯都不会烧坏且有电流通过，试求出均匀改变时间 t 时磁感应强度的可能值 Bt。【答案】 （1） lBU03（2） Rdl0（3） tldUtl232
25、000，或，（3）棒与灯 1 并联后，再与 2 串联，所以要保证灯 2 不会烧坏就可以，即以灯 2 正常工作为准。ldtBUE22tB的最大值 lk3所以,t 时 tldBt200max故均匀变化时间 t 时 B 的可能值是 tldUtld2323000，或，17.如图所示，间距为 l 的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为 ，导轨光滑且电阻忽略不计.场强为 B 的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为 d1，间距为 d2，两根质量均为 m、有效电练 16 图19阻均匀为 R 的导体棒 a 和 b 放在导轨上，并与导轨垂直.（设重力加速度为 g）（1）若 d 进入第 2 个磁场区
26、域时， b 以与 a 同样的速度进入第 1 个磁场区域，求 b 穿过第 1 个磁场区域过程中增加的动能 KE.（2）若 a 进入第 2 个磁场区域时， b 恰好离开第 1 个磁场区域;此后 a 离开第 2 个磁场区域时， b 又恰好进入第 2 个磁场区域.且 a、 b 在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等.求 a 穿过第 2 个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热 Q.（3）对于第（2）问所述的运动情况，求 a 穿出第 k 个磁场区域时的速率 v.【答案】 （1） 1sinkEmgd（2） mg(d1+d2)sin （3）221114sin8mgRdBldvl【解析】 （1） a 和 b 不受安培力作用，由机械能守恒知，sik（3）在无磁场区域根据匀变速直线运动规律 v2-v1=gtsin 且平均速度 21vdt 有磁场区域20棒 a 受到合力 F=mgsin-BIl 感应电动势 =Blv 感应电流 I= 2R 解得 F=mgsin-2Blv 根据牛顿第二定律，在 t 到 t+时间内vm（11）则有 2sinBlvgtmR（12）解得 v1= v2=gtsin -2ld1 （13）联列(13)式，解得由题意知， 221114sin8mgRdBldvl
